Transformées de Fourier et distributions tempérées

Définition 2.18. ³ Soit ϕ∈L¹(Rⁿ). On définit la transformée de Fourier de ϕ : F(ϕ) :

Rⁿ −→ C ξ 7−→

Z

Rⁿ

exp(−ihx, ξi)ϕ(x)dx.

Remarques : hx, ξi=

n

X

j=1

x_jξ_j;

|exp(−ihx, ξi)ϕ(x)| ≤ |ϕ(x)|etϕ∈L¹(Rⁿ) donc F(ϕ)∈L^∞(Rⁿ) (et même C_b⁰(Rⁿ)).

L’exemple très important qu’il convient de connaître et que nous réutiliserons pour démontrer la formule de la transformée de Fourier inverse est celui de la gaussienne.

Soit λ >0 et G_λ :x7→exp−^λkxk₂ ². AlorsG_λ ∈ S(Rⁿ) et : F(Gλ)(ξ) =

2π λ

ⁿ₂ G¹

λ(ξ). (4)

Effectuons la preuve (en dimension 1) à l’aide du prolongement analytique. Pour cela, posons F : z ∈ C 7→

Z

R

exp(−zx) exp(−λx²

2 )dx et f : (z, x) ∈ C×R 7→ exp(−zx) exp(−^λx₂²). Nous constatons que :

3. Plusieurs définitions alternatives existent selon la convention choisie. La conséquence de choisir une conven-tion plutôt qu’une autre est l’appariconven-tion d’un facteur multiplicatif constant. Dans la démonstraconven-tion du théorème des nombres premiers, la convention adoptée sera différente de celle présentée ici. En effet, nous effectuerons le changement de variable suivant : [ξ= 2πυ].

∀z∈C, x7→f(z, x) est continue ;

∀x∈R, z7→f(z, x) est holomorphe comme composée de fonctions holomorphes ;

∀M > 0 ∀x ∈ R, ∀z tels que |z| < M, |f(z, x)| ≤ exp(−^λx₂²) exp(M|x|)) et x 7→

exp(−^λx₂²) exp(M|x|)) est intégrable surR.

D’après le théorème d’holomorphie sous le signe intégrale, nous pouvons conclure que F est holomorphe sur C. En outre, le calcul explicite deF sur R, nous donne, pourt∈R:

F(t) = exp t² 2λ

!Z

R

exp −λ 2

x+ t

λ 2!

dx



(i) : Changement de variablew= s

λ 2π

x+ t

λ

et (ii) : Z

R

exp(−πx²)dx= 1





= r2π

λ exp t² 2λ

!

=:g(t).

Les fonctions F etg, toutes deux holomorphes, coïncident sur l’axe réel. Elles sont donc égales sur Cd’après le théorème du prolongement analytique. Mais alors, pourξ ∈R:

F(G_λ)(ξ) =F(iξ)

= r2π

λ exp −ξ² 2λ

!

= r2π

λ G¹

λ(ξ).

Sans plus attendre, mentionnons le théorème de Riemann-Lebesgue qui nous donne une infor-mation sur le comportement de la transformée de Fourier d’une fonction dans L¹(Rⁿ). Nous serons amenés à l’utiliser.

Lemme 2.19. (c.f. [7], proposition 3.5.) Soit f ∈L¹(Rⁿ). Alors F(f)(x) →

|x|→∞ 0.

Rappelons quelques caractéristiques utiles de la transformée de Fourier dans l’espace de Schwartz : Proposition 2.20.

Stabilité de S(Rⁿ)

Soit ϕ∈ S(Rⁿ). Alors : F(ϕ)∈ S(Rⁿ).

Formule d’échange Soient ϕ, ψ∈ S(Rⁿ). Alors :

Z

Rⁿ

ϕ(ξ)F(ψ)(ξ)dξ= Z

Rⁿ

F(ϕ)(ξ)ψ(ξ)dξ.

Translation

Soit a∈Rⁿ, τa:ϕ∈ S(Rⁿ)7→τaϕ∈ S(Rⁿ) :x7→ϕ(x−a). Alors : ∀ϕ∈ S(Rⁿ), F(τaϕ)(ξ) = exp(−iha, ξi)F(ϕ)(ξ);

F(exp(iha, xi)ϕ)(ξ) =τ_aF(ϕ)(ξ) =F(ϕ)(ξ−a).

