La transformée de Laplace de la dérivée fractionnaire de Grünwald-

Grünwald-Letnikov

Tout d’abord, considérons le cas 0 p < 1, quand la dérivée fractionnaire de Grünwald-Letnikov avec la borne inférieure a = 0 de la fonction f (t), qui est bornée en t = 0, peut s’écrire sous la forme suivante :

0D^p_tf (t) = ^{f (0)t} p (1 p)⁺ 1 (1 p) t Z 0 (t ) ^pf⁰( )d (A.25)

En utilisant la transformée de Laplace de la fonction polynôme (A.11) de la transformée de Laplace de la convolution (A.8) et de la transformée de Laplace de la dérivée d’ordre entier (A.9) on obtient :

L [₀D_t^pf (t)] = ^{f (0)} s1 p + ¹

s1 p (s:F (s) f (0)) = s^p:F (s) (A.26) La transformée de Laplace de la dérivée fractionnaire de Grünwald-Letnikov d’ordre n’existe pas dans le sens classique, car dans un tel cas on a des fonctions non-intégrables dans la somme de la formule de Grünwald-Letnikov. Les transformées de Laplace de telles fonctions sont données par des intégrales divergentes. Cependant, la transformée de Laplace de la fonction polynôme (A.11) exige une continuation analytique par rapport au paramètre p. Cette approche est équivalente à l’approche de fonctions généralisées (distributions).

Les intégrales divergentes dans un certain sens sont appelées des "intégrales à partie-…nies". Dans ce sens, en supposant que m < p < m + 1, et en utilisant la transformée de Laplace de la fonction polynôme (A.11), la formule de la transformée de Laplace de la convolution (A.8) et celle de la dérivée entière (A.9), nous obtenons :

L [₀D_t^pf (t)] = m P k=0 f(k)(0)Lh t ^p+k ( p+m+1) i +Lh tm p ( p+m+1)f^(m+1)(t)i = m P k=0 f(k)(0)sp k 1 +sp m 1 sm+1F (s) m P k=0 f(k)(0)sm k = spF (s): (A.27)

On est arrivé à la même formule que (A.26).

Dans les applications, il est nécessaire de garder en tête que la formule (A.27) a lieu au sens classique seulement pour 0 < p < 1 ; pour p > 1 elle a lieu au sens des fonctions généralisées (distributions) et donc, la formulation d’un problème appliqué doit être faite aussi en langage de fonctions généralisées, aussi bien que les interprétations des résultats obtenus dans ce sens.

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