Travaux exp´ erimentaux r´ ealis´ es au LOMC

Le syst`eme de Couette-Taylor est ´etudi´e depuis longtemps au laboratoire LOMC `a la fois num´eriquement et exp´erimentalement. Le laboratoire dispose de plusieurs dispositifs servant `a ´etudier diff´erents ph´enom`enes comme l’utilisation de fluides visco´elastiques, l’effet d’excitations p´eriodiques ou, le cas de cette ´etude, l’effet d’un gradient radial de temp´erature dans un syst`eme vertical. On d´etaillera ici les principaux r´esultats obtenus pour ce dernier cas. Ces r´esultats exp´erimentaux ont ´et´e obtenus avec un syst`eme de rapport d’aspect particuli`erement grand (voir chapitre 3). Les travaux successifs de A. Goharzadeh, V. Lepiller puis R. Guillerm ont permis de construire un diagramme de stabilit´e du syst`eme pr´esent´e en figure 1.14. Ce diagramme repr´esente en fonction du nombre de Taylor et du nombre de Grashof les fronti`eres des domaines d’existence de diff´erents motifs class´es en se basant sur des visualisations `a l’aide de Kalliroscope [33] et des diagrammes spatiotemporels (voir section 3.3). Avec un ´eclairage appropri´e, le Kalliroscope permet de voir directement les structures de l’´ecoulement et un diagramme spatiotemporel montre l’´evolution temporelle de l’intensit´e lumineuse le long d’une ligne verticale ou radiale de l’´ecoulement (figures 1.15 et 1.16).

Figure 1.14 – Diagramme de stabilit´e du syst`eme de Couette-Taylor soumis `a un gradient radial de temp´erature.

Les diff´erents motifs observ´es sont les suivant :

TVF (Taylor Vortex Flow) Ce sont les rouleaux de Taylor axisym´etriques et station-naires (figure 1.15(a)). Ils ne sont observ´es que pour un nombre de Grashof nul, ou tr`es faible.

WVF (Wavy Vortex Flow) La premi`ere d´estabilisation des rouleaux de Taylor qui se mettent `a onduler verticalement (figure 1.15(b)). Ce motif est aussi observ´e avec un gradient de temp´erature important, Lepiller remarqua que le seuil d’apparition de ce motif suit asymptotiquement la courbe Ri = 0,033.

PSPI (Partial Spiral) La premi`ere instabilit´e observ´ee pour de faibles nombres de Gra-shof. Le motif s’enroule en spirale autour du cylindre int´erieur mais n’emplit pas la totalit´e du syst`eme (figure 1.15(c)). Cette spirale est toujours observ´e en bas du syst`eme quel que soit le sens du gradient de temp´erature. Lepiller mit en ´evidence que ce mode ´etait une instabilit´e convective.

SPI (Spiral) Le motif en spirale a envahi tout le syst`eme, il y a eu une transition entre l’instabilit´e convective des PSPI et une instabilit´e absolue (figure 1.15(d)).

SPI+WVF (Spiral + Wavy Vortex Flow) Un r´egime de coexistence de la spirale et des rouleaux ondul´es (figure 1.16(a)).

MSPI (Modulated Spiral) La premi`ere instabilit´e pour les grands nombres de Gra-shof. Un motif de spirales dont l’amplitude est lentement modul´ee (figure 1.16(b)).

SPI+D (Spiral + Dislocation) Un motif de spirale comportant beaucoup de disloca-tions et d´eformations (figure 1.16(c)).

WSPI (Wavy Spiral) Un motif en spirale qui ondule `a la mani`ere des WVF (figure 1.16(d)).

(a) (b)

(c) (d)

Figure 1.15 – Diagrammes spatiotemporels et photos repr´esentant diff´erents types de motifs [34] (a) Rouleaux de Taylor (TVF) `a Gr = 0 et T a = 48. (b) Rouleaux ondul´es (WVF `a Gr = 3219 et T a = 140. (c) Spirale partielle (PSPI) `a Gr = 392 et T a = 31,3. (d) Spirale (SPI) `a Gr = 392 et T a = 41.

