7.3 Th´eories du second ordre monadique
7.3.2 Transferts de d´ecidabilit´e
Let S ={r1, . . . , rn} (resp.S′ ={r′1, . . . , r′m}) des signatures relationnelles. Soient M(resp. M′) une structure sur la signatureS (resp.S′). On note L(respectivement L′) l’ensemble des formules MSO surS (respectivementS′). On appelleMSO interpr´etationde MdansM′ toute application injective ϕ:M →M′ telle que :
— il existe une formule MSO Φ′(X)∈ L′ satisfaisant pour tout sous ensembleXM′ ⊆M′ : XM′ =ϕ(M)⇔ M′ Φ′(XM′)
— pour tout ri ∈Sig, il existe une formule Φ′i(x1, . . . , xρi, X1, . . . , Xτi) satisfaisant pour toute valuationval:V ar→M ∪ P(M) :
(M, val) ri(x1, . . . , xρi, X1, . . . , Xτi)⇔(M′, ϕ◦val)Φ′i(x1, . . . , xρi, X1, . . . , Xτi) Quand M ⊆M′ etϕ est l’injection naturelle de M dans M′, on dit queM est MSO-d´efinissable dansM′.
Th´eor`eme 7.3.3 S’il existe une MSO interpr´etation d’une structure M dans une structure M′, alors il existe une fonction calculable deL dans L′ qui, `a toute formuleΦ∈ L, associe une formule Φˆ ∈ L′ telle que :
MΦ⇔ M′ Φˆ
En particulier, si M′ a une th´eorie MSO d´ecidable, alors Maussi.
Produit direct
Etant donn´es deux ensembles´ S, S′ on note pr, (resp. pr′ )la projection de S×S′ sur sa premi`ere (resp. seconde) composanteS (resp.S′).
D´efinition 7.3.4 Le produit direct M×M′ est la structure sur la signature S ∪ S′ definie par : pour tousi∈[1, n], j ∈[1, m]
1- DM×M′ =DM×DM′
2- ∀(¯x,X)¯ ∈DρMi×M′×(P(DM×M′))τi, (¯x,X)¯ ∈ri,M×M′ ⇔pr(¯x,X)¯ ∈ri,M
3- ∀(¯x,X)¯ ∈Dρ
′ j
M×M′×(P(DM×M′))τj′, (¯x,X)¯ ∈rj,′M×M′ ⇔pr′(¯x,X)¯ ∈r′j,M′
Le lemme suivant est ´evident (mais utile)
Lemme 7.3.5 SiMa une th´eorie MSO d´ecidable etM′ est finie, alorsM×M′ a une th´eorie MSO d´ecidable.
D´epliage de graphe
Application : les mots de mots.
Structures en arbre 1- ([Stupp 1975])
2- Structure en arbre avec clone ([Muchnik-Semenov 1984],[Walukiewicz 1996]).
70 CHAPITRE 7. LOGIQUE MONADIQUE DU SECOND ORDRE
Chapitre 8
Annexe
On trouvera ici, r´edig´es sous forme d’exercices : - les bases de l’´etude des jeux de parit´e
- une exemple de jeu, de longueurω, non-d´etermin´e.
Points fixes, attracteurs, pi` eges
Exercice A.1 Points fixes
Soitf :P(V)→ P(V) une application croissante.
1- Montrer qu’ il existe un plus petit sous-point fixe def i.e. un plus petitx∈ P(V) tel que x≥f(x).
2- Soitx0 le plus petit sous-point fixe de f. Montrer que f(x0) =x0 3- Montrer quex0 est le plus petit point fixe def.
Par le th´eor`eme de Zermelo, l’ensemble E := 22Card(V) admet un bon-ordre ≤E (nous omettrons l’indiceE lorsque le contexte le permet).
Pour toute∈E, sien’est pas le maximum de (E,≤E), on note e+ 1 := min{e∈E|e0 < e}.
Pour toutx∈ P(V) et toute∈E, on d´efinitfe(x) comme suit : - si∃e′ ∈E, e=e′+ 1 alors
fe(x) =f(fe′(x)) - sinon
fe(x) = [
e′<e
fe′(x) 4- Montrer que la suite (fe(∅))e∈E est croissante.
Indication :
- prouver, par induction bien-fond´ee sur αque fα(∅)⊆fα+1(∅)
- prouver, par induction bien-fond´ee sur β que,α≤β ⇒fα(∅)⊆fβ(∅).