Dilatation

F(ϕ(_λ^.))(ξ) = _λ¹F(ϕ)(_λ^ξ).

Transformée de Fourier d’une dérivée et dérivée d’une transformée de Fourier F(∂^αϕ) = (iξ)^αF(ϕ);

∂^αF(ϕ) =F[(−ix)^αϕ].

Transformée de Fourier d’une convoluée Soient ϕ, ψ∈ S(Rⁿ). Alors : F(ϕ∗ψ) =F(ϕ)F(ψ).

Théorème 2.21. Formule d’inversion de Fourier sur S(Rⁿ) (c.f. [7], Théorème 5.2.) Soit ϕ∈ S(Rⁿ). Alors on a :

∀x∈Rⁿ, ϕ(x) = 1

2π nZ

Rⁿ

exp(ihx, ξi)F(ϕ)(ξ)dξ=F(F(ϕ))(−x).

Corollaire 2.22. F :ϕ∈ S(Rⁿ)7→ F(ϕ)∈ S(Rⁿ) est un isomorphisme, d’inverse donnée par : F⁻¹=

1 2π

n

F ◦σ = 1

2π n

σ◦ F.

Maintenant que ce rappel sur la transformée de Fourier dans S est fait, intéressons-nous à la transformée de Fourier dansS⁰. Comme pour dériver une distribution, on définit la transformée de Fourier surS⁰pardualité. Cet opérateur hérite alors, comme nous allons le voir, des propriétés vues dansS.

Transformation de Fourier dans S⁰(Rⁿ)

Définition 2.23. Soit T ∈ S⁰(Rⁿ). On définit la transformée de Fourier deT comme la forme linéaire suivante :

F(T) :ϕ∈ S(Rⁿ) 7→ hT,F(ϕ)i.

Cette forme linéaire F(T) vérifie :

∃k, l∈N, ∃C >0, ∀ϕ∈ S(Rⁿ), |hF(T), ϕi| ≤C ^X

|α|≤k,|β|≤l

sup

x∈Rⁿ

|x^α∂^βϕ(x)|.

C’est donc un élément de S⁰.

Proposition 2.24. La fonction (opérateur de Fourier) F : S⁰(Rⁿ) → S⁰(Rⁿ) est bijective d’inverse

1 2π

n

σ◦ F = 1

2π n

F ◦σ où σ :T ∈ S⁰(Rⁿ)7→σT ∈S⁰(Rⁿ) :ϕ7→ hT, σ◦ϕi.

Démonstration.

Soit T ∈ S⁰(Rⁿ). Il s’agit de montrer que_2π^{1 n}F ◦σ◦ F(T) =T =_2π^{1 n}σ◦ F ◦ F(T).

Or :

∀ϕ∈ S(Rⁿ), 1

2π n

F ◦σ◦ F(T), ϕ = hσ◦ F(T), 1

2π n

F(ϕ)i

= hF(T), 1

2π n

σ◦ F(ϕ)i

=hT, 1

2π n

F ◦σ◦ F(ϕ)i 1

2π n

F(ϕ)◦σ =F⁻¹(ϕ)

=hT, ϕi.

Remarque : si T_n∈ S⁰(Rⁿ) converge versT, alorsF(T_n)∈ S⁰(Rⁿ) converge vers F(T).

La transformée de Fourier de la convolution de deux fonctions dans l’espace de Schwartz (voir proposition 2.20, page 18) se généralise à la transformée de Fourier de la convolution entre une distribution tempérée et une fonction de l’espace de Schwartz.

Soient ϕ∈ S(Rⁿ) etT ∈ S⁰(Rⁿ). On a alors F(ϕ∗T) =F(T)F(ϕ).En effet, pourψ∈ S(Rⁿ), on a :

hF(ϕ∗T), ψi=hϕ∗T, F(ψ)i

=hT, (σϕ)∗ F(ψ)i

=hF(T), 1

2π n

σ◦ F((σϕ)∗ F(ψ))i

=hF(T), σ◦ F ◦σϕ.

1 2π

n

σ◦ F ◦ F(ψ)i

=hF(T),F(ϕ)ψi

=hF(T)F(ϕ), ψi.

La même démarche nous conduit aux résultats suivants, pour ϕ, ψ ∈ S(Rⁿ) et T ∈ S⁰(Rⁿ) :

F⁻¹(ϕψ) =F⁻¹(ϕ)∗ F⁻¹(ψ) ; F⁻¹(T ϕ) =F⁻¹(ϕ)∗ F⁻¹(T).

