4.5 Mesures ellipsom´ etriques sur mat´ eriau quaternaire InGaAsP
5.1.5 Mod` ele de transport par sauts
Le mod`ele de transport par sauts (”hopping”) s’applique particuli`erement bien au cas des mat´eriaux polycristallins [71,72]. Afin d’appliquer ce mod`ele correctement, il faut consid´erer le transport des porteurs au sein des grains cristallins ainsi que le transport des porteurs entre ces grains. Le temps tunnel, dans le contexte de conduction par sauts, est d´efini comme∶
avec ξ la longueur de localisation, d la distance inter-sites et τ0 le temps pour passer d’un site `a l’autre sans la pr´esence de barri`ere tunnel (sans la pr´esence de saut) [73–75]. La longueur de localisation peut, dans certains cas, correspondre `a la taille moyenne des grains. Le temps tunnel augmente rapidement avec la distance moyenne entre les grains o`u les porteurs sont localis´es.
Conductivité de Drude
Conductivité par sauts
Figure 5.4 Mod`ele de conduction selon une th´eorie de percolation en fonction du RTA. En bleu, la conduction tel que dict´ee par la conduction de Drude dans le cas o`u les grains sont cˆote `a cˆote et qu’il n’existe pas de barri`ere tunnel. En rouge, la conductivit´e par sauts o`u les ´electrons sont localis´es et s´epar´es par des barri`eres tunnels.
Dans un mod`ele de transport `a deux canaux, il est possible d’expliquer la conductivit´e du mat´eriau en tenant compte d’une distribution de la densit´e ´electronique entre un canal de sauts et un canal de conductivit´e de Drude. Pour la conductivit´e de Drude, les grains percolent et le joint de grain n’agit pas comme une barri`ere. La figure 5.4illustre, de mani`ere caricaturale, la distribution des grains entour´es de barri`eres de potentiel, de d´efauts et de joints de grain lors des recuits thermiques. Ce sch´ema illustre les deux modes de conduction∶ conduction de type Drude (bleu) et conduction par sauts (rouge). La conductivit´e de Drude est associ´ee au mode de conduction dans des grains de grande taille o`u d>l.p.m∶ ces grains peuvent r´esulter de la coalescence de plus petits grains cristallins (voir figure5.5). La conductivit´e par sauts correspond au cas o`u l’´electron passe d’un grain `a l’autre sans percolation des chemins de conduction facile. L’´electron doit donc ”sauter” d’un site localis´e `a un autre, tel que dict´e par l’effet tunnel.
La figure5.5illustre un mat´eriau contenant un certain nombre de grains cristallins de diam`etre moyen, d, r´epartis dans tout le volume du mat´eriau. Ces grains sont normalement s´epar´es par des r´egions amorphes∶ les cercles rouges illustrent le fait qu’il existe alors une barri`ere tunnel `a franchir pour passer d’un grain `a l’autre. Il se peut qu’il existe dans un mat´eriau recristallis´e, des r´egions cristallines ´etendues o`u la conduction est facilit´ee par la coalescence de certains grains. La distance entre deux sites est d´etermin´ee selon l’hypoth`ese que tous les grains sont cˆote `a cˆote et qu’il existe des barri`eres tunnels entre les grains, tel que sch´ematis´e dans la figure 5.5. Le
Figure 5.5 Mod`ele de conduction en fonction des barri`eres tunnels. Il existe un chemin qui peut ˆ
etre utilis´e pour parcourir tout le mat´eriau de gauche `a droite ne traversant qu’un seul grain qui est entour´e d’une barri`ere de potentiel. Les barri`eres tunnels sont repr´esent´ees par les cercles rouges entourant certains grains. Le circuit ´equivalent de cette conduction `
a deux canaux est reproduit `a droite.
mat´eriau est donc un m´elange homog`ene de r´egions cristallines o`u la conduction de Drude est pr´esente et de r´egions amorphes pour lesquelles seulement la conduction par saut est possible. L’imp´edance de ce type de mat´eriau peut ˆetre repr´esent´ee `a l’aide du circuit ´equivalent de la figure de droite. Les imp´edances associ´ees `a la conduction de Drude et `a la conduction par sauts sont en s´erie. Dans le cas de la conduction de Drude, l’imp´edance contient une composante r´esistive RD en s´erie avec une composante r´eactive LD qui est purement inductive (la r´eponse `
a une excitation harmonique donne une composante imaginaire de la conductivit´e positive). Dans le cas de la conduction par sauts, l’imp´edance effective est mod´elis´ee par une composante r´esistive RH en parall`ele avec une composante r´eactive CH, qui est purement capacitive (refl`ete l’accumulation de charges au sein des grains cristallins).
