1) Introduction
PLorsqu’on s’int´eresse `a des forces non-conservatives, on introduit le concept de travail, qui est le petit fr`ere de l’´energie potentielle (comparez l’encadr´e qui suit `a celui qui pr´ec`ede)
Lorsqu’on se d´eplace dedx(petit, infinit´esimal), le travail de la forceF est (notez le signe !) :
δW =F dx Pour un d´eplacement fini,
WA→B= Z B
A
F dx
♥
L’´energie potentielle n’existe que pour les forces conservatives. En revanche, on peut calculer le travail aussi bien pour une force conservative que pour une force non-conservative. Remarquez que pour une force conservative, le travail prend une forme particuli`erement
III.. Le travail
simple :
WA→B=Ep(A)−Ep(B) (§)
2) Quelques propri´ et´ es
Trois questions (au moins) se posent :
1 Quelle est la diff´erence avec ce qu’on a fait pour les forces conservatives ? Quoi de neuf ?
2 Pourquoi cette notation ´etrangeδW?
3 Pourquoi introduit-on cette quantit´e ? Quelle signi-fication ? Quel int´erˆet ?
1 La grande nouveaut´e quand on consid`ere des forces non-conservatives, c’est queWA→B ne d´epend pas seule-ment des pointsA etB, mais aussi de la fa¸con dont on va deA`a B!
Exo : Un bateau d´erive sur la mer, et subit une force de frottement visqueux :F =−αv (le signe −indique que force et vitesse sont en sens oppos´es). Conditions initiales :v(t= 0) =v0,x(t= 0) = 0.
1. Trouvez v(t), x(t) et v(x), et tracez cette derni`ere relation.
2. Calculez le travail de la force de frottement entre x= 0 etx=L. Conclusion ?
1. Relation fondamentale de la dynamique : mdv
dt =F =−αv D’o`u :v(t) =v0exp(−αt/m)
etx(t) =mv0/α(1−exp(−αt/m)) Quandt→ ∞,v→0 etx→mv0/α.
v(x) =v0−αx/m v
x
mv0
α
v0
W0→L= Z L
0 −α(v0−αx/m)dx
=−αv0L+(αL)2 2m
Attention ! ! cette formule est valable uniquement si mv0/α > L. Si non... on n’arrive jamais enx=L! Cette in´egalit´e implique queW0→L<0
On remarque que le travail d´epend de la vitesse `a la-quelle on va de 0 `a 1. Par cons´equent, il n’existe pas de fonctionW telle queW0→L=EP(0)−EP(L).
2 On introduit la notation δW pr´ecis´ement pour se souvenir qu’il n’existe pas de fonction W telle que W0→1=W(1)−W(0).
On dit queδW
(n’est pas une diff´erentielle totale est une diff´erentielle partielle Conclusion :
dEp → RxB
xA dEp=Ep(xB)−Ep(xA) Il existe une fonction Ep
δW → RxB
xA δW =WA→B
Il existe n’existe pas de fonctionW Ep(x) est une fonction d’´etat, car d´epend uniquement de l’´etat du syst`eme (enx), et pas du chemin qui nous a amen´e en x. Au contraire, W n’est pas une fonction d’´etat.
3 `A quoi sert la notion de travail de la forceF entre Aet B?
WA→B donne l’´energie
(dissip´ee siW <0
acquise siW >0 par le syst`eme entreAet B `a cause de la forceF.
Revenons `a l’exemple de bateau. Dans ce cas, l’´energie du syst`eme est l’´energie cin´etique (pas d’´energie poten-tielle dans ce cas).
∆Ec =1
2m(v(x=L)2−v(x= 0)2)
=1 2m
v0−αL m
2
+ αL
m 2!
=(αL)2
2m −αLv0
=W0→L
Dans le cas g´en´eral :
WA→B=Em(B)−Em(A)
o`uWA→Best le travail des forces non-conservatives FN CetEm=Ec+Ep, avecEpl’´energie potentielle des forces conservativesFC.
♥
D´emonstration (facultative) :
B(t) est la trajectoire de notre syst`eme, avec B(t =
Chapitre 3. ´Energie, travail, chaleur, premier principe Cette quantit´e est donc toujours nulle.
WA→B=Em(B)−Em(A) GAGN´E ! ! !
Pour se souvenir de la signification du signe du travail, souvenez-vous du sch´ema suivant, qu’on am´eliorera dans la suite :
W Syst`eme
La fl`eche nous rappelle que si de l’´energie rentre dans le syst`eme (flux d’´energie dans le sens de la fl`eche), le tra-vail est positif. Inversement, si de l’´energie sort du sys-t`eme (le syssys-t`eme fournit du travail `a l’environnement) le travail est n´egatif. Attention, cette fl`eche ne nous indique pas dans quel sens se d´eplace l’´energie.