De même que pour la convoluée, nous pouvons étendre les formules « dérivée d’une transformée de Fourier » et « transformée de Fourier d’une dérivée » vues en proposition 2.13. aux distribu-tions.

Nous obtenons alors pour T ∈ S⁰(Rⁿ) :

F(∂^αT) = (iξ)^αF(T),

∂^αF(T) =F[(−ix)^αT].

Pour conclure ce rappel d’analyse réelle, nous proposons de démontrer le lemme suivant qui est central pour démontrer une version lissée du Théorème des Nombres Premiers (Proposition 3.11, page 36) :

Lemme 2.25. Pour toute fonctionψ∈ S(R), on a, lorsque y tend vers +∞ : Z

R

log 1

it

ψ(t) exp(2iπty)dt= 1

yψ(0) +o 1

y

. (5)

Nous souhaitons effectuer trois démonstrations de ce lemme. La première est celle suivie par J.-B. Bost [2] et utilise toutes les notions de distributions et de transformées de Fourier vues jusqu’à présent. La seconde, légèrement plus rapide, est celle suivi par J.-P. Kahane [6]. Cette dernière utilise toute la puissance des distributions avec notamment l’apparition des formules (1) et (2) pour démontrer le lemme très efficacement via une intégration par parties. La dernière dé-monstration que nous proposons n’utilise pas la théorie des distributions. Nous verrons alors que cette dernière démonstration, bien entendu moins conceptuelle, demande cependant plus d’effort de calculs et pourrait justifier à elle seule le recours aux distributions dans la démonstration du Théorème des Nombres Premiers que nous étudions.

Démonstration. Première méthode [2].

Soit T = d

dtTf oùf :t∈R7→log 1

it

;Tf est bien une distribution carf estL¹_loc(R). Il s’agit de :

1. Montrer queT est une distribution tempérée.

2. Montrer que sa transformée de Fourier inverse est la fonction g=−2πi.1_R+. 3. Déterminer lim

y→∞hF⁻¹(T),F(t7→ψ(t) exp(2πiy))i avec ψdans l’espace de Schwartz.

1. Pour établir queT est une distribution tempérée, suivons les rappels effectués précédemment (2.12, page 13). Nous savons qu’il suffit de se limiter à montrer que la distribution Tf est tempérée.

Soit ϕ∈ S(R). Alors : Z

R

log 1 itϕ(t)

dt≤ Z

R

q

(log|t|)²+^π₄²

1 +t² (1 +t²)|ϕ(t)|dt



C = Z

R

q

(log|t|)²+^π₄² 1 +t² dt





≤C(kϕk_∞+sup

t∈R

|t²ϕ(t)|)

≤C ^X

|α|≤2,|β|≤0

sup

t∈R

|t^α∂^βϕ(t)|).

2. Pour obtenir la transformée de Fourier inverse deT, montrons tout d’abord que la distribution tempérée associée à f : t 7→ log 1

it+ converge dans S⁰(R) vers T_f. Notons que f est bien tempérée car f est C¹. Profitons-en pour annoncer que _dt^df est également tempérée puisque

d voisinage de l’infini, en considérant par exemple≤1,

Le théorème de convergence dominée nous permet alors d’écrire la relation suivante : lim

Cette relation est l’exacte traduction de la convergence deTf˜ versTf˜dansS⁰(R) ou, autrement dit, que : ∀ϕ∈ S(R), hT_f˜, ϕi = lim

→0⁺hT_f˜

, ϕi.

En outre, la définition 2.12 (page 13) nous dit que pour toute distribution tempérée T, et toute fonctionϕ∈ S(R) : hd une distribution tempérée. En effet,

Z

R

|H(t)|dt = 1

. Pour calculer sa transformée de Fourier, suivons les définitions précédentes. Dotons-nous d’une fonctionϕ∈ S(R) et calculons :

hF(T_H), ϕi=hT_H,F(ϕ)i

Donc, nous pouvons poursuivre le calcul dehT_f, ϕi entamé précédemment : hT, ϕi= lim

→0⁺h −2iπ 2iπt+ 2π, ϕi

=−lim

→0⁺hF(T_H), ϕi.

Nous n’avons plus qu’à appliquer le théorème 2.24 (page 19) pour conclure le point 2 : 3. Effectuons un calcul direct :

hF⁻¹(T),F(t7→ψ(t) exp(2πiy))i=hF⁻¹(T),F(ψ)(.−y)i nous concluons que :

y→∞limhF⁻¹(T),F(t7→ψ(t) exp(2πiy))i=−2πiψ(0).