Tous les motifs en spirales observ´es dans ce syst`eme suivent les r`egles d’inclinaisons propos´ees par Ali et Weidman (figure 1.9).

Lepiller [35] a ´etudi´e les propri´et´es spatiotemporelles des motifs pour Gr < 1000 en fonction du nombre de Taylor. Celles-ci suivent la mˆeme ´evolution en fonction du nombre de Taylor quel que soit le nombre de Grashof. Le nombre d’onde axial q augmente avec le nombre de Taylor et converge vers le nombre d’onde critique du cas isotherme. Le nombre d’onde azimutal m, repr´esentant le nombre de spirales coupant l’axe horizontal, diminue quand le nombre de Taylor augmente. Les pulsations mesur´ees ω du motif se rassemblent

sur une courbe maitresse en fonction du taux de rotation du cylindre int´erieur Ω telle que ω/m = 0,426Ω, ce qui correspond `a la vitesse moyenne du fluide (voir section 2.3.1). Cela signifie que les motifs en spirales se propagent autour des cylindre `a un taux de rotation de 0,426Ω tandis que l’angle d’inclinaison de la spirale par rapport `a l’horizontale diminue lorsque l’on augmente le nombre de Taylor.

(a) (b)

(c) (d)

Figure 1.16 – Diagrammes spatiotemporels et photos repr´esentant diff´erents types de motifs [34] (a) Coexistence de spirales et de rouleaux ondul´es (SPI+WVF) `a Gr = 1701 et T a = 85. (b) Spirale modul´ee (MSPI) `a Gr = 4230 et T a = 12,5. (c) Spirale avec dislocations (SPI+D) `a Gr = 2405 et T a = 14,8. (d) Spirale ondul´ee (WSPI) `a Gr = 850 et T a = 45.

R. Guillerm a ´etudi´e en d´etail le cas de la spirale modul´ee (figure 1.16(b)), le mo-tif apparaissant au seuil pour de grands nombres de Grashof. Ce momo-tif pr´esente les caract´eristiques d’un paquet d’ondes inclin´ees se propageant autour des cylindres. R. Guillerm a r´ealis´e des analyses spectrales des diagrammes spatiotemporels de ce motif. Les spectres spatiaux r´ev`elent le nombre d’onde du motif q. Les spectres temporels sont eux caract´eris´es par deux fr´equences distinctes f<sub>mod</sub>et f<sub>p</sub> (figure 1.17). Le spectre pr´esente un premier pic `a fmod puis plusieurs paquets de pics group´es autour de la fr´equence fp et

ses harmonique. Les pics dans chaque paquet sont espac´es de f_mod. La basse fr´equence f_mod est la fr´equence de modulation du motif. Il a ´et´e remarqu´e que 2πf_mod = 0,426Ω, ce qui signifie que le paquet d’ondes se d´eplace autour du cylindre int´erieur `a la vitesse moyenne de l’´ecoulement de base (voir chapitre 2). La seconde fr´equence f_p est la fr´equence de la spirale, li´ee aux dimensions des ondulations de la spirale. Il a aussi observ´e que l’incli-naison de la spirale modul´ee augmente avec le nombre de Grashof alors que la taille du paquet d’ondes diminue.

Figure 1.17 – Spectre temporel d’une spirale modul´ee (Gr = 2405 et T a = 11.3) [34] R. Guillerm a aussi d´evelopp´e au laboratoire la technique de mesure de champs de vitesse et de temp´erature `a l’aide de cristaux liquide thermochromique encapsul´es. Il s’en est servi pour ´etudier les rouleaux de Taylor et l’effet de la mise en place d’un gradient de temp´erature sur ces derniers. Les mesures sont en bon accord avec des simu-lations num´eriques. Il a aussi fait des mesures de champs de vitesse et de temp´erature pour diff´erents types de motifs observ´es dans le syst`eme (figure 1.14). Pour les faibles gradients de temp´erature, la spirale et la spirale partielle sont compos´ees de rouleaux corotatifs, les rouleaux deviennent contrarotatifs quand le syst`eme transite vers les rou-leaux de Taylor ondul´es. Les rouleaux d´eforment le champ de temp´erature par advection cr´eant des alternance de zones chaudes et de zones froides selon le sens de l’´ecoulement radial (figure 1.18(a)). Dans le r´egime des rouleaux ondul´es la d´eformation du champ de temp´erature est telle que le gradient horizontal est repouss´e dans d’´etroites bandes proches des parois alors appel´ees couches limites thermiques et il n’y a alors plus de gradient de temp´erature horizontal dans la partie centrale de l’entrefer (figure 1.18(b)).

