Le transport optimal et les équations aux dérivées partielles cinétiques 30

L’objet de la théorie du transport optimal, dont on peut dater la naissance au mémoire de Monge Mémoire sur la théorie des délais et des remblais paru en 1781, est l’étude du problème d’optimisation sous contrainte du transfert d’une mesure donnée à une autre. Cette théorie est reliée à beaucoup de domaines et on renverra le lecteur au livre de Villani [142] pour une introduction sur le sujet.

Lorsque l’on adopte le point de vue Lagrangien en théorie cinétique, c’est à dire que l’on suit les particules le long des courbes caractéristiques, il est équivalent de dire que la fonction de distribution des particules (qui est une mesure de probabilité si on l’a nor-malisée) est transportée le long des caractéristiques. De ce fait certains outils développés dans la théorie du transport optimal se révèlent utiles dans l’étude de retour à l’équilibre [141], de champ moyen (voir par exemple la méthode utilisée par Dobrushin [42]), etc. En 2005, Loeper améliore les résultats d’unicité obtenus par Robert [127] pour le système de Vlasov-Poisson et par Yudovitch [90] pour le système Euler-2D, en adoptant un point de vue Lagrangien et les outils du transport optimal. Nous donnons ci-dessous les défi-nitions et les propriétés dont nous aurons l’usage par la suite. Les démonstrations de ces propriétés pourront être trouvées dans la Section 2 de l’article de Loeper[103].

Definition 1.5.1. Soient X et Ydeux espaces polonais. Soient ρ₁, ρ₂ deux mesures boré-liennes de probabilité sur respectivement X et Y. On définit la distance de Wasserstein d’ordre

2 entre ρ1et ρ2, dénotée W2(ρ1,ρ2), par :

W2(ρ1,ρ2) = inf_γ µˆ

X×Yd(x, y)²dγ(x, y)

¶1/2 ,

où l’infimum inf est considéré sur l’ensemble des mesures de probabilité γ sur X ×Y dont les marginales Pxγ et P_yγ sont respectivement égales à ρ₁etρ2.

On peut formuler deux remarques suite à cette définition. En réalité nous n’aurons pas besoin d’un tel degré de généralité et dans notre étude les espaces X et Y désigneront soit

R^d soit T^d. Ces distances, que l’on peut généraliser en remplaçant d(x, y)²par d(x, y)^p, sont liées à la norme de Sobolev H−1(on pourra consulter le chapitre 7 de [142] à ce sujet). On énonce ici un résultat dû à Loeper concernant les solutions d’une équation de Poisson.

Theorem 1.5.2. (Loeper [103].) Soit ρ1, ρ2 deux mesures de probabilité sur R^d avec des densités L∞par rapport à la mesure de Lebesgue. Soit ψ_i, i = 1,2, les solutions des équations de Poisson :

−∆ψi= ρi, on R^d.

Alors

k∇ψ1− ∇ψ2kL2(Rd)≤^¡max{kρ1kL∞,kρ2kL∞}^¢1/2W₂(ρ₁,ρ₂).

On peut également démontrer une version analogue de ce théorème dans le cas du tore, où l’équation de Poisson est modifiée en conséquence.

1.5.2 Limite non-relativiste en distance de Wasserstein pour des

solu-tions à densité bornée (Chapitre 4)

Le point de départ de notre travail mené en collaboration avec D.Han-Kwan est la si-militude des preuves de limite non-relativiste du système de Vlasov-Maxwell vers le sys-tème de Vlasov-Poisson dans des espaces de Sobolev [8;38;129], et les preuves d’unicité des solutions fortes locales du système de Vlasov-Maxwell [56] ou de solutions faibles du système de Vlasov-Poisson par Robert [127]. Elles reposent sur des estimations Lipschitz ou Sobolev dans un cas sur la différence f^VP_{− f}^VM, dans l’autre sur la différence entre deux éventuelles solutions fVP

1 − f₂^{VP. L’amélioration du résultat de Robert par Loeper} re-pose sur l’abandon du point de vue Eulerien où l’on effectue les estimations directement sur l’équation de Vlasov elle même, et à procéder à des estimations de type Gronwall sur une fonctionnelle quantifiant la distance en norme de Wasserstein de deux potentielles solutions de Vlasov-Poisson. C’est ce point de vue que nous avons adapté à la probléma-tique de la limite non-relativiste.