Reformulons le lemme pour comprendre comment conclure naturellement : Soit ψ∈ S(R). en réécrivant : il nous reste donc à montrer que :

hT_{f ψ}, t7→exp(2πity)i =

Partons du membre de gauche de l’équation (6) et ayons recours à la dérivation des distributions et au lemme de Riemann-Lebesgue (voir énoncé 2.19, page 18) :

hT_{f ψ}, t7→exp(2πity)i=−hd

[Lemme de Riemann-Lebesgue appliqué à f ψ⁰intégrable surR]

y→+∞=

Démonstration. Deuxième méthode - [6].

Cette seconde preuve est plus rapide si le lecteur a en tête les distributions T_H⁰ (voir (1), H : Heaviside) et Tt7→log(|t|)⁰ (voir (2)). Armés de ces deux distributions, nous pouvons effectuer une intégration par parties directement sur le membre de gauche de l’équation (5) :

Z [Annulation du terme entre crochet carψ∈ S(R)]

=− 1

Nous appliquons alors le lemme de Riemann-Lebesgue à la fonction t 7→ log_it¹ψ⁰(t). On poursuit alors le calcul précédent avecy au voisinage de l’infini :

Z

t étant intégrable surR, nous pouvons lui appliquer le lemme de Riemann-Lebesgue pour conclure queA(y) = 0. Quant àB(y), nous pouvons encore poursuivre

les calculs jusqu’à obtenir un valeur précise de l’intégrale : [Changement de variable u= 2πty]

= lim

t est continue au voisinage de 0

Voir [3] pour le calcul de cette intégrale

En combinant (a) et (b), nous obtenons finalement que : Z

Démonstration. Troisième méthode - Sans usage de la théorie des distributions

Nous allons voir que sans recours à la théorie des distributions, l’obtention du lemme 2.25 est plus ardue.

Il s’ensuit une intégration par partie dont nous appellerons A_{, y} la partie intégrée et B_{, y} le

deuxième terme de l’intégration par partie. Calculons A, y etB, y : [Développement limité à l’ordre 0 dans la seconde limite]

= 1

2yψ(0) + 1

2πiylog()((ψ(0) +o(1)) exp(2πiy)−(ψ(0) +o(1)) exp(2πiy))

= 1

2yψ(0) + 1

2πiylog()(2iψ(0) sin(2πy) + 2isin(2πy)o(1))

Le deuxième terme de l’intégration par partie, B_{, y} se traite en ayant recours au lemme de Riemann-Lebesgue (lemme 2.19, page 18) :

lim

[voir (b) obtenu au cours de la seconde démonstration]

y→+∞= On trouve finalement :

Z

3 Démonstration du Théorème des Nombres Premiers

L’idée de cette démonstration est de donner une formulation continue du Théorème des Nombres Premiers grâce à la théorie des distributions. Pour obtenir une telle formulation, on introduit une mesure positive µ qui sera un lien entre la fonction π et la fonction ζ. Cela permettra d’énoncer la formulation continue du théorème. Détaillons un peu plus l’approche proposée : concrètement, on définit la mesure positive réelle suivante :

µ=^X

p∈P

δ_log(p)

p (déjà vue : (3)).

On a alors pour y≥0 l’égalité suivante : Z

R

e^x1_R+(y−x)dµ(x) =^X

p∈P

e^log(p)

p 1_R+(y−log(p)) =π(e^y) et en posant g(x) =e^−x1_R+(x) on a alorsenvie d’écrire :

π(e^y)

e^y = (g∗µ)(y).

D’autre part, on a (pour sdans un sous-domaine de Cà déterminer) : Z

R

e^−sudµ(u) =^X

p∈P

e^−slog(p)

p =^X

p∈P

1 p^1+s. Cette fonction (^P

p∈P 1

p^1+s) nous rappelle la fonctionζ de Riemann, on décide de la noterζ_P: nous verrons en 3.1.1 à quel point elles sont liées. Comme la transformée de Fourier d’un produit de convolution est égale au produit (simple) des transformées de Fourier (voir 2.20, page 18), a alors aussi envie d’écrire :

\π(e^y)

e^y =ζ_P.g._b

Ces deux identités suggèrent que la mesureµ est pertinente pour étudier π : nous les reverrons par la suite maisau sens des distributions. Cela nous permettra alors d’établir l’identité suivante : pour toutϕ∈ C_c^∞, en notantψ=ϕ_bon a lorsque y→+∞:

Z

R

ψ(x−y)π(exp(x))

exp(x) dx= 1 y

Z

R

ψ(x)dx+o 1

y

.

