: Transformées de Laplace

1

²

²(

+

+

−

t e^{x t}

∈ R est continue et a une dérivée partielle en x continue : ( tx,)

x

∂f

∂ _{= − 2x} −x²(t²+1)

e

. Les hypothèses du théorème sont donc satisfaites.

Donc G’(x) =

∫

₀¹⁻

^{2 xe}

^{−x²(t²+1)}

^{. dt}

^{= − 2xe−x²}

∫

₀¹

^e

^−x²t²

^.dt

^{= − 2e−x²}

∫

₀^x

^e

^−u²

^{. du}

= − 2.F(x).F’(x).

On en déduit que la fonction H(x) = G(x) + F²(x) est constante.

2) H(0) = G(0) =

∫

₀¹ _t²^{1 dt}₊₁^{. = π}₄, donc H(x) = π4_.

Or, quand x → +∞, G(x) → 0. Cela peut se montrer à l’aide du théorème de convergence dominée.

Mais cela découle aussi des gendarmes : 0 ≤ G(x) =

∫

₀^{1 e−}_t^x_²^²(₊^t²₁^{+1).dt ≤}

∫

₀¹

^e

^−x²

^.dt

^{= e−x².}

On en conclut que F²(x) →

π4, donc que F(x) →

2π quand x → +∞. CQFD

Exercice 13 : 1) Montrer que (∀x ∈ R)

∫

₀^π/2

^exp(

⁻

^{x . cos t ). cos( x . sin t ). dt}

⁼

^π ₂

⁻

∫

₀^xsin_t^t.dt.

2) En déduire que lim _x→+∞ Si(x) =

π 2

_. Solution :

Exercice 14 : Fonctions de Bessel.

Pour tout n ∈ N et x ∈ R, on pose J_n(x) =

_π

^1.

∫

₀^πcos(n.

^θ

^−x.sin

^θ

^).d

^θ

^.

1) Montrer que J_n est C^∞ sur R ; calculer ses dérivées.

2) Montrer que J_n vérifie l’équation différentielle x².J_n‘’(x) + x.J_n’(x) + ( x² − n² ).J_n(x) = 0.

3) Montrer que J_n est dse sur R ; trouver son développement en série entière.

Solution :

Exercice 15 : Transformation de Fourier.

Soit f ∈ C([a, b], R). Montrer que la fonction F(x) =

∫

a^bexp(⁻ix.t).f(t).dt est C^∞ sur R.

Montrer que ce résultat subsiste si f est seulement continue par morceaux, ou réglée sur [a, b].

Solution :

Exercice 16 : Transformées de Laplace.

Soit f ∈ C([a, b], R). Montrer que la fonction F(x) =

∫

_a^b

^e

^−xt

^{. f ( t ). dt}

^{est C∞ sur R.}

Montrer que ce résultat subsiste si f est seulement continue par morceaux, ou réglée sur [a, b].

Solution :

Exercice 17 : Transformations intégrales. Soit N : I × I → R une fonction continue.

A toute f ∈ C(I, R) on associe F = TN(f) définie par F(x) =

∫

_a^b

^{N ( x , t ). f ( t ). dt}

(∀x ∈ I).

1) Montrer que F est continue, et que T : C(I, R) → C(I, R) est linéaire continue pour la norme uniforme.

2) Si N et N’ sont deux fonctions continues I × I → R, que dire de T_N o T_N’ ? Solution :

Exercice 18 : Equivalent en +∞ de la somme double S_n =

∑

≤

≤pq np+q pq

, 1

[ Pls. Méthodes possibles.

]

Solution : Cet exercice est corrigé dans mes exercices sur les séries.

7.3. Intégrales où x est partout.

Exercice 21 : Étudier la fonction F(x) = ^x

t x t dt

x

( 1 ²)( ² ²) .

∫

₋ ^{+ −} . Limite en 0.

Solution : F est définie pour tout x réel, et impaire.

Posons t = xu . Il vient : F(x) = x ¹

( 1 x ² u ²)( 1 u ²) . du

∫

₋⁺1 ^{+ − .}

Pour 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ F(x) ≤ x ¹

1 u . du

1

∫

₋^{+ −} 4 ^→ 0+. On conclut par imparité.

Exercice 22 : Soit E = C(R⁺, R). Si ( f, g) ∈ E², on définit leur convolée h = f * ^{g par :} (∀x ≥ 0) h(x) =

∫

₀^x

^{f ( t ). g ( x}

⁻

^{t ). dt}

^.

Montrer que _* est une loi interne, bilinéaire, commutative, associative, sans élément neutre.