(a)

(b)

Figure 1.18 – Profils de temp´erature dans une zone froide (f ), une zone chaude (c) et le cœur d’un vortex (v) [34] (a) Dans une spirale Gr = 706 et T a = 23.9. (b) Dans les rouleaux ondul´es Gr = 706 et T a = 80.

Pour de plus grands gradients de temp´erature le champ de vitesse au seuil de l’insta-bilit´e ne r´ev`ele pas de vortex. Le motif de spirales modul´ees a la forme d’une onde pro-gressive, l’interface entre le fluide chaud montant et le fluide froid descendant repr´esent´e par une nappe de vorticit´e ondule au passage de la spirale (figure 1.19). On remarque que cette instabilit´e ressemble `a une onde de Kelvin-Helmholtz. Une transition depuis cette onde vers des rouleaux contrarotatifs `a lieu dans le domaine des spirales avec dislocations.

Figure 1.19 – Champ de vorticit´e et champ de temp´erature au cœur de la spirale modul´ee (Gr = 2405 et T a = 11,3.) [34]

Chapitre 2

Description th´eorique

2.1 Equations de la convection thermique dans un^´

anneau cylindrique

Un fluide Newtonien incompressible est confin´e entre deux cylindres de hauteur H et de rayons respectifs a et b. La largeur de l’entrefer est d = b − a. Le cylindre int´erieur est en rotation `a la vitesse angulaire Ω. De l’eau provenant de bains thermostat´es aux temp´eratures T₁ et T₂ circule respectivement dans le cylindre int´erieur et autour du cy-lindre ext´erieur, maintenant les parois d´elimitant l’entrefer aux temp´eratures T₁⁰ et T₂⁰. Les ´equations r´egissant les champs de vitesses −→

V de temp´erature T et de pression P de ce fluide dans le champ de pesanteur terrestre sont :

• l’´equation de continuit´e, ou conservation de la masse −

→

∇.^−→V = 0 (2.1)

• les ´equation de conservation de la quantit´e de mouvement, les ´equations de Navier-Stokes ρ^∂_t(−→ V ) + (−→ V .−→ ∇)^−→V ^= −−→ ∇.P + µ∆^−→V + ρ−→_{g (2.2)} • l’´equation de conservation de l’´energie

∂_tT + (−→ V .−→

∇)T. = κ∆T (2.3)

Les param`etres de ces ´equations sont le champ de gravit´e g et les propri´et´es du fluide : sa masse volumique ρ, sa viscosit´e µ et le coefficient de diffusivit´e thermique κ. On se place dans le cadre de l’approximation de Boussinesq o`u les variations de ces param`etres sont n´eglig´ees et leur valeur estim´ee pour une temp´erature de r´ef´erence T₀. L’exception est faite pour la masse volumique lorsqu’elle est associ´ee avec la force de pesanteur. Ainsi on n´eglige les fluctuations de masses volumiques dans les effets inertiels mais pas pour le poids. On pose alors que la masse volumique varie lin´eairement avec la temp´erature :

o`u α est le coefficient de dilatation thermique et ρ<sub>0</sub>la masse volumique prise `a la temp´erature de r´ef´erence T₀. Cette variation de masse volumique cr´ee une variation radiale de la pouss´ee d’Archim`ede qui est le moteur de la convection naturelle.