La conductivit´e complexe totale dans ce type de mat´eriau est d´efinie par la combinaison d’une conduction de type Drude et d’une conduction r´egit uniquement par le terme de saut entre les grains qui est domin´e par l’effet tunnel [3]. La conductivit´e totale s’´ecrit donc∶
1 σ(ω) = f σD(ω)+ 1 − f σh(ω) (5.14)
avec σD la conductivit´e de Drude,σh la conductivit´e par sauts et f le poids spectral r´egissant ces deux m´ecanismes de conduction. Cette formulation de la conductivit´e se base sur le fait que la percolation de certains grains cristallins ouvre plus d’un canal de transport qui sont ici consid´er´es en s´erie, alors la r´esistance totale est ´egale `a la somme des r´esistances associ´ees `a chacun des
deux termes [72]. Le terme de saut est d´efini tel que [3,69]∶ σh(ω) = −nte2d2
6kBTτt
iωτt
ln(1 − iωτt) (5.15)
o`unt repr´esente le nombre de porteurs qui participent `a l’effet tunnel, τt le temps tunnel et d la distance moyenne entre les grains du polycristal. La figure 5.6 repr´esente la relation de σh
0 2 4 6 8 10 -1.0 -0.5 0.0 0.5 Fréquence Conductivité Hopping 1 2
Figure 5.6 Mod`ele de transport par sauts pr´esentant la conductivit´e dans un milieu h´et´erog`ene fini. La partie du transport dans les microcristaux est n´eglig´ee pour ne laisser que la conduction par effet tunnel.
en fonction de la fr´equence. Un comportement quasi-lin´eaire est observ´e pour les deux parties de la conductivit´e dans une gamme de fr´equences assez grande (plus d’un ordre de grandeur est repr´esent´e `a la figure 5.6). La partie r´eelle de la conductivit´e augmente en fonction de la fr´equence. Dans l’´etude sur les mat´eriaux ternaires et quaternaires, la taille des grains des ´
echantillons est plus petite que la valeur du libre parcours moyen (l.p.m.) en se basant sur le temps de relaxation et la vitesse de Fermi des mat´eriaux apr`es la croissance. Cela pose des restrictions quant aux mod`eles qui peuvent ˆetre utilis´es. En effet, dans le mod`ele de Drude, les collisions surviennent en moyenne dans un temps caract´eristique qui est li´e directement au l.p.m. par la relation l.p.m.= vFτ. Dans le cas des mat´eriaux ternaires recristallis´es, le l.p.m. est toujours plus grand que la taille des grains eux-mˆemes. Dans une telle situation, la distanced est ajust´ee pour correspondre `a la taille de grain. Le mod`ele de conduction dans le cas d’un m´elange de gros ˆılots cristallins et de grains de petites tailles peut soit faire intervenir la conductivit´e de Drude-Plasmon, puisque les ´electrons `a l’int´erieur d’un grain ressentent le confinement, soit avoir une zone d´efinie pour le transport avec sauts et une zone o`u le transport est domin´e par la conductivit´e de Drude dans les gros ˆılots.
La figure 5.7 illustre divers sch´emas de conduction possibles dans des mat´eriaux h´et´erog`enes qui d´ependent de la nature des joints de grain∶ ils peuvent agir comme barri`ere tunnel ou comme puits de potentiel. Le premier sch´ema illustre la conduction tunnel `a travers une barri`ere de
Défauts planaires Joint de grains Barrière tunnel Grain Joint de grains Barrière tunnel Grain Joint de grains Défauts planaires a) b) c) Pièges profonds
Figure 5.7 Diagramme de la conductivit´e par sauts. En a), l’effet tunnel conventionnel d’un ´electron se d´epla¸cant du grain de gauche vers le grain de droite. La ligne exponentielle rouge repr´esente la probabilit´e de transmission en fonction de la distance tunnel `a parcourir. En b), l’effet tunnel par r´esonance. L’´electron, devant une barri`ere tunnel trop large, peut sauter d’un site `a un autre de mˆeme ´energie pr´esent dans la zone amorphe, pour finir sur un site `a l’int´erieur du nouveau grain. En c), la repr´esentation de la conduction en fonction de la bande de conduction. Les ´electrons pi´eg´es par les joints de grains peuvent sortir de ces puits de potentiel par les d´efauts et pi`eges profonds pour ensuite parcourir une r´egion de d´efauts planaires qui n’alt`erent que l´eg`erement la forme de la bande de conduction.
