Transformateurs

5.1 Transformateurs

Un transformateur est un dispositif de l’électrotechnique qui permet de faire passer de l’énergie électrique d’un bobinage à un autre par couplage magnétique. C’est une machine électrique entièrement statique permettant, en alternatif, la modification de certaines grandeurs (tension, courant), sans changer leur fréquence.

Figure 5.1 Transformateur.

Parmi les applications des transformateurs, on note :

Electronique

- Alimentation à basse tension. - Adaptation d’impédance.

Electrotechnique

- Transformation de la tension pour le transport et la distribution d’électricité. - Alimentation à basse tension (par exemple, lampes halogènes).

Mesure

- Transformateurs d’intensité de courant. - Transformateurs de potentiel.

D’un point de vue électrique, c’est un quadripôle (4 pôles ou bornes) avec :

- Une première paire (A1, B1), constituant l’entrée. Un générateur applique entre ces bornes une tension sinusoïdale de valeur efficace U1 (par exemple 220 V).

- Une seconde paire de bornes (A2, B2), constituant la sortie. Un récepteur, branché entre ces bornes, est soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace U2.

La figure 5.2 illustre le montage typique transformateur.

Générateur

_Récepteur

Circuit magnétique

Circuit primaire

_{Circuit secondaire}

U

1

U

2

Figure 5.2 Montage des transformateurs. 5.2 Représentation symbolique

Les trois barres verticales sur la figure 5.3, symbolisent le noyau magnétique qui permet à l’énergie magnétique de passer du bobinage primaire, au bobinage secondaire.

Figure 5.3 Représentation symbolique.

L’intérêt du transformateur est de fournir la tension désirée U2 (par exemple 24 V), à partir de la tension U1, dont on dispose, par exemple, celle délivrée par le réseau de distribution. Le transformateur reçoit de la puissance entre ses bornes d’entrées. Il restitue presque

intégralement cette puissance au récepteur, dite charge du transformateur branché entre ses

bornes de sortie : autrement dit, son rendement est excellent.

Si I1 et I2, sont les valeurs efficaces des courants sinusoïdaux circulants respectivement.

V

A

V

A

U

1

U

2 A1 B1 A2 B2 Transformateur Générateur Récepteur I1 U1 U2 I2 I1 U1 U2 I2

Primaire

Secondaire

- D’une part entre A1 et B1 - D’une part entre A2 et B2 On a

𝑈1𝐼1 = 𝑈2𝐼2 (5.1)

1° Si 𝑈₂ > 𝑈₁ → 𝐼₂ < 𝐼₁ , le transformateur est dit alors :  Elévateur de tension

 Abaisseur de courant

𝑼𝟐 : Haute Tension (HT), 𝑼𝟏 : Base Tension (BT)

2° Si 𝑈₂ < 𝑈₁ → 𝐼₂ > 𝐼₁ , le transformateur est alors :  Abaisseur de tension

 Elévateur de courant

𝑼𝟏 : Haute Tension (HT), 𝑼𝟐 : Base Tension (BT)

C’est le cas des transformateurs de soudure qui débitent, au secondaire, un courant intense (1500 A par exemple), alors que le secteur alimentant le primaire ne peut fournir que quelques dizaines d’ampères (15 A par exemple).

5.3 Constitution

Un transformateur monophasé se compose de deux (2) enroulements  Non reliés électriquement

 Mais enlaçant un même circuit magnétique C’est-à-dire couplés magnétiquement entre eux.

Un circuit magnétique, traversé par un champ magnétique variable est le siège de pertes magnétiques (pertes par courants de Foucault et par hystérésis). On limite ces pertes, pour les premières en utilisant un circuit feuilleté et pour les secondes en utilisant un acier au silicium [11].

Figure 5.4 Eléments d’un transformateur.

Une photo réelle d’un transformateur est donnée par la figure 5.5

Figure 5.5 Noyau et enroulements.

La figure 5.6 illustre les paramètres de l’enroulement.

Figure 5.6 Enroulement d’un transformateur.

U

1

_U

₂

I1 _I2

Enroulement primaire

5.4 Principe de fonctionnement

Rappel : LOI DE FARADAY

Une variation de flux magnétique à travers une spire crée une F.E.M. Inversement une F.E.M. dans une spire crée une variation de flux à travers celle-ci [12].