3) Cas particuli` erement important
Consid´erons du gaz (notre syst`eme) dans un piston, et bougeons le piston dedx (petit)
S
dx x
On veut d´eplacer le piston tr`es lentement, pour que la pression `a l’int´erieur du piston soit toujours bien d´efinie (bien ´egale en tous points) . Pour ce faire, on applique sur le piston une forceF~ qui compense l’effet de la pres-sion interne, plus une toute petite force qui va permettre de d´eplacer le piston. Le travail de la forceF~ lors du d´e-placement est :
δW =F~·d~r=−P Sdx=−P dV
Le signe − est la cons´equence du fait que la force est orient´ee dans la direction oppos´ee `a l’axe desx.
Consid´erons maintenant une transformation finie (va-riation non-infinit´esimale de volume). On va s’int´eresser
`
a une classe tr`es importante de processus : Les processus quasi-statiques. Ces transformations sont effectu´ees tr`es lentement, de sorte que l’on peut toujours (`a chaque ins-tant) consid´erer que le syst`eme est `a l’´equilibre, et que les variables thermodynamiques (P,T,· · ·) sont toujours bien d´efinies.
Une transformation quasi-statique, c’est un ensemble de transformations infinit´esimales, comme celles qu’on a vu pr´ec´edemment :
On peut maintenant calculer le travail de la force quand on va deA`a B :
WA→B=Somme des travaux de chacune des transfor-mations infinit´esimales
WA→B= Z B
A −P dV Interpr´etation graphique de cette relation :
000000
Aire de la surface hachur´ee =−travail de la force.
On voit bien que suivant le chemin utilis´e pour aller de A`a B, l’aire sous la courbe n’est pas la mˆeme, et donc que le travail d´epend du chemin suivi pour aller deA `a B, ce qui justifiea posteriorila notationδW
Exemple :
III.. Le travail
Le travail entreA et B le long du chemin (1) diff`ere de celui le long du chemin (2) par l’aire de la surface :
00000
1 Quel est l’int´erˆet pratique de consid´erer une trans-formation quasi-statique ? On n’a pas envie de se limiter
`a des processus extrˆemement lents !
En fait, ce qu’on appelle “lent” ici, c’est “suffisamment lent pour que le syst`eme puisse s’´equilibrer”.
Prenons l’exemple d’un gaz dans un piston. Jusqu’`a quelle vitesse du piston peut-on consid´erer que la trans-formation est quasi-statique ? Pour r´epondre `a cette question, il faut trouver une vitesse caract´eristique de l’´equilibration de la pression dans notre syst`eme. Si vous
r´efl´echissez un peu, vous verrez que cette vitesse carac-t´eristique est la vitesse du son. Donc tant que la vitesse du piston est petite par rapport `a la vitesse du son, on peut consid´erer que le processus est quasi-statique.
Application : Consid´erons l’air se trouvant dans le pis-ton d’un moteur tournant `a 3600 tours/min. L’amplitude du piston est de l’ordre de 10 cm, de sorte que la vitesse typique du piston est vp ∼ 6 m/s, ce qui est beaucoup plus petit que la vitesse du son.
Mˆeme dans un moteur, la transformation peut ˆetre consid´er´ee comme quasi-statique !
2 On peut n´eanmoins rencontrer des processus qui ne sont pas quasi-statiques. Prenons l’exemple de la d´etente de Joule :
Initialement, le robinet est ferm´e et le gaz (notre sys-t`eme) se trouve enti`erement dans l’enceinte A (l’enceinte B est vide). On ouvre le ro-binet, et le gaz se r´epand dans l’enceinte B.
A B
Apr`es ´equilibration, la pression dans A est ´egale `a celle dans B, mais durant le processus de d´ecompression, on ne peut pas d´efinir une pression. Dans ce cas, notre dia-gramme de Clapeyron devient :
P
V
Les pointill´es indiquent que l’on passe d’un ´etat d’´equi-libre `a un autre, sans passer par une succession d’´etats d’´equilibre interm´ediaires. Il faut bien se rappeler que la pression n’est pas bien d´efinie entre l’´etat initial et l’´etat final. En particulier, il est hors de question d’´ecrire : /////////////////////W =−R
P dV
3 Consid´erons une transformation cyclique, c’est `a dire telle que l’´etat initial co¨ıncide avec l’´etat final. Si cette transformation est quasi-statique :
P
V
Comment varie l’´energie du syst`eme lors d’un cycle ? L’´energie du syst`eme d´epend uniquement de l’´etat du syst`eme (c’est une fonction d’´etat), caract´eris´e par les va-riables thermodynamiques (P,T,V,· · ·), donc apr`es un cycle, l’´energie revient `a sa valeur initiale. En revanche le travail d´epend du chemin parcouru lors du cycle. Dans notre exemple,W <0 (le syst`eme a fourni de l’´energie
`
a l’ext´erieur sous forme de travail). Mais pour autant, l’´energie du syst`eme n’a pas vari´e ! ? !
Pour sortir de ce paradoxe apparent, on est oblig´e d’admettre que le syst`eme peut ´echanger de l’´energie avec l’ext´erieur sous une forme diff´erente du travail.
Cette autre forme, c’est la chaleur.
Chapitre 3. ´Energie, travail, chaleur, premier principe