distributions temp´er´ees
Dans cette appendice, on regroupe, sans en fournir de d´emonstrations, une s´erie de concepts et de r´esultats fondamentaux li´es `a la transformation de Fourier. Pour plus de d´etails, voir par exemple [12].
D´efinition 16. La transform´ee de Fourier de u∈ L1(RN) est d´efinie en tout point y de
RN par
Fu(y) = Z
RN
u(x) exp(−2iπx·y)dx.
Th´eor`eme 24 (Riemann-Lebesgue). Si u∈L1(RN), alors Fu∈ C0(RN).
Il est utile de d´eterminer un espace pour lequel la transformation de Fourier soit une transformation interne.
D´efinition 17. La classe de Schwartz des fonctions `a d´ecroissance rapide est d´efinie par
S(RN) = u∈ C∞(RN) t.q. ∀α, β ∈NN, sup x∈RN|xα∂βu(x)|<+∞ ,
o`u pour un multi-indices α= (α1,· · · , αN)∈NN, on note
|α|=α1+· · ·+αN, xα =xα1
1 · · ·xαN
N , ∂α =∂α1
x1 · · ·∂αN xN.
Th´eor`eme 25. La transformation de Fourier est une bijection lin´eaire de S(RN) dans
S(RN) qui de plus v´erifie la formule d’inversion
FFu(x) = u(−x), ∀ u∈ S(RN), ∀ x∈RN.
D´efinition 18. Pour une fonction u: RN →C, on d´efinit ses fonctions translat´ees
τau(x) = u(x−a), a ∈RN,
ainsi que ses fonctions dilat´ees
∂λu(x) =u(x
Proposition 9. Si u, v ∈ S(RN), a ∈R, λ∈R\ {0}, α et β ∈NN, on a 1. F (−2iπx)αu
=∂αFu, 2. F∂αu= (2iπy)αFu, 3. Fτau= exp(−2iπa·y)Fu, 4. F∂λu=|λ|N∂1/λFu, 5. uv ∈ S(RN), u∗v ∈ S(RN), 6. Fu∗ Fv =F(uv), 7. F(u∗v) =FuFv. Lemme 9. Pour u, v ∈ S(RN) on a Z RN (Fu)v = Z RN u(Fv)
d’o`u on d´eduit par la formule d’inversion l’identit´e de Plancherel
Z
RN|Fu|2 = Z
RN|u|2.
Puisque S(RN) (qui contient C∞
c (RN)) est dense dans L2(RN) et puisque F est uni-taire pour la norme L2(RN) sur S(RN), on peut ´etendre par continuit´e F en une unique application lin´eaire unitaire de L2(RN) dans L2(R)N. On d´emontre que cette extension co¨ıncide avec F surL1(RN)\ S(RN)∩L2(RN).
Th´eor`eme 26. La transformation de Fourier est une bijection unitaire deL2(RN) dans
L2(RN), et quel que soit u∈L2(RN) on a la formule d’inversion
F−1u=∂−1Fu=F∂−1u.
On introduit une structure de convergence sur S(RN) afin de s’embarquer dans la dualit´e et les distributions temp´er´ees.
D´efinition 19. Une suite (un)n∈N dans S(RN) converge vers u∈ S(RN) si et seulement si
lim
n→+∞ sup
x∈RN|xα∂β(u−un)|= 0, ∀α, β ∈NN.
D´efinition 20. L’espace des distributions temp´er´ees sur RN est d´efini par
S′(RN) =
T :S(RN)→C, t.q. T est lin´eaire et s´equentiellement continue .
La convergence dans S′(RN) est la convergence simple :
Tn→T si et seulement si Tn(u)→T(u) ∀u∈ S(RN).
Les distributions temp´er´ees surRN ne sont pas des fonctions surRN.Toutefois l’espace des distributions temp´er´ees peut ˆetre consid´er´e comme une extension de la classe des fonctions de Lp(RN) quel que soit 1≤p≤ ∞. En effet, on a la
Proposition 10. Si 1≤p≤ ∞etf ∈Lp(RN),alors l’application lin´eaireTf bien d´efinie par Tf(u) = Z RN f(x)u(x)dx, ∀u∈ S(RN)
est une distribution temp´er´ee.