[ Pour l’associativité, utiliser des

∫∫

sur un triangle. ] Solution :

1) a) Montrons que l’application h : x → ( f * g)(x) est continue.

Le changement de variable t = xu donne h(x) = x

∫

₀¹

^{f ( x}

⁻

^{xu ) g ( xu ). du}

, formule encore vraie si x = 0.

La fonction ϕ : (x, u) ∈ R+×[0, 1] → f(x − xu).g(xu) est continue, donc a fortiori : • Pour tout u, ϕ(. , u) est continue sur R₊ ;

• Pour tout x, ϕ(x, .) est continue par morceaux sur [0, 1] ;

• Enfin, si K est un compact de R₊ , ϕ est bornée sur le compact K×[0, 1].

Le théorème de continuité des intégrales à paramètres sur les segments s’applique : h est continue.

Exercice 1 : Montrer directement la continuité de h.

Indications : Fixons x et montrons que h est continue à droite en x.

Supposons donc x ≤ y ≤ x + 1. h(y) − h(x) =

∫

₀^x

^{( f ( y}

⁻

^{t )}

⁻

^{f ( x}

⁻

^{t )). g ( t ). dt}

⁺

∫

_x^y

^{f ( y}

⁻

^{t ). g ( t ). dt}

^.

f est bornée sur [0, 1], et g bornée sur [x, x + 1], donc

| ∫

_x^y

^{f ( y}

⁻

^{t ). g ( t ). dt |}

≤ ( y − x ).BC.

Quant au premier terme, on peut le rendre apqv en utilisant l’uniforme continuité de f sur [0, x+1] et le fait que g est bornée sur [0, x]. Et il reste la continuité à gauche...

b) L’application ( f, g) → f *g est bilinéaire (facile).

Elle est commutative : faire dans

∫

₀^x

^{f ( x}

⁻

^{t ). g ( t ). dt}

le changement de variable u = x – t.

Elle est associative, en vertu des changements de variable dans les intégrales doubles : [( f * ^g) * ^h](x) =

∫

₀^x

^{( f * g )( x}

⁻

^{u ). h ( u ). du}

⁼

∫ ∫

₀^x

⁽

₀^x−u

^{f ( x}

⁻

^u

⁻

^{t ). g ( t ). dt ). h ( u ). du}

=

∫∫

_D

^{f ( x}

⁻

^u

⁻

^{t ). g ( t ). h ( u ). dt . du}

, où D = {(u, t) ; 0 ≤ u ≤ x, 0 ≤ t ≤ x − u}

=

∫∫

_∆

^{f ( x}

⁻

^{v ). g ( v}

⁻

^{u ). h ( u ). dv . du}

^{, où ∆} = {(v, u) ; 0 ≤ v ≤ x, 0 ≤ u ≤ v}, v = u + t ∈ [0, x].

=

∫

₀^x

^{f ( x}

⁻

^{v )(} ∫

₀^v

^{g ( v}

⁻

^{u ). h ( u ). du ). dv}

⁼

∫

₀^x

^{f ( x}

⁻

^{v )( g * h )( v ). dv}

^{= [f} * ^{( g} * ^h)](x). cqfd.

Si elle admettait un élément neutre δ, on aurait (∀f ∈ E) δ* f = f , donc f(0) = 0.

Or la fonction constante égale à 1 ne vérifie pas cela.

Exercice 2 : Montrer que si f est C¹, il en est de même de h = f * ^{g , et :} (∀x ≥ 0) h’(x) = ( f’ * g)(x) + f(0).g(x) .

Solution : L’idée est de considérer la fonction de deux variables H(x, y) =

∫

₀^y

^{f ( x}

⁻

^{t ). g ( t ). dt}

^.

Cette fonction a des dérivées partielles en x et en y continues : ( yx, )

y

∂H

∂ = f(x − y).g(y) et

( y x , ) x

∂

H

∂ ₌

∫

₀^y

^{f ' ( x}

⁻

^{t ). g ( t ). dt}

^{= y}

∫

₀¹

^{f ' ( x}

⁻

^{ys ). g ( ys ). ds}

^,

en vertu de théorèmes distincts. Du coup, H est C¹, et h(x) = H(x, x) relève de la règle de la chaîne : h’(x) =

( x x , )

x

∂

H

∂ _{+ ( xx, )} y

∂H

∂ ₌

∫

₀^x

^{f ' ( x}

⁻

^{t ). g ( t ). dt}

+ f(0).g(x) = ( f’ * g )(x) + f(0).g(x).