𝑒 = −𝑑𝛷_𝑑𝑡 (5.2) 1- Le bobinage du primaire est alimenté par une tension alternative sinusoïdale 𝑈₁. Il est alors parcouru par un courant 𝐼₁, également alternatif sinusoïdal, de valeur efficace 𝐼₁. 2- La circulation d’un courant dans le circuit primaire génère un champ magnétique 𝐵 ,

évoluant au cours du temps, proportionnel à la valeur efficace 𝐼₁ du courant primaire et également au nombre de spires N1 du bobinage

3- Ce champ magnétique 𝐵 génère alors un flux 𝛷 évoluant au cours du temps, et circulant préférentiellement à travers les parties métalliques, c’est à dire à travers le circuit magnétique du transformateur (Noyau).

S’il n’y a aucune fuite de flux, l’intégralité du flux généré par le bobinage primaire se retrouvera au niveau du bobinage secondaire.

Dans le cas contraire, quelques lignes de flux ne circulent pas dans le circuit magnétique. Ces lignes de flux sont alors perdues et on retrouve au niveau du secondaire une grande partie du flux généré par le bobinage secondaire.

Le flux que l’on retrouve au secondaire est un flux qui évolue également de la même façon que le flux au primaire. Il engendre alors une tension aux bornes du bobinage secondaire : tension alternative sinusoïdale, de valeur efficace 𝑈2.

5.5 Plaque signalétique

Comme tout appareil électrique, chaque transformateur est spatialement calculé pour fonctionner :

 Sous tension primaire 𝑈1𝑛

 Absorbant un courant voisin d’une valeur 𝐼_1𝑛

𝑈1𝑛 et 𝐼1𝑛 sont appelées valeurs nominales, leur produit S= 𝑈1𝑛 ∗ 𝐼1𝑛 est la puissance apparente nominale de l’appareil.

Figure 5.7 Plaque signalétique.

5.6 Transformateur monophasé

5.6.1 Equations générales de fonctionnement

La tension d’entrée 𝑈1 est dite tension au primaire. La tension de sortie 𝑈2 est dite tension au secondaire, en désignant par 𝑟₁, 𝑟₂, 𝑙₁, 𝑙₂ les résistantes et inductances des fuites des bobines primaires et secondaire. 𝑁₁, 𝑁₂ représentent le nombre des spires, 𝛷_𝑐 le flux commun à toutes les spires, et ℜ est la réluctance du circuit magnétique.

Figure 5.8 Transformateur monophasé.

En utilisant la loi d’Ohm et la loi des mailles, les équations de fonctionnement du transformateur s’écrivent : 𝑈1 = 𝑟1𝐼1+ 𝑙1𝑑𝐼_𝑑𝑡1+ 𝑁1𝑑𝛷_𝑑𝑡𝑐 (5.3) 𝑈₂ = −𝑟₂𝐼₂− 𝑙₂𝑑𝐼2 𝑑𝑡 − 𝑁2 𝑑𝛷𝑐 𝑑𝑡 (5.4)

Le circuit électrique équivalent

Tension primaire (BT) Tension secondaire (HT) Fréquence

r

1

r

2

N

1

_N

₂

I

1

_I

2

Φc

Figure 5.9 Circuit équivalent.

Selon le schéma équivalent :

𝔉

₁

− 𝔉

₂

= 𝛷

_𝑐

ℜ ↔ 𝑁

₁

𝐼

₁

− 𝑁

₂

𝐼

₂

= 𝛷

_𝑐

ℜ (5.5)

5.6.2 Transformateur monophasé parfait

Nous définissons le transformateur parfait comme un transformateur ayant les caractéristiques suivantes :

 La résistance dans les fils (au primaire et secondaire) est nulle (𝑟1 = 𝑟2 = 0). Pas de pertes par effet Joule.

 Le noyau magnétique est parfait 𝜇_𝑟 = ∞, ℜ = 0 . Pas de fuites magnétiques 𝑙₁ = 𝑙₂ = 0

Figure 5.10 Circuit équivalent (transformateur parfait).

Dans ce cas, le circuit magnétique canalisant alors parfaitement les lignes de champ, les équations de fonctionnement deviennent alors :

𝑈1 = 𝑁1𝑑𝛷_𝑑𝑡 𝑈₂ = 𝑁₂𝑑𝛷_𝑑𝑡 𝑁1𝐼1− 𝑁2 𝐼2 = 0 (5.6)

Φ

c N1I1 N2I2 Φc R=0

On définit le rapport de transformation 𝑎 comme étant le rapport du nombre de tours du transformateur. Donc :

𝑎 =𝑁2

𝑁1 (5.7)

La figure 5.11représente le symbole du transformateur parfait. Dans ce modèle, les bobinages primaire et secondaire n’apparaissent plus.

