Travail et puissance des forces s’exerçant sur un système matériel

1- Définition de la puissance et du travail 1-1 Cas d’un point matériel

Soit une force ^→F appliquée à un point matériel M de vitesse V^→(M). La puissance, dans le référentiel ℜ, de ^→F est la fonction F

.

→V(M)

=^→

P

_.

Cette définition n’a de sens que si on indique le point matériel auquel est appliquée la force

→F et le référentiel ℜ par rapport auquel on défini la vitesse V^→(M).

Le travail élémentaire dans ℜ entre les instants t et t + dt est : _δW ₌

P

₍t₎dt_. ))

( , cos(

//

//

) (

.

^{V M dt F dOM FV M}

F

W =^→→ = ^{→ →→} δ

Si ^→F(^t)^=→F, le travail entre les instants t0 et t1 est donc ))

( , cos(

) ,

(t₀ t₁ Fd FV M

W = ^→→

où d est la distance parcourue par le point M matériel entre les deux instants t0 et t1. Si ^→F dérive d’une énergie potentielle Ep: ^→F = −^→∇Ep

p pdOM -dE E

dt M V F

W ₌

.

( ) _=−∇

.

₌

→

→

→

δ → et par conséquent

P

⁼δδ^W_t ^=−dE_dt^p _.

En général le travail accompli entre les instants t0 et t1 est :

∫

= ¹

0 ()

) ,

(t₀ t_{1 t}^t t dt

W

P

2-1 Cas d’un système matériel

Considérons un système de points matériels Mi, chacun a une vitesse V^→(M_i) par rapport à un référentiel ℜ, sur lequel s’exercent les forces {Mi ,^→Fi}. La puissance des forces considérées relativement à ℜ s’écrit : ⁼

∑

^{→ →}

i Fi

.

V(Mi)

P

Dans le cas d’un système de distribution continue tel que les forces sont réparties en densité de force ^→f(M) la puissance s’écrit :

∫

∈

→

= → S

M f(M)

.

V(M )dm

P

La force appliquée en chaque point Mi est la somme des forces appliquées par un élément extérieur à S et des forces intérieures exercées par tut autre point Mj≠ i de S :

∑

^→

→

→ = +

j ij ext

i

i F F

F

.

_Mi

.

_Mj

ℜ

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66 puissance des forces extérieures à S. Le travail élémentaire pendant l’interval de temps dt est :

int 2- Travail des forces intérieures

Considérons un système en mouvement par rapport aux deux référentiels ℜ et ℜ’ qui sont en mouvement quelconque l’un par rapport à l’autre.

La puissance totale des forces intérieures par rapport à ℜ et ℜ’ est :

Comme le torseur des forces intérieures est nul : 0

, =

La puissance et le travail des forces intérieures d’un système sont indépendants du référentiel par rapport auquel on les calcule. En conséquence la puissance des forces intérieures doit être évaluée dans le référentiel où elle est le plus simple à calculer.

Remarquons que le travail des forces intérieures n’est en général pas nul. Dans de nombreux cas, le travail peut se mettre sous la forme de la différentielle d’une fonction : intérieures.

Considérons le cas particulier de deux particules en interaction.

1

67

→₁₂= ₂ (force gravitationnelle ou électrique)

)

Dans le cas d’un solide(système composé d’un ensemble de points rigides) le travail, et en conséquent la puissance, des forces intérieures est nul car 0

2

1 =

→M M

d .

3- Travail des forces extérieures : Energies potentielles associées

∑

^{→ →}

1- Travail des forces de pesanteur : Energie potentielle

Le travail élémentaire des forces de pesanteur qui s’exercent sur un système matériel S est :

Z sont les positions du centre d’inertie

G

.

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.

_Mi

Hi

→ω

O x

y z

S0

I I1

x0

z0

y0

ℜ₀ O à des instants différents.

2- Travail des forces d’inertie d’entraînement 2-1 Cas de translation

Soit un référentiel ℜ’ en mouvement de translation par rapport à un référentiel ℜ.

− →

=

−

=

−

=

∑

^{m → dO→M →}

∑

^{m dO→M m→ dO G}

W _ie

i i i ie

ie

ext i _γ

.

_{' γ}

.

_{' γ}

.

'

δ

cste G O m

E_{p= ie}

.

' ₊

→ →

γ

2-2 Cas de rotation uniforme

Considérons un système matériel en rotation uniforme ^→ω autour d’un axe fixe par rapport à un repère ℜ. Chaque élément de masse mi est soumis

A une force centrifuge ^→Fie⁼m_iω2H_i^→M_i .

∑

^{→ →}

= _{i i i i}

ext m H M dOM

W ω2

.

δ

or dOM^→ _i =dOH^→ _i +dH_i^→M_i

i Oz i

ext mi dH M dI

W 2 2

2 2

2 ω

δ =

∑

ω ^→ =

cste I

Ep 2 Oz

2 +

−

= ω

où Ioz est le moment d’inertie par rapport à l’axe Oz.