Si nous pouvions choisir ψ=δ₀ (ce qui outrepasse clairement les règles), aurions alors le Théo-rème des Nombres Premiers. Nous contournerons cela en utilisant des approximations de l’unité.

3.1 Les transformées de Fourier de la mesureµet de la fonctionx7→exp(−x)π(exp(x)) Dans cette première partie, nous allons montrer que :

La fonction ` : t 7→ ζ_P(1 + 2iπt) est la transformée de Fourier d’une certaine me-sure/distribution surR que nous notonsµ.

La distribution définie par la fonction t 7→ `(t)

1 + 2πit est tempérée de transformée de Fourier inverse x7→ π(x)

exp(x).

Ce nouveau point de vue surζ_P portera ses fruits dans la deuxième partie, où sera montré queζ ne s’annule pas sur 1 +iR. Par ailleurs, nous remarquons au passage, et ce n’est pas anecdotique, que nous avons relié ζ à π qui est la fonction de comptage qui apparaît dans le Théorème des Nombres Premiers.

Cependant, pour établir les deux points ci-dessus, il est nécessaire que nous fassions le lien entre ζ etζ_P au moyen d’une fonction appropriée .

3.1.1 Lier ζ et ζ_P

Profitons de l’écriture deζ en produit eulérien pour construire une fonction g intéressante : Proposition 3.1. Posons pour tout s∈ {Ré>1}, g(s) := log(ζ(s))−ζ_P(s). Alors la fonction g ainsi définie se prolonge en une fonction holomorphe sur le demi-plan{Ré> ¹₂}, et est borné, pour tout ρ > ¹₂, sur le demi-plan {Ré≥ρ}.

BAvant de faire la démonstration de cette proposition, il convient de clarifier ce que nous enten-dons par log(ζ(s)). Posons u(s) := −^X

en considérant par log la détermination principale du logarithme (puisque pour tout s∈ {Ré >1},1− _p¹_s appartient au disque ouvert centré en 1 et de rayon 1). Montrons que u est holomorphe sur{Ré>1}:

Ainsi, u converge uniformément sur tout compact du demi-plan{Ré(s)>1}. L’holomorphie de u sur le demi-plan{Ré(s)>1} est donc démontrée. Montrons alors que ζ = exp(u) pour tout s ∈ {Ré(s) > 1}. Pour cela, il suffit de montrer que log(ζ) = u sur ]1,+∞[ où l’on voit log comme le logarithme néperien qui est continu :

log(ζ(x)) = log

Le logarithme de la fonction ζ étant clarifié, nous pouvons aborder la démonstration de la proposition 3.1.

Démonstration. Le développement eulérien deζ montre que pours∈ {Ré>1}: g(s) =^X

Montrons que si s ∈ {Ré > ¹₂}, la série définissant g converge, et que cette série converge encore normalement sur {Ré≥ ¹₂ +η} pour toutη >0. Puisque log(1−u) +u est une fonction holomorphe deu∈D(0,1) qui vaut, ainsi que sa dérivée, 0 en 0, on sait qu’il existe une constante C >0 telle que :

Forts de cette proposition, nous sommes maintenant en mesure de décrireζ_P(dans quelle mesure y est-elle définie ? si oui quelle est sa régularité ?etc.) sur sa frontière de définition, 1 +iR. Nous allons plus concretement voir que cela est lié aux zéros de ζ sur 1 +iR. Précisément, on a la proposition suivante :

Proposition 3.2. Soit s0 ∈ 1 +iR et soit n = νs0(ζ), la valuation de ζ en s0. La fonction s 7→ ζ_P(s)−nlog(s−s₀), holomorphe sur {Ré > 1}, se prolonge en une fonction holomorphe sur un voisinage de s₀.

Remarque :Dans cette proposition, log désigne la détermination principale du logarithme.

Démonstration.