Figure 5.11 Symbole du transformateur parfait. Remarque

Ce modèle est utilisé comme adaptateur d’impédance.

Formule de Boucherot

Utilisant les équations du transformateur parfait :

𝑈₁ = 𝑁₁𝑑𝛷_𝑑𝑡 𝑈2 = 𝑁2𝑑𝛷_𝑑𝑡 𝑁₁𝐼₁− 𝑁₂ 𝐼₂ = 0

(5.8)

Le flux s’écrit comme :

𝛷 = 𝛷 sin 𝜔𝑡 (5.9) Utilisant les équations précédentes, on trouve :

𝑈1 = 𝑁1𝑑 𝛷 sin 𝜔𝑡 _𝑑𝑡 (5.10) 𝑈₁ = 𝑁₁𝛷 𝜔 cos 𝜔𝑡 (5.11)

On peut écrire sous la forme générale :

𝑈₁ = 𝑈_𝑒𝑓1 2 cos 𝜔𝑡 (5.12) 𝛷 = 𝐵. 𝑆 (5.13) 𝜔 = 2𝜋𝑓 𝑈1 s’écrit:

I

1

U

1

U

2

I

2

𝑼𝟏 =𝟐𝝅 _𝟐. 𝑵𝟏. 𝑺. 𝒇. 𝑩 (5.14)

5.6.3 Transformateur monophasé réel

Nous devons maintenant prendre en compte toutes les imperfections du transformateur, en introduisant les résistances des enroulements et les inductances de fuites et dont on distingue un flux commun et flux de fuite pour chacune des bobines.

Un transformateur réel a des résistances d’enroulements (r1 = r2 ≠ 0), non négligeables. Le transformateur sera donc le siège de pertes par effet Joule (appelées également pertes

cuivre) :

P_Joule = P_Cuivre = r₁I₁2_{+ r}

2I22 (5.15)

 Une partie du courant primaire génère un flux qui n’est pas induit dans le secondaire. Le flux de fuite primaire est noté 𝛷₁₁.

 Une partie du courant primaire génère un flux qui n’est pas induit dans le secondaire. Le flux de fuite secondaire est noté 𝛷22.

Le flux associé au primaire est :

𝛷₁ = 𝛷_𝑚 + 𝛷₁₁ = 𝛷_𝑚 +𝐼1𝐿1

𝑛1 (5.16)

Le flux associé au secondaire est :

𝛷2 = 𝛷𝑚 + 𝛷22 = 𝛷𝑚+𝐼2_𝑛𝐿2

2 (5.17)

Ces pertes que l’on appelle pertes magnétiques sont proportionnelles à l’intensité du bobinage correspondant et sont quantifiées par des inductances primaires l1 et secondaire l2. Ces pertes sont à caractère inductif.

Le noyau du transformateur réel n’est pas parfaite 𝜇𝑟 est finie, et le courant magnétisant n’est pas négligeable. En effet, le noyau est représenté par une réactance magnétisante Xm.

Les pertes fer sont causées principalement par l’hystérésis et les courants de Foucault. Ces pertes sont représentées par une résistance Rc connectée en parallèle avec Xm.

Les équations suivantes décrivent le fonctionnement du transformateur réel :

𝑈1 = 𝑟1𝐼1+ 𝑙1𝑑𝐼_𝑑𝑡1+ 𝑁1𝑑𝛷_𝑑𝑡𝑐 (5.18) 𝑈₂ = −𝑟₂𝐼₂− 𝑙₂𝑑𝐼2

𝑑𝑡 − 𝑁2 𝑑𝛷𝑐

La figure suivante (5.12) représente le modèle réel du transformateur.

Figure 5.12 Circuit équivalent (transformateur réel).

Les conséquences de ces phénomènes parasites sont :

 Le rendement du transformateur est inférieur à 100%.

 Le rapport de tension entre le primaire et le secondaire ne sera pas exactement égal au rapport du nombre de tours.

 La tension au secondaire variera aussi en fonction de la charge.