Dans cette section nous exposons le principal résultat du chapitre 4 qui énonce un résultat de limite non-relativiste en distance W₂sous conditions de borne uniforme en ε sur la densité marcroscopique ρ^VM(et à fortiori sur ρ^VP).

Avant d’énoncer notre principal résultat, nous établissons quelques définitions préli-minaires.

On dénotera par P₂(Ω × R³), l’ensemble des mesures de probabilités sur Ω × R³dont les deux premiers moments sont finis, muni de la topologie faible-∗ standard.

Nous précisons maintenant la notion de solution faible que nous emploierons.

Definition 1.5.3. (Solution faible (VP)). Pour T > 0,on appellera f^{VPune solution faible de}

(1.3.1) sur [0,T) associée à la donnée initiale f⁰si — f ∈ C([0,T),P2(Ω × R³) − w∗),

— pour toutes fonctions test ϕ ∈ C∞ c ([0,T) × Ω × R³), ˆ [0,T)×Ω×R3 ¡ ∂_tϕ + v(ξ) · ∇xϕ − ∇xφ^VP· ∇ξϕ¢ f (t,dξ,d x)d t = − ˆ Ω×R³ϕ|t=0f⁰(dξ,d x), (1.5.1)

— pour tout t ∈ [0,T), φ^VP(t) est une solution de l’équation de Poisson : −∆φ^VP= ρ^VP− λΩ.

— pour tout t ∈ [0,T), la densité de courant j^VPsatisfait la loi de conservation :

∂_tj^VP_{+ ∇}x: 〈f ,1 ⊗ |ξ|²〉 = −∇xφ^VPρ^VP. On rappelle que le scalaire λΩdésigne 0 si Ω = R³et 1 si Ω = T³.

Definition 1.5.4. (Solution faible de Vlasov-Maxwell). Pour T > 0, on appellera (f^VM,E,B)

une solution faible de (RVM) sur [0,T) associée aux données initiales (f⁰,E⁰,B⁰) si

— f^VM_{∈ C([0,T);P}2(Ω × R³) − w∗),

— E,B ∈ L¹(0,T;C⁰_{∩ L}∞(Ω)) ∩ L¹(0,T;LogLip(Ω)),

— pour toutes fonctions test ϕ ∈ C∞

c ([0,T) × Ω × R3), ˆ [0,T)×Ω×R3 ¡ ∂_tϕ + v(ξ) · ∇xϕ + E · ∇ξϕ + εv(ξ) × B · ∇ξϕ¢ f (t,dξ,d x)d t = − ˆ Ω×R³ϕ|t=0f⁰(dξ,d x),

— pour toutes fonctions test ψ ∈ C∞

c ([0,T) × Ω,R), Ψ ∈ C∞ c ([0,T) × Ω,R³)³, ε〈E,∂tΨ〉D′,D+ 〈∇ × B,Ψ〉D′,D− ε〈j^VM,Ψ〉D′,D= −ε〈E⁰,Ψ|t=0〉D′,D, 〈∇ · E,ψ〉D′,D= 〈ρ^VM− λΩ,ψ〉D′,D ε〈∂tB,Ψ〉D′,D− 〈∇ × E,Ψ〉D′,D= ε〈B⁰,Ψ|t=0〉D′,D 〈∇ · B,ψ〉D′,D= 0.

Definition 1.5.5. On dira qu’une solution faible f^VP du système de Vlasov-Poisson dans le sens de la Définition 1.5.3 est adaptée si la densité macroscopique de charge possède un moment d’ordre 4 borné dans le sens suivant :

kρ^VPkL∞(0,T;L1∩L∞(Ω))< +∞, ° ° ° ° ˆ R³|ξ|⁴f^VP(t, x,dξ) ° ° ° ° L∞(0,T;L1(Ω))< +∞. Une telle solution est de plus unique selon [103].

On requerra de plus certaines conditions sur les données initiales.