Par application répétée de ce résultat et par commutativité de la convolution, on voit que si l’une des fonctions f ou g est de classe C^k, il en est de même de leur convolée.

Ainsi, le bébé hérite de toutes les qualités de ses parents... (n’oublions pas non plus les grands-parents !) : en un mot, la convolution est darwinienne ! (il n’estpas sûr que Darwin ait dit cela…) Exercice 23 : Dérivée de x →

∫

_sin^cos_x^x

^e

^t²+xt

^dt

^?

Solution : [ Oral X PC 2012, RMS n° 362 ]

Notons F(x) =

∫

_sin^cos_x^x

^e

^t²+xt

^dt

. C’est une intégrale où x est à la fois dans les bornes et dans l’intégrale.

Il y a moyen de se débrouiller élémentairement en notant que :

F(x) =

∫

_sin^cos_x^x

^e

^{(t+x/2)²−x²/4}

^{. dt}

^{= e−x²/4}

∫

_sin^cos_x^x

^e

^(t+x/2)²

^{. dt}

^{= e−x²/4}

∫

_x^x_/^/₂²₊⁺_sin^cos_x^x

^e

^u²

^{. du}

^.

Alors F’(x) = −

2x e⁻x²/4

∫

_x^x_/^/₂²₊⁺_sin^cos_x^x

^e

^u²

^{. du}

^{+ e−x²/4[}₂^{1 − sin x]}

^e

^{(x/2+cosx)² − e−x²/4[}₂^{1 + cos x]}

^e

^{(x/2+sinx)².}

= − 2

x_{F(x) +} [ 2

1 _{− sin x}]e^{cos²x+x.cosx} ₋[ 2

1 _{+ cos x}]e^{sin²x+x.sinx}. Sinon, on peut utiliser le théorème de derivation général de l’exercice suivant :

Exercice 24 : 1) Soient X un espace métrique, I un intervalle de R, f : X × I → E une fonction continue, α et β : X → I deux fonctions continues.

Montrer que F(x) =

∫

_α^β₍⁽_x^x₎^)f(x,t).dt est continue sur X.

2) Si X est un intervalle de R, si f est continue et admet une dérivée partielle en x continue, et si α et β sont de classe C¹, F est C¹, et :

F’(x) =

∫

_α^β₍⁽_x^x₎^)∂_∂

_x ^{f ( x , t ). dt}

^{+ β’(x).f(x, β(x)) −α’(x).f(x, α(x)).}

[Ind. : On pourra se ramener au segment [0, 1] comme indiqué ci-dessus, ou montrer que la fonction de trois variables Φ(u, v, x) =

∫

_u^v

^{f ( x , t ). dt}

est de classe C¹, et appliquer la règle de la chaîne.]

3) Application : revenant à l’exercice précédent, montrer que si g est C¹, h l’est aussi et : (∀x ≥ 0) h’(x) = ( f * g’ )(x) + f(x).g(0) . Cas où f et g sont C^∞ ?

Solution :

2) La méthode proposée fournit une belle application de la règle de la chaîne.

La fonction Φ(u, v, x) =

∫

_u^v

^{f ( x , t ). dt}

vérifie :

∂Φ

u

∂ (u, v, x) = − f(x, u) ,

∂Φ

v

∂ (u, v, x) = f(x, v) ,

∂Φ

x

∂ (u, v, x) =

∫

_u^v∂_∂x^f(x,t).dt.

Ces trois dérivées partielles sont continues en (u, v, x), la troisième parce qu’elle s’écrit :

∂Φ

x

∂ (u, v, x) =

∫

_u^v_∂^∂f_x^(x,t).dt = ( v – u )

∫

₀¹_∂^∂f_x^{(x,u+s(v−u)).ds.}

Par conséquent, Φ est une fonction de classe C¹ de 3 variables, et

F(x) =

∫

_α^β₍⁽_x^x₎^{)f(x,t).dt =} Φ(α(x), β(x), x) également comme composée. Et de plus : F’(x) =

∂Φ

u

∂ _{(α(x), β(x), x).α’(x) +}

∂Φ

v

∂ _{(α(x), β(x), x).β’(x) +}

∂Φ

x

∂ _{(α(x), β(x), x)} =

∫

_α^β₍⁽_x^x₎^)∂_∂

_x ^{f ( x , t ). dt}

^{+ β’(x).f(x, β(x)) −α’(x).f(x, α(x)) .}

Application : [ Oral X PC 2012, RMS n° 362 ]

F’(x) =

∫

_sin(^cos(_x)^{x)tet²+xt.dt − sin(x).}

^e

^{cos²(x)+x.cos(x) − cos(x).}

^e

^{sin²(x)+x.sin(x)} et une IPP…

7.4. Fonctions définies au moyen d’intégrales.

Exercice 25. Montrer qu’il existe une fonction f : R → R telle que ∀x ∈ R

∫

_x^f(x)

^e

^t

^{. dt}

^{= 1.}

Représenter graphiquement f.