potentiel de hauteur finie. Le coefficient de transmission est donc donn´e par∶
T= exp[−2L/ξ] (5.16)
o`u L repr´esente la longueur de la barri`ere tunnel et ξ la longueur de localisation. Pour des mat´eriaux dont le l.p.m. avoisine la distance tunnel et pour lesquels les ´electrons sont faiblement localis´es autour des sites (e.g ξ ∼ 4 l.p.m.), ce coefficient de transmission est de l’ordre de 10−4[73]. Cela veut dire que le transport utilisant un m´ecanisme d’effet tunnel conventionnel ne peut ˆetre envisag´e.
des niveaux de pi`eges situ´es dans la barri`ere de potentiel. Ce m´ecanisme de saut sur des sites interm´ediaires est le m´ecanisme privil´egi´e dans le cas d’une conduction par sauts puisque le temps pour passer d’un grain `a l’autre est de plusieurs ordres de grandeurs sup´erieurs au temps de collision des porteurs. Lors d’un pulse laser qui cr´ee une population de photoporteurs dans la bande de conduction, les porteurs relaxent au plus profond des bandes avant de participer `a la conduction par sauts.
Finalement, le troisi`eme sch´ema de la figure5.7repr´esente un mode de conduction intra-grain, suivi de la capture et de la r´emission des porteurs par les ´etats associ´es aux d´efauts situ´es au niveau des joints de grain. Dans ce cas, c’est l’activation thermique depuis cette distribution d’´etats localis´es dans les joints de grains qui permet aux porteurs de passer d’un grain cristallin `a l’autre dans le mat´eriau h´et´erog`ene.
En r´esum´e, le transport des ´electrons peut s’effectuer par conduction de Drude dans des grains de taille > l.p.m et par sauts entre les grains. La forme des barri`eres de potentiel que doivent franchir les porteurs pour passer d’un grain `a l’autre n’est pas connue parfaitement mais consid´erant l’importance du courant tunnel observ´e exp´erimentalement sur les mat´eriaux recristallis´es, il semble que la conduction par sauts fasse intervenir une distribution d’´etats de pi`eges au niveau des joints de grains.
0 2 4 6 8 10 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 Fréquence Conductivité Modèle de percolation total Drude- Plasmon0.2% Ilots3.8% Grains98%
Figure 5.8 Courbes de conductivit´e associ´ees au transport des charges dans des grains de diff´erentes tailles. `A basses fr´equences, la conductivit´e est domin´ee par le transport dans des chaines de grains coalesc´es (fl`eche orange). `A des fr´equences interm´ediaires, la conductivit´e est domin´ee par le transport dans de plus petits assemblages de grains (fl`eche verte). `A de hautes fr´equences, la conduction se fait majoritairement dans les grains de petites tailles (fl`eche rouge). Les pourcentages repr´esentent la concentration de chacun des canaux de conduction.
Un moyen de d´emontrer la conductivit´e mixte est par le biais de diff´erentes conductions de type Drude-Lorentz qui se produisent `a diff´erents emplacements dans le mat´eriau pour chaque fr´equence donn´ee. La figure 5.8 illustre divers modes de conduction des porteurs de type Drude-Plasmon dans des grains de tailles diff´erentes (grain unique, petit ilots de grains
coalesc´es, et grande chaine de grains coalesc´es). Il est `a noter qu’il n’existe aucun param`etre par lequel les porteurs peuvent aller de grain en grain si ces derniers sont entour´es par des barri`eres de potentiel. Lorsqu’un poids est associ´e `a chacun de ces canaux de conduction, le spectre de conductivit´e du mat´eriau peut ˆetre reconstruit. `A basses fr´equences, le chemin de conduction privil´egi´e est dict´e par le trajet le plus long∶ la r´esonance plasmon se situe `a plus basse fr´equence et se situe `a fr´equence nulle dans le cas o`u la longueur de la chaine de grains coalesc´es est> l.p.m. (conduction de Drude). `A des fr´equences interm´ediaires, la conduction dans des agr´egats de grains de taille interm´ediaire (ˆılots) est favoris´ee. Finalement `a hautes fr´equences, c’est la conduction dans les grains eux-mˆemes qui dominent∶ la r´esonance plasmon se situe `a plus haute fr´equence.