En effet, la tension secondaire 𝑈₂ en charge est différente de la tension secondaire à vide 𝑈_2𝑉. On appelle chute de tension secondaire en charge la différence entre les valeurs efficaces de ces tensions :

∆𝑈₂ = 𝑈_2𝑉− 𝑈₂ (5.21)

5.7 Rendement du transformateur

La puissance délivrée par le transformateur est la puissance utile 𝑃_𝑢, alors la puissance qu’il absorbe est la puissance active 𝑃_𝑎.

Le rendement du transformateur se définit par le rapport de 𝑃𝑢 à 𝑃𝑎

Figure 5.13 Bilan de rendement.

RF LM r1 l1 _{r2 l} 2 I1 U1 I2 U2 Enroulement Primaire Enroulement Secondaire Noyau

Primaire Noyau Secondaire

Pj1 PFer Pj2

Pa=U1I1.cos φ1 _Pu=U

𝑃_𝑎 = 𝑃_𝑢 + 𝑃_𝑗1+ 𝑃_𝑗2+ 𝑃_𝐹𝑒𝑟 = 𝑃_𝑢 + 𝑃_{𝐶𝑢𝑖𝑣𝑟𝑒} + 𝑃_𝐹𝑒𝑟 (5.22) 𝑃𝑎 = 𝑃𝑢 + 𝑃𝐶𝑢𝑖𝑣𝑟𝑒 + 𝑃𝐹𝑒𝑟 (5.23) 𝜂 = 𝑃𝑢 𝑃𝑢+𝑃𝐶𝑢𝑖𝑣𝑟𝑒+𝑃𝐹𝑒𝑟 (5.24) 𝜂 < 1, mais proche de 1.

La figure 5.14 illustre une expérience sur un transformateur réel (Laboratoire d’électronique de puissance, département d’électronique, USTO).

Figure 5.14 Rapport de transformation.

𝑈1 = 20 𝑉

Pour le secondaire :

Calibre : 100, la graduation d’échelle : 10 𝑈₂ =4.100 10 = 40 𝑉 𝑼_𝟏 = 𝟐𝟎 𝑽 𝑼𝟐 = 𝟒𝟎 𝑽 𝒂 =𝑈2 𝑈1 = 𝟐

5.8 Détermination des paramètres : 5.8.1 Détermination des pertes fer

Pour déterminer les pertes fer, on effectue l’essai à vide (circuit ouvert : co)sous tension nominale au primaire. Le schéma équivalent est ramené alors au primaire.

Figure 5.15 Essai à vide.

On mesure les paramètres : 𝑷_𝑪𝑶 , 𝑽_𝑪𝑶, 𝑰_𝑪𝑶

Le secondaire étant ouvert : 𝐼₂ = 0 𝐴 → 𝑃_𝑗2 = 0 𝑃𝑢 = 0 Le wattmètre mesure 𝑃_𝐶𝑂 : 𝑃𝐶𝑂 = 𝑃𝑢 + 𝑃𝑗1+ 𝑃𝑗2+ 𝑃𝐹𝑒𝑟 = 0 + 𝑃_𝑗1+ 0 + 𝑃_𝐹𝑒𝑟 (5.25) 𝑃_𝑗1 ≪ 𝑃_𝐹𝑒𝑟 𝑷_𝑪𝑶 ≈ 𝑷_𝑭𝒆𝒓 Schéma équivalent

La figure ci-dessous représente le schéma équivalent en circuit ouvert

Ampèremètre (Ico) Voltmètre (Uco)

Circuit ouvert (à vide)

Rappelons que 𝐼₂ = 0.

Figure 5.16 Schéma équivalent en circuit ouvert.

Les essais à vide (circuit ouvert) nous permettent de déterminer les paramètres de la branche de magnétisation.

5.8.2 Détermination des pertes Joule (cuivre)

Pour déterminer les pertes cuivre, on effectue un essai en court-circuit, sous tension réduite et à courant secondaire nominal.

Figure 17 Essai en court circuit.

Le secondaire étant en court circuit :

R

F

L

M

r

1

l

1

r

2

’

l

2

’

Ico

Uco

I2=0A

Circuit ouvert (co)

RF LM r1 l1 Ico Uco r1 << RF RF LM Ico Uco Ampèremètre (Icc) Voltmètre (Ucc) Court circuit Wattmètre (PCC)

Figure 5.18 Schéma équivalent en circuit ouvert.

𝑅𝐹 ≫ 𝑟1 → 𝐼𝑚 = 0 𝐴, la branche de magnétisation est négligeable. Le circuit alors devient :

Figure 5.19 Schéma équivalent en court circuit (final).