4- Travail total des actions de contact entre solides

1-4 Travail de l’action d’un solide fixe sur un solide en mouvement

Considérons un solide S0 fixe qui exerce une force via un contact ponctuel en I avec un solide S1 en mouvement.

Soit V^→I₁ la vitesse du point I1 de S1 qui coïncide avec I et [ , 1( )]

→

→

= →R MI R

τ

R le torseur associé à l’action appliquée au point I, qu’exerce S0 sur S1.

Le travail élémentaire de cette force de contact est : dt

S S R M dt V R

W_ext

.

_{I I} ( )

.

( ₁/ ₀ )

1 1

→

→

→

→

→ +

= ω

δ

) / ( )

(

.

_{1 0}

.

V 1 M 1 R S S

R^→_I ^→_I ^{→ →}

→ +

= ω

P

_.

Comme le contact est ponctuel M^→I1(^→R )=0 et en conséquence

P

=^→R

.

V^→_I1_.

S₁

Π

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69

M O

θ

ϕ

x’

C

P

= 0 dans deux cas :

* ^→R⊥V^→I1 . Sachant que V^→I1 est contenue dans le plan tangent Π, alors les forces de frottement sont nulles.

* 0

1 =

→I

V . Il n’y a pas de glissement.

2-4 Puissance totale des actions en contact

Considérons deux solides S₁ et S₂ en mouvement par rapport à ℜ et assujettis à rester en contact pseudo-ponctuel, moment des actions de contacts n’est pas négligeable. Notons par I l’un des points géométriques de contact I₁ et I₂ les points respectifs de S₁ et S₂ qui coïncident avec I à l’instant considéré.

Si [ 2 1 , → (→)]

→ →

= R MI R

τ

R est le torseur associé aux actions de contact qu’exerce S₂ sur S₁, le travail élémentaire est :

dt S

R M V

R

W2 1 [ 2 1

.

_{I I} ( 2 1)

.

( ₁/ )]

1

1 + ℜ

= ^→ _→ ^{→ → →} _→ ^→

→ ω

δ

dt S

R M V

R

W1 2 [- 2 1

.

_{I I} ( 2 1)

.

( ₂/ )]

2

2 − ℜ

= ^→ _→ ^{→ → →} _→ ^→

→ ω

δ

d’où l’expression du travail total

dt S S R

M V R

W_t [ 2 1

.

_{g I}( 2 1)

.

( ₁/ ₂)]

→ →

→

→

→ →

→ +

= ω

δ En conséquence

) / ( )

( 2 1 _{1 2}

1

2

.

V M R

.

S S

R _{g I}

t →

→ →

→

→ →

→ +

= ω

P

Dans le cas où _{2 1}

.

_≠0

→ →

→R Vg le terme M^→_I

.

^→ω(S₁/S₂) peut être négligeable vue qu’on assimile le contact à un contact ponctuel.

Comme la vitesse de glissement V^→g est portée par le plan tangent en I, la puissance totale des actions de contact se réduit à :

t =^→T_2→1

.

V^→g

P

D’autre part, en raison des lois de Coulomb sur le frottement : la composante tangentielle de

→R, i .e →1→2

T , est opposée à V^→g,

P

_t ≤0_.

=0

P

t _si ^→V_g=0, pas de glissement ou ^→T1_→2=⁰, pas de frottement

Rappelons que

P

_t est indépendante du choix du référentiel par rapport auquel on la calcule puisque le torseur force correspondant est nul. Il est donc judicieux de l’évaluer dans le référentiel où les calculs sont les plus simples.

Exemple

Considérons le système constitué par une tige T et un disque D articulé au centre C de D. L’autre extrémité O est fixe dans ℜ. Les actions de contact interviennent au point O et au point C.

Au point O la puissance totale est :

x

y

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O z

t =^→RV^→ ℜ +M^→O^→R ^→T ℜ =M^{→ →}R o^→e θ

ω

.

.

.

_{(O/ ) ( ) ( / ) ( )}

P

Au point C, le calcul est simple dans ℜ' car V^→(C/ℜ ')=0 .

z C

t =M^→C(^→R)

.

^→(D/ℜ ')=M^→ (^→R)

.

( − )^→e o o θ ϕ

P

ω

3-3 Application aux liaisons : Liaisons parfaites

Une liaison est parfaite si la puissance totale des actions de contact est nulle. Comme cette puissance est indépendante du référentiel considéré, le caractère parfait d’une liaison est une propriété intrinsèque.

Dans le cas de l’exemple de la masselotte qui glisse sur une tige en rotation uniforme :

o' x

t =T

P

_.

P

_{t = 0} ⇒ T = 0 ; pas de frottement.

Dans le cas de la sphère roulant sans glisser sur un plan incliné :

P

t =^→R

.

V^→g_.

P

_{t = 0} ⇒

=0

→g

V ; pas de glissement.

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