Dans la pratique, on identifie f et Tf lorsque cela n’engendre pas de confusion. Pour cette raison, il est ´egalement fr´equent de noter
hT, ui ou mˆeme Z
T(x)u(x)dx en lieu et place de T(u),
lorsque T ∈ S′(RN) et u ∈ S(RN), mˆeme lorsque T n’est rattach´e `a aucune fonction. Dans ce cas, il faut bien ˆetre conscient qu’il ne s’agit que d’une notation et en rien d’une int´egrale de Lebesgue.
Les op´erations usuelles sur S(RN) sont ´etendues `a S′(RN) par transposition, eu ´egard aux propri´et´es v´erifi´ees lorsque T =Tv pour un certain v ∈ S(RN).
Proposition 11. Les relations suivantes pour T ∈ S′(RN) et u ∈ S(RN) quelconques d´efinissent des applications lin´eaires continues sur S′(RN) :
1. D´erivations : h∂αT, ui= (−1)|α|hT, ∂αui, α∈NN, 2. Multiplications : hgT, ui=hT, gui, g∈ S(RN), 3. Translations : hτaT, ui=hT, τ−aui, a ∈RN, 4. Dilatations : h∂λT, ui=|λ|NhT, ∂1/λui, λ∈R\ {0}, 5. Transformation de Fourier : hFT, ui=hT,Fui, 6. Convolutions : hg∗T, ui=hT,(∂−1v)∗ui, g ∈ S(RN).
Th´eor`eme 27. La transformation de Fourier est une bijection lin´eaire de S′(RN) dans
S′(RN) et on a la formule d’inversion
F−1T =∂−1FT =F∂−1T ∀T ∈ S′(RN).
Comme multiplicateur d’une distribution temp´er´ee, on peut utiliser un espace plus large que S(RN), `a savoir l’espace des fonctions `a croissance temp´er´ees :
OM(RN) =
g ∈ C∞(RN), t.q. ∀α∈NN ∃C >0∃m∈N∀x∈RN|∂αg(x)| ≤C(1 +|x|2)m .
En particulier, les fonctions de type x 7→ exp(2iπax) avec a ∈ RN appartiennent `a
OM(RN).
Proposition 12. Les sept propri´et´es ´enonc´ees `a la Proposition 9 s’´etendent au cas o`u
u∈ S′(RN) et v ∈ S(RN).
D´efinition 21. Pour a ∈ RN, la masse de Dirac unit´e au point a est la distribution temp´er´ee δa d´efinie par
hδa, ui=u(a) ∀u∈ S(RN).
Proposition 13. On a1
Fδa = exp(−2iπa·y),
et en particulier
Fδ= 1.
Pour u∈ S(RN), on en d´eduit
u∗δ =u,
c’est-`a-dire que δ agit comme un neutre pour le produit de convolution.
L’identit´e suivante joue un rˆole important dans la d´emonstration du Th´eor`eme 25. Elle poss`ede un int´erˆet propre dans divers situations.
Lemme 10.
Fexp(−π|x|2) = exp(−π|x|2).
Pour terminer, mentionnons qu’il existe d’autres d´efinitions (diff´erentes) de la trans-formation de Fourier, les diff´erences se cachant dans le choix de la normalisation. Parmi celles-ci, on rencontre notamment2
Fu(y) = Z RN u(x) exp(−iy·x)dx, pour laquelle F−1u(x) = 1 2π Z RN u(y) exp(iy·x)dy.
Le lecteur notera queF=∂2πF et pourra ainsi ´etablir un catalogue de formules analogues `a toutes celles ci-dessus mais valables pour F. Il ne trouvera nul meilleur exercice pour v´erifier sa compr´ehension !
1. Au sens de l’identification pr´esent´ee apr`es la Proposition 10. 2. Par exemple ailleurs dans ces notes !
Bibliographie
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