Pour s∈ {Ré>1}, posons :

h(s) := exp(ζ_P(s))−nlog(s−s0))

= (s−s0)⁻ⁿexp(ζ_P(s))

= [(s−s₀)⁻ⁿζ(s)] [exp(−g(s))]

Le choix de l’entier n assure que le premier crochet ne s’annule pas au voisinage de s₀. En effet, n étant la valuation de ζ en s0, nous pouvons écrire ζ, au voisinage de s0, de la manière suivante : ζ(s) =

+∞

X

k=n

a_k(s−s₀)^k avec a_n non nul. Mais alors, en multipliant ζ par (s−s₀)⁻ⁿ, nous obtenons (s−s0)⁻ⁿζ(s) =

+∞

X

k=0

ak+n(s−s0)^k. Le second crochet est également non nul car c’est une exponentielle et que g est définie sur un voisinage de s0. La fonction h se prolonge donc en une fonction holomorphe ne s’annulant pas sur un petit disque ouvert centré en s0 : D(s₀, r). Sur ce disque, d’après la proposition 2.3, page 6, le prolongement s’écrit exp◦ϕ, où ϕ est holomorphe surD(s0, r), car :

h ne s’annule pas sur D(s0, r).

D(s₀, r) est simplement connexe.

Donc, pour touts∈D(s0, r)∩ {Ré>1} :

(exp◦ϕ)(s) = exp(ζ_P(s)−nlog(s−s₀)).

Il existe alors r_s ∈ Z tel que ϕ(s) + 2iπr_s = ζ_P(s)−nlog(s−s₀). Ce r_s dépend-il de s? Non, cars7→ϕ(s)−ζ_P(s) +nlog(s−s₀) est continue et à valeurs dans 2iπZ. Son image est donc un singleton (partie connexe de 2iπZ), disons {r₁}, car D(s0, r)∩ {Ré > 1} est connexe (l’image continue d’un connexe est connexe). Ceci conclut la preuve, le prolongement recherché étant ϕ+ 2iπr₁.

Une simple relecture de cette proposition permet d’énoncer le corollaire suivant, peut-être plus simple à appréhender. Mais avant de l’énoncer, essayons de visualiser le comportement deζ sur 1 +iR. La fonctionζ peut-elle avoir beaucoup de zéros sur cette droite ?A priori peut-être, et dans ce cas ces zéros peuvent-ils être très rapprochés ? Non car siζ avait un zéro d’accumulation sur 1 +iR, comme ζ se prolonge en une fonction méromorphe sur un ouvert contenant 1 +iR, le principe des zéros isolés imposerait que ζ soit nulle sur cet ouvert, ce qui n’est pas le cas. On sait donc que pour tout s₀∈1 +iR, il existe r >0 tel queζ ne s’annule pas sur D(s₀, r)\{s₀}.

Corollaire 3.3.

(i) Sur R^∗\ {t∈R|ζ(1 +it) = 0}, la fonction u7→ζ_P(1 +iu) est C^∞.

(ii) Au voisinage de 0, la fonction (u7→ζ_P(1 +iu)) + log(iu))se prolonge en une fonction C^∞. (iii) Si ζ admet un zéro d’ordre n en 1 +it0, alors la fonctionu7→ζ_P(1 +iu) +nlog(_i(u−t¹

0)) se prolonge en une fonction C^∞ au voisinage det₀.

Démonstration.

(i) Dans ce cas n(s₀) vaut 0.

(ii) On rappelle que n(1 +i0) =n(1) =−1 car 1 est un pôle simple de ζ.

(iii) Ici, n(1 +it0) vautn par définition, il suffit d’appliquer la proposition précédente.

Il suffit alors d’appliquer la proposition précédente.

Avec ce corollaire, nous connaissons la régularité de ζ_P en un point de la droite 1 +iR lorsque nous savons si ζ s’annule ou non en ce point. Réciproquement, savoir que ζ_P est définie et holomorphe au voisinage d’un point de 1 +iR assure que ζ ne s’annule pas en ce point. Nous sommes maintenant curieux de savoir dans quelle mesure nous retrouvons le cas (i) ou (iii) du corollaire. Nous allons en fait montrer que le cas (iii) ne se produit jamais ce qui revient à démontrer que la fonction ζ ne s’annule passur 1 +iR. Cela viendra dans la deuxième partie de la démonstration du Théorème des Nombres Premiers. En effet, pour ce faire, nous allons tout d’abord effectuer un détour par la théorie des distributions, avec l’introduction de la mesure µ.

3.1.2 La fonction t7→ζ_P(1 + 2iπt) comme transformée de Fourier

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