(2) SiA a n états alors A est isomorphe à AL.
Preuve Soit Q (resp. Q0) l’ensemble des états (resp. des états accessibles) deA . La proposition5.17
montre que acc(A ) a plus de n = |Res(L)| états; donc |Q| Ê |Q0| Ê n. Si A a n états alors |Q| = |Q0| = n
doncA est accessible (Q = Q0) etϕA est bijective. Dans ce cas,A est isomorphe àA — q 7→f q = {q}e
est un isomorphisme — donc àAL.
5.3.4 Calcul de l’automate minimal
Pour déterminer l’automate minimal d’un langage L reconnu par un AFDC accessibleA = (Q,{d},F,•), il suffit de calculer l’équivalence de NÉRODE∼ de A ; l’automate fA s’en déduisant immédiatement.
Soit une relation d’équivalenceR sur Q, ce qui équivaut à la donnée d’une partition1Π = Q/R de Q.
On dira qu’une lettre x ∈ X sépare une classe C ∈ Π s’il existe deux états q,q0∈ C tels que les deux états q • x et q0• x ne soient pas Π-équivalents, c.-à-d. appartiennent à deux classes différentes deΠ. Dans ces conditions, la relation d’équivalence RC ,xsur C définie par qRC ,xq0⇔
q • x R q0• x définit donc au moins deux classes et on note Π
C ,x la partition de Q obtenue en
remplaçant, dansΠ, la classe C par les classes définies par RC ,x:ΠC ,x= (C /RC ,x) ∪ (Π \ {C }).
Par exemple, pour l’automateA de la figure5.12etΠ = {{2,3,5,7},{1,4},{6}}, la lettre a sépare la classe C = {2,3,5,7} car, par exemple, 2 • a = 4 et 3 • a = 6 ne sont pas Π-équivalents. On calcule C /RC ,a= {{2},{3},{5,7}}; d’où ΠC ,a= {{2},{3},{5,7},{1,4},{6}}.
Proposition 5.24 L’algorithme suivant renvoie Q/∼ soitΠ ← {Q \ F,F} dans
tant que il existe x ∈ X et C ∈ Π tel que x sépare C faire Π ← ΠC ,x
renvoyerΠ
Preuve Précisons d’abord l’équivalence de NÉRODE∼. Deux états q et q0ne sont pas ∼-équivalents (q 6∼ q0) s’il existe un mot u qui appartient à l’un et pas à l’autre des deux ensembles q−1F et q0−1F
c.-à-d. q • u ∈ F et q0• u 6∈ F ou le contraire. On a q ∼ q0⇒ ∀v ∈ X∗, q • v ∼ q0• v car si q • v 6∼ q0• v il existe u tel que, par exemple, q • vu ∈ F et q0• vu 6∈ F .
La boucle termine car le nombre de classes deΠ reste É |Q| et augmente strictement dans le corps de cette boucle.
La propriété —Π est plus fine2que {Q \F,F } et moins fine que Q/∼ — est un invariant de la boucle. En effet si elle est vérifiée et siΠ0= Π
C ,xalorsΠ0est plus fine queΠ donc que {Q\F,F} et, pour vérifier
queΠ0est moins fine que Q/∼, soient deux états q ∼ q0. Alors q et q0sontΠ-équivalents donc s’ils ne sont pas dans C ils sontΠ0-équivalents et s’ils sont dans C , comme q • x ∼ q0• x, q • x et q0• x sont
Π-équivalents c.-à-d. q et q0sontR
C ,x-équivalents doncΠ0-équivalents.
L’invariant est vérifié à l’entrée dans la boucle car si q ∼ q0, alors q = q • µ et q0= q0• µ sont tous deux dans F ou tous deux dans Q \ F donc sont {Q \ F,F }-équivalents. Il l’est donc aussi à la sortie.
La partitionΠ renvoyée à la sortie est donc moins fine que Q/∼. Elle est aussi plus fine car si q et
q0sontΠ-équivalents alors, pour toute lettre x, comme x ne sépare pas de classe de Π, q • x et q0• x
sontΠ-équivalents et, par récurrence sur |u|, pour tout mot u, q •u et q0•u sont Π-équivalents donc
{Q \ F,F }-équivalents; soit q ∼ q0.
La figure5.12fournit un exemple de calcul d’automate minimal. Un autre exemple est donné par la figure5.10p.96où on peut vérifier queA00= fA0.
5.4 Transitions instantanées
5.4.1 Définition
Soitε 6∈ X une nouvelle lettre dite lettre vide. Un AF A = (Q,I,F,•) sur l’alphabet X ∪ {ε} est appelé un automate à transitions instantanées ouε-AF sur l’alphabet X . Une transition de A d’étiquetteε est dite instantanée ou ε-transition.