𝑃_𝐶𝐶 = 𝑃_𝑢 + 𝑃_𝑗1+ 𝑃_𝑗2+ 𝑃_𝐹𝑒𝑟 (5.26) 𝑈2 = 0 → 𝑃𝑢 = 0

𝐼_𝑚 = 0 → 𝑃_𝐹𝑒𝑟 = 0 .Alors : 𝑃_𝐶𝐶 = 0 + 𝑃_𝑗1+ 𝑃_𝑗2+ 0 ≈ 𝑃_𝐽 𝑷_𝑪𝑪≈ 𝑷_𝑱

Les essais en court circuit nous permettent de déterminer les paramètres des enroulements.

5.9 Transformateur spécial

Dans les applications industrielles, on rencontre un grand nombre de transformateurs de construction spéciale, mais la plupart possèdent les propriétés de base que nous avons étudiées dans ce chapitre.

R

F

L

M Ucc Im

Court circuit (cc)

r

1

l

1

r

2

’

l

2

’

Icc Ucc

r

eq

l

eq Icc Ucc

5.9.1 Transformateurs triphasés

En triphasé, on peut utiliser trois transformateurs monophasés identiques dont on groupe les primaires et les secondaires en étoile ou en triangle.

Figure 5.20 Transformateur triphasé.

En effet le circuit magnétique est formé de trois noyaux fermés par 2 culasses.

Figure 5.21 Transformateur triphasé (circuit magnétique).

5.9.2 Autotransformateur

On appelle autotransformateur, un transformateur composé d’un enroulement unique monté sur un circuit magnétique (sans isolement). En d’autres termes, c’est un transformateur à un enroulement.

Φ2 _Φ3

Figure 5.22 Autotransformateur.

5.9.3 Transformateurs à impulsion

Le transformateur fonctionne en régime impulsionnelle lorsque son primaire est alimenté par une source continue, a traves d’un interrupteur commandé périodiquement. Ce type de transformateur est utilisé pour la commande des thyristors, triacs et des transistors [13].

Figure 5.23 Transformateurs à impulsion. 5.9.4 Transformateurs d’isolement

Le transformateur d'isolement est seulement conçu pour créer un isolement galvanique, afin d’assurer la sécurité d'une installation industrielle, aussi d'éliminer une partie du bruit électrique.

Application N°1

Des tests effectués au laboratoire sur un transformateur de 1,5 KVA 220/110V, 60Hz ont donné les mesures suivantes :

- Essai en circuit ouvert (côté haute tension en circuit ouvert) 𝑉_𝑐𝑜 = 110V, 𝐼_𝑐𝑜 = 0,4A, 𝑃_𝑐𝑜 = 25W n2 n1 A A B B U1 U2

I

1

U

CC

I

2

Charge

k

- Essai en court-circuit (côté haute tension en court-circuit 𝑉𝑐𝑐 = 8,25V, 𝐼𝑐𝑐= 13,6A, 𝑃𝑐𝑐 = 40W

- La mesure en courant continu des résistances ohmiques des enroulements donne : RHT = 0,413Ω RBT = 0,113Ω

1. Si l’on veut que le flux maximum dans le noyau de transformateur soit de 2mWb, quels doivent être les nombres de spires des enroulements primaire et secondaire. ? 2. Déterminer à partir des essais des différents paramètres du transformateur

3. Donner le schéma équivalent ramené au primaire puis au secondaire de ce transformateur.

4. Si le transformateur débite 110V sous sa puissance nominale, dans une charge inductive dont le facteur de puissance est de 0,8, quelle est alors la valeur de la tension au primaire. ?

5. Quel serait alors le rendement de ce transformateur. ?

Solution 1.

𝛷

_𝑚𝑎𝑥 = 2. 10−3 𝑤𝑏 𝑈 = 4,44. 𝑁𝑓.