Definition 1.5.6. On dit que la donnée initiale ( f⁰,E⁰_ε,B⁰_ε) ∈ P2(Ω × R³) × D′(Ω)²est nor-malisée si les conditions suivantes sont respectées. Premièrement,

∇ · E⁰ε=

ˆ

R³

f⁰(x,dξ) − λΩ, et ∇ · B⁰ε= 0 dans D′(Ω).

— la moyenne spatiale de la densité de courant est supposée initialement égale à zéro¹ ˆ

T³×R³

ξ f⁰(d x,dξ) = 0;

— La moyenne spatiale de E⁰_εsatisfait

〈E⁰ε〉 :=

ˆ

T³

E⁰_ε(x)d x = 0.

Certaines des conditions imposées dans les définitions précédentes peuvent sembler inhabituellement abstraites, et sont en effet des conditions ad hoc pour que notre théo-rème soit vrai. Nous expliquons cependant plus en détail dans le chapitre 4 pourquoi les critères usuels demandés aux conditions initiales sont compatibles avec les nôtres.

Notre résultat principal, obtenu en collaboration avec D.Han-Kwan, est le suivant :

Theorem 1.5.7. Soit f⁰dans P2(Ω×R³), (E_ε⁰,B⁰_ε) ∈ D′(Ω)²des données initiales normalisées dans le sens de la Définition 1.5.6. Soit T > 0 (indépendant du paramètre ε) et supposons que f^VPet (f_ε^VM,Eε,Bε) sont des solutions faibles respectives de (1.3.1) et (RVM) sur

l’inter-valle de temps [0,T], de donnés initiales respectives f⁰et (f⁰,E⁰_ε,B⁰_ε). On suppose de plus

que f^VPest une solution faible dans le sens 1.5.5.

Enfin, on suppose qu’il existe des constantes C0> 0 , et (α,β,γ1,γ2) ∈ [0,1)⁴vérifiant

κ := min(α − (β + 2γ2),1 − (γ1+ γ2)) > 0, (1.5.2)

telles que

— la densité macroscopique ρ^VMest uniformément bornée en ε :

kρ^VMε kL∞(0,T;L1∩L∞(Ω))≤ C0, (1.5.3) — le moment d’ordre α mα(t, x) := ˆ R³ f_ε^VM(t, x,dξ)|v(ξ)|α,

possède une borne uniforme dont on contrôle la croissance en ε :

kmαkL∞(0,T;L∞(Ω))≤ C0ε^−β, (1.5.4)

— le champ électrique longitudinal et le champ magnétique croissent en norme L²au plus comme ε−γ2 :

kε∂tAεkL∞(0,T;L2(Ω))≤ C0ε^−γ1,

kBεkL∞(0,T;L2(Ω))≤ C0ε^−γ2. ^(1.5.5)

Alors il existe ε0> 0, une constante C > 0 dépendant uniquement de la condition initiale,

telle que pour tout ε ∈ (0,ε0] et pour tout t dans [0,T],

W2(f^VP, f_ε^VM)(t) ≤^¡C (1 + T)²ε^κ¢exp(−C(1+T)²) . (1.5.6)

1. On notera que cette hypothèse sur la densité de courant correspond physiquement à un changement de repère Galilléen.

La démonstration repose sur l’obtention d’une inégalité de type Grönwall pour la fonctionnelle Q(t) :=¹ 2 ˆ Ω×R³ f⁰(d x,dξ)^¡_|X^VP_{− X}^VM_|²_{+ |Ξ}^VP_{− Ξ}^VM_|^2¢ (1.5.7)

où, (X^VP,Ξ^VP) (respectivement (X^VM,Ξ^VM)) désigne le flot Lagrangien associé associé à Vlasov-Poisson (respectivement Vlasov-Maxwell). On remarquera ainsi que

((X^VP,Ξ^VP)(t),(X^VM,Ξ^VM)(t))#f⁰

est une mesure de probabilité sur^¡T³× R^{3¢2, de sorte qu’il nous sera possible d’établir les} relations suivantes entre la fonctionnelle Q et la distance de Wasserstein entre les deux solutions f^VPet f^VM

W₂²(f^VP(t), f^VM(t)) ≤ 2Q(t), et

W₂²(ρ^VP(t),ρ^VM(t)) ≤ 2Q(t).

1.5.3 Une classe de solutions à valeurs dans un espace de mesures