1. Pour faire plus court, on appelle ici partition de Q une partition dont chaque classe est supposée non vide. 2. On dit qu’une partitionΠ1est plus fine qu’une autreΠ2si toute classe deΠ2est une réunion de classes deΠ1c.-à-d. si deux élémentsΠ1-équivalents sontΠ2-équivalents.
↓↑ ↑ ↑ 1 2 3 4 5 6 7 a 2 4 6 4 5 4 7 b 3 5 3 7 7 7 5 A {2,3,4,6},{1,5,7} a {2,3,4,6},{1},{5,7} b {3},{2,4,6},{1},{5,7} calcul de Q/∼ ↓↑ ↑ A B C D a B B B D b C D C D f A
FIG. 5.12 – Calcul de l’automate minimal d’un AFDC A . On part de la partition Π ← {2,3,4,6},{1,5,7}. a sépare la classe C = {1,5,7} donc on fait Π ← ΠC ,a = {2,3,4,6},{1},{5,7}. b sé-
pare alors C0= {2,3,4,6}, d’où Π ← ΠC0,b= {3},{2,4,6},{1},{5,7}. Ni a ni b ne sépare aucune classe
doncΠ = Q/∼. Pour représenter l’automate minimalA , on donne des noms aux classes A = {1},f B = {2,4,6}, C = {3}, D = {5,7}.
Notons Lε= |A |ε⊂ (X ∪ {ε})∗le langage sur X ∪ {ε} reconnu au sens usuel par A .
On définit une nouvelle notion de langage reconnu : un mot u ∈ X∗sera dit reconnu par le
ε-AF A s’il s’obtient à partir d’un mot u0∈ L
εen supprimant toutes les occurrences deε dans u0.
Autrement dit, lors de la lecture de u par unε-AF, on peut passer d’un état à un autre soit en lisant une lettre de u et en suivant une transition étiquetée par cette lettre, ce qui constitue le procédé habituel, soit en ne lisant aucune lettre et en suivant une transition instantanée. Le langage sur X des mots de X∗reconnus en ce sens est appelé le langage reconnu et noté L = |A |.1
5.4.2 Suppression des transitions instantanées
On se propose de montrer que, partant d’unε-AF A = (Q,I,F,•), on peut construire un AF (sans transitions instantanées) équivalent àA ; ce qui montrera que la classe des langages recon- nus parε-AF n’est pas plus large que la classe des langages reconnaissables.
On appelle clôture instantanée d’un ensemble d’états P ⊂ Q de A l’ensemble P • ε∗des états
que l’on peut atteindre à partir d’un état de P en suivant uniquement des transitions instan- tanées. Il s’agit donc de l’ensemble des sommets accessibles depuis un sommet de P dans le graphe G = (Q,{(q,q0) ∈ Q ×Q | q0∈ q • ε}) obtenu à partir de A en ne gardant que les transitions
instantanées. Un parcours2de G permet le calcul de P • ε∗. Proposition 5.25 SoitA = (Q,I,F,•) un ε-AF.
A0= (Q,I • ε∗,F,•0) où q •0x = (q • x) • ε∗est un AF équivalent àA .
Preuve Si u = x1. . . xn ∈ |A |, il existe un calcul réussi de A dont l’étiquette est de la forme u0= εk0x
1εk1x2. . . xn−1εkn−1xnεknoù ∀i , ki∈ N. Considèrons, pour i = 1, .. .,n, l’état qide ce calcul ori-
gine de la transition d’étiquette xi.
DansA : I 3 d−−→εk0 A q1 x1εk1 −−−−→A q2·· · qn xnε kn −−−−→A f ∈ F ; donc, dansA0: I • ε∗3 q 1 x1 −−→A0q2·· · qn xn −−→A0f ∈ F et u ∈ |A0|.
La réciproque est laissée en exercice.
5.4.3 Application
L’utilisation des transitions instantanées permet parfois de simplifier certaines constructions. Par exemple la proposition suivante, dont la preuve est laissée en exercice, permet de retrouver la fermeture de la classe des langages reconnaissables par les opérations rationnelles.
Proposition 5.26 SoientA = (Q,I,F,∆) et A0= (Q0,I0,F0,∆0) deuxε-AF sans état commun recon-
naissant respectivement les langages L et L0.
(1) |(Q ∪Q0,I ∪ I0,F ∪ F0,∆ ∪ ∆0)| = L + L0 (2) |(Q ∪Q0,I,F0,∆ ∪ ∆0∪ (F × {ε} × I0))| = LL0
(3) |(Q,I,F,∆ ∪ (F × {ε} × I))| = L+
Exercice 5.6 Dans le cas oùA et A0sont des AF, montrer que l’AF obtenu en supprimant les transi- tions instantanées de l’ε-AF (2) (resp. (3)) est précisément l’AF défini à l’exercice5.3p.91(resp.5.4
p.91).
1. L est l’image de Lεpar la projection de (X ∪ {ε})∗sur X∗; voir l’exemple3.3p.46. 2. Voir la section3.2.4p.49.