𝛷

𝑚𝑎𝑥⇒

{𝑁

₁

=

𝑈1 4,44.𝑓.𝛷𝑚

= 413 𝑠𝑝𝑖𝑟𝑒𝑠

{𝑁

₂

=

𝑈2 4,44.𝑓.𝛷𝑚

= 206 𝑠𝑝𝑖𝑟𝑒𝑠

Noter que 𝑈1 𝑈2

=

𝑁1 𝑁2

= 𝑎 = 2

2. a. L’essai en C.O ⇒ on détermine la branche de magnétisation car Xm > x1 et RF>r1 On travaille avec le schéma, qui ramène au secondaire

𝑃

_𝑐𝑜

=

𝑉𝑐𝑜2 𝑅_𝐹′

⇒ 𝑅

𝐹 ′

₌

𝑉𝑐𝑜2 𝑃𝑐𝑜

=

(110)2 25 = 484 Ω

⇒ R

F

= 𝑎

2

_𝑅

𝐹′

=

1936 Ω

𝑃

_𝑐𝑜

= 𝑉

_𝑐𝑜

𝐼

_𝑐𝑜

cos 𝛷

_𝑐𝑜 = 0, 5682

⇒

sin Φ_co= 0, 8229 Alors 𝑋_𝑚′ = 𝑉𝑐𝑜 𝐼𝑐𝑜sin 𝛷𝑐𝑜

=

110 0,4 𝑥 0,8229

=

334 Ω

⇒ 𝑋

𝑚

=

1337 Ω b. Essai en C.C : On néglige Im

𝐼𝑐𝑐 (13,6)

𝑟

_𝐷𝐶

= 𝑟

_1𝐷𝐶

+ 𝑎

2

_𝑟

2𝐷𝐶 = 0,413 + 0,452 = 0,865 =

𝑟

𝑒𝑝

⇒

𝑟

₁

= 𝑟

_1𝐷𝐶

=0,413

Ω et

𝑟

₂

= 𝑟

_2𝐷𝐶

=0,113

Ω 

cos 𝛷

_𝑐𝑐

=

𝑃𝑐𝑐 𝐼𝑐𝑐𝑉𝑐𝑐 = 0,3565

⇒ sin 𝛷

𝑐𝑐

=

0, 9343

𝑋

_𝑒𝑝′ = 𝑉𝑐𝑐sin 𝛷𝑐𝑐 𝐼𝑐𝑐 = 0,566 Ω 𝑋𝑒𝑝 = 2,264 Ω

𝑋

_𝑒𝑝

=𝑋

₁

+ 𝑎

2

_𝑋

2

⇒𝑋

1

=

𝑋₂𝑒𝑝

=

1,132 Ω

𝑋

₁

= 𝑎

2

_𝑋

2

𝑋

2

=

𝑋₄1

=

0,283 Ω 3. Schéma équivalent A. Ramené au primaire B. Ramené au secondaire

4. On néglige le courant de magnétisation car il est très petit devant le courant nominal

(0,4 << 13,6).

I1 = I’2

U1 = U’2 + (𝑟𝑒𝑝 + j𝑋𝑒𝑝)I

Utilisant la représentation vectorielle, on déduit que : U1= 𝑈₂′ cos 𝜑 + 𝑟𝑒𝑝𝐼1 2 + 𝑈₂′ _{sin 𝜑 + 𝑋} 𝑒𝑝𝐼1 2 𝑆 = 𝑈2. 𝐼2 → 𝐼2 = 𝑠 𝑈₂ = 1500 110 𝐼2 = 13,6𝐴 𝐼₁ =𝐼2 2 = 13,6 2 𝐼₁ = 6,8 𝐴 U1= 220.0,8 + 0,865.6,7 2+ 220.0,6 + 2,264.6,8 2 U1 ₌ 234,10 V

5. Le Rendement

𝜂 =

_𝑃+𝑃 𝑃

𝑓𝑒𝑟+𝑃𝑐𝑢𝑖

P = S cos 𝜑 = 1,5 x 0,8 = 1200 w

𝑃_𝑓𝑒𝑟 = 𝑃_𝑐𝑜 Parce que 𝑉_𝑐𝑜= Tension nominale

𝑃𝑐𝑢𝑖 = 𝑃𝑐𝑐 Parce que 𝐼𝑐𝑐= Courant nominal 𝐼𝑁 = _𝑉𝑆

𝑐𝑐 =13,6

𝜂 =

_1200+25+401200

= 0,9486

𝜂 =

94,86 %

Application N°2

La puissance apparente d’un transformateur monophasé 5000 V / 230 V ; 50 Hz est S = 21 KVA. La section du circuit magnétique est s = 60 𝑐𝑚2 et la valeur maximale du champ magnétique B = 1,1T.

L’essai à vide a donné les résultats suivants :

𝑈₁ = 5 000 𝑉 ; 𝑈_𝑐𝑜 = 230 𝑉 ; 𝐼_𝑐𝑜 = 0,50 𝐴 𝑒𝑡 𝑃_𝑐𝑜 = 250 𝑊.