Solution : L’intégrale se calcule, elle vaut exp(f(x)) – exp x. Donc f(x) = ln( 1 + e^x ).

Exercice 26. Montrer qu’il existe une fonction f : R → R telle que ∀x ∈ R

∫

_x^f(x)

^e

^t²

^{. dt}

^{= 1.}

Représenter graphiquement f.

Solution : Il s’agit de montrer que, pour tout réel x, il existe un unique y = f(x) tel que

∫

_x^y

^{e .}

^t²

^dt

^{= 1.}

Notons F(x) =

∫

₀^x

^e

^t²

^{. dt}

^.

La fonction F est une bijection de classe C^∞, impaire et strictement croissante de R dans R.

Comme F’(x) ≥ 1 > 0, F est un C^∞-difféomorphisme.

La fonction f est définie par F(f(x)) – F(x) = 1, autrement dit par f(x) = F⁻¹ ( F(x) + 1 ).

Comme composée, f est donc un C^∞-difféomorphisme croissant de R sur R.

Il est évident que x < f(x) . De plus, f(x) − x → 0 quand x → ±∞.

Autrement dit, y = x est asymptote à la courbe.

En effet, pour x > 0, 0 < ( f(x) – x ) exp(x²) ≤

∫

_x^f(x)

^e

^t²

^{. dt}

= 1 , donc x < f(x) ≤ x + exp(−x²) .

Et pour x < 0 assez petit, 0 < ( f(x) – x ) exp f(x)²≤

∫

_x^f(x)

^e

^t²

^{. dt}

= 1 , donc x < f(x) ≤ x + exp(− f(x)²) . Le dessin ci-dessous montre que f a une forme en cloche.

Avec Maple :

> with(plots):F:=x->int(exp(t^2),t=0..x);F(x);

-1

2 I π erf I x( )

> series(F(x),x=0,11);

+ + + + +

x 1 3x³ 1

10x⁵ 1

42x⁷ 1

216x⁹ O x( ¹¹)

> plot(F(x),x=-2..2,-5..5);

> f:=x->solve(F(y)=F(x)+1,y);f(x);

:=

f x → solve(F y( ) = F x( ) + 1 y, )

−IRootOf(−erf _Z( ) π + π erf I x( ) + 2 I)

> p:=plot(f(x),x=-3..3,thickness=2):q:=plot(x,x=-3..3,color=blue):

display({p,q},scaling=constrained);

> series(f(x),x=0,6);

Error, (in series/RootOf) unable to compute series

Exercice 27 : Montrer qu’il existe une fonction f : D → R telle que ∀x ∈ D

∫

_x^f(x)

^e

^−t²

^{. dt}

^{= 1.}

Domaine de définition D de cette fonction ? Représentation graphique.

Solution : Cet exercice est un faux ami du précédent.

La fonction F(x) =

∫

₀^x

^e

^−t²

^{. dt}

^{est un C∞}-difféomorphisme croissant et impair de R sur ]−A, +A[, où A = 2π . Notons au passage que A < 1.

La fonction f est définie par F(f(x)) – F(x) = 1, autrement dit par f(x) = F⁻¹( F(x) + 1 ).

Encore faut-il que F(x) + 1 ∈ ]−A, +A[, i.e. que F(x) ∈ ]−A − 1, +A − 1 [.

Cela équivaut à F(x) < +A − 1, i.e. à x < a = F⁻¹( A − 1 ) ≈− 0,114268 , dixit Maple.

Ainsi le domaine de définition de f est D = ] −∞ , a [.

f est un C^∞-difféomorphisme croissant de D sur ] b , +∞[, où b = F⁻¹( 1 − A )

> F:=x->int(exp(-t^2),t=0..x);F(x);limit(F(x),x=infinity);

> a:=fsolve(F(x)=1/2*sqrt(Pi)-1);f:=x->solve(F(y)-F(x)=1,y);

:=

a -.1142684778 :=

f x → solve(F y( ) − F x( ) = 1 y, )

> with(plots):p:=plot(f(x),x=-4..0,0..5,numpoints=500,thickness=2):

q:=plot([a,t,t=0..5],color=blue):display({p,q});

8. Inégalités intégrales.

Dans le document Intégration sur un segment : exercices corrigés. (Page 47-52)