L’essai en court-circuit avec 𝑰𝒄𝒄 = 𝑰𝟐𝒏 a donné les résultats suivants : 𝑃_𝐶𝐶 = 300 𝑊 𝑒𝑡 𝑈_𝐶𝐶 = 200 𝑉.

1- Calculer le nombre de spires 𝑁1 au primaire.

2- Calculer le rapport de transformation m et le nombre 𝑁₂ de spires au secondaire. 3- Quel est le facteur de puissance à vide de ce transformateur ?

4- Quelle est l’intensité efficace du courant secondaire I2n ? 5- Déterminer les éléments 𝑅_𝑠 ; 𝑍_𝑠 𝑒𝑡 𝑋_𝑠 de ce transformateur.

6- Calculer le rendement de ce transformateur lorsqu’il débite un courant d’intensité nominale dans une charge inductive de facteur de puissance 0,83.

Solution

1. Utilisant la formule de Boucheront : 𝑈₁ = 4.44 𝑁₁𝑆𝐹𝐵 𝑁1 = 𝑈1 4.44 𝑆𝐹𝐵 𝑁1 = 5000 4,44.60. 10−2 2_{. 50. 1,1} = 3413 𝑠𝑝𝑖𝑟𝑒𝑠

2. Calcule du rapport de transformation m et le nombre 𝑁₂ de spires au secondaire : 𝑚 =𝑈2 𝑈1 = 230 5000= 0,046 𝑚 =𝑁2 𝑁₁ → 𝑁2 = 𝑚. 𝑁1 𝑁₂ = 0,046.3413 𝑠𝑝𝑖𝑟𝑒𝑠 𝑁₂ = 157 𝑠𝑝𝑖𝑟𝑒𝑠

3- Facteur de puissance à vide de ce transformateur : 𝑃𝑐𝑜 = 𝑃𝐹 = 𝑈𝑐𝑜. 𝐼𝑐𝑜. cos 𝜑𝑐𝑜 → cos 𝜑𝑐𝑜 = 𝑃_𝑐𝑜 𝑈𝑐𝑜. 𝐼𝑐𝑜 cos 𝜑_𝑐𝑜 = 250 5000.0,5 = 0.1 cos 𝜑_𝑐𝑜 = 0,1

4. Intensité efficace du courant secondaire I2n : 𝑆 = 𝑈_1𝑛. 𝐼_𝑛 = 𝑈₂₀. 𝐼_2𝑛 → 𝐼_2𝑛 = 𝑆 𝑈20 𝐼2𝑛 = 21. 103 230 = 91,3 𝐴 𝐼_2𝑛 = 91,3 𝐴

5. Détermination des éléments 𝑅_𝑠 ; 𝑍_𝑠 𝑒𝑡 𝑋_𝑠 : 𝑅𝑠 =

𝑃_1𝐶𝐶 𝐼_2𝑐𝑐2 =

300

𝐼_2𝑛

𝑋𝑠 = 𝑍𝑠2 − 𝑅𝑠2 = 0,1 2− 0,036 2 = 94 Ω

6. Calcul du rendement de ce transformateur lorsqu’il débite un courant d’intensité nominale dans une charge inductive de facteur de puissance 0,83 :

Pour déterminer le rendement, il faut déjà déterminer la tension U2 aux bornes de la charge, utilisant l’expression approchée de la chute de tension :

∆𝑈2 = 𝑈2− 𝑈2 = 𝑅𝑠. 𝐼2. cos 𝜑 + 𝑋𝑠. 𝐼2. sin 𝜑 ∆𝑈2 = 36, 10−3. 91.3.0,83 + 94. 10−3. 91,3 ∗ sin cos−10,83 = 7,51 𝑉 𝑈2 = 𝑈𝑐𝑜 − ∆𝑈2 = 230 − 7,51 𝑈2 = 222,5 𝑉, on calcule P1 et P2 : 𝑃2 = 𝑈2. 𝐼2. cos 𝜔 = 222,5.91,3.0,83 = 16,86 𝐾𝑊 𝑃1 = 𝑃2+ 𝑃𝐹+ 𝑃𝐶 = 16,86. 103+ 250 + 300 = 17,41𝐾𝑊 η = 𝑃2 𝑃₁ = 0,968 η = 96,8 %

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