5- Montrer qu’il existe un plus petite0 ∈E tel que fe0(∅) =fe0+1(∅)
71
72 CHAPITRE 8. ANNEXE On posex0 :=fe0(∅).
6- Montrer quex0 est le plus petit point fixe def. Exercice A.2 Dualit´e
Soit f :P(V) → P(V) une application croissante. On note x7→x¯ l’application “compl´ement” i.e.
¯
1- V´erifier que cette application est croissante (pour l’inclusion)
2- Montrer que pour toutY ∈ P(V) , il existe un plus petit ensembleU tel que Y ⊆U etpreσ(G, U) ⊆U.
On note cet ensembleAttrσ(G, Y) (l’attracteurde Y pour le joueurσ).
3- Montrer queAttrσ(G, Y) est le plus petit point fixe de l’application f :X7→Y ∪preσ(X)
4- En utilisant la q.6 de l’exercice A.2, ´ecrire une expression deAttrσ(G, Y) `a partir des applications it´er´ees def sur le point initial ∅.
5- On d´efinit l’ensembleW comme :
W :={π|π visite l’ensembleA}.
5.1 Donner une strat´egie sans-m´emoire du joueurσ qui est gagnante surAttrσ(G, A).
5.2 Montrer queAttrσ(G, A) est l’ensemble des positions gagnantes deσ.
Exercice A.4 Attracteurs et pi`eges
1- Montrer que toute intersection deσ-attracteurs est un σ-attracteur.
2- Montrer que toute union deσ-pi`eges est un σ-pi`ege.
3- Montrer que les applications X7→preσ(G, X) et X7→pre¯σ(G, X) sont duales (l’une de l’autre).
73
Un jeu non-d´ etermin´ e
DM- du 15/11/16
Un jeu (`a deux joueurs) estd´etermin´esi l’un (exactement) des deux joueurs poss`ede une strat´egie ga-gnante. On examine divers jeux du point de vue de leur d´etermination. Les exercices sont d´ependants et doivent ˆetre r´esolus dans l’ordre num´erique.
Exercice 1(6 pts) Jeux finitaires
Soit un graphe orient´eA= (V, E), biparti, de partition V =V0∪V1, qui est une arborescence de raciner ∈V0. Le graphe A est l’ar`ene du jeu,V0 (resp. V1) est l’ensemble des positions du joueur J0 (resp. J1). Une partie est une branche de cet arbre i.e.
π=v1, v2, . . . , vi, vi+1, . . . , vn (8.1) avec v1 =r,vn est une feuille, et pour touti∈[1, n−1],(vi, vi+1)∈E. On fixe une partition des feuilles deA:F =F1∪F2. La partie π estgagn´ee par J0 (resp. J1) ssivn∈F0 (resp. vn∈F1).
On appelle strat´egie de J0 (resp. J1) une fonction σ : V0 → V1 (resp. τ : V1 → V0) telle que : Dom(σ) ={v∈V0,∃v1 ∈V1,(v0, v1)∈E} (analogue pourτ).
Une partieπ respecte la strat´egie σ (resp. τ) si, pour touti,
σ(v2i+1) =v2i+2 ( resp. τ(v2i) =v2i+1).
Une strat´egieσ (resp. τ) de J0 (resp. de J1) estgagnantessi toute partie respectant σ (resp.τ) est gagn´ee par J0 (resp. par J1).
1- Montrer que, siA est finie, alors, le jeu associ´e `a Aest d´etermin´e.
2- Montrer que, siA est de profondeur finie (i.e. ∃L≥0 tel que toute partie est de longueur≤L) alors, le jeu associ´e `a Aest d´etermin´e.
3- Supposons que toute partie π du jeu A estfinie. Reprendre la question 2 avec cette hypoth`ese plus faible.
Exercice 2(14 pts) Jeux infinitaires
Une famille de jeux infinis On consid`ere un jeu `a deux joueurs J0,J1. Chaque joueur `a son tour joue un mot w∈ {0,1}+ (on notewnle mot jou´e aun-i`eme tour du jeu). Le joueur J0 commence.
Le joueur J0 (resp. J1) n’a le droit de produire que des mots de {0}+ (resp. {1}+). Le jeu dure ind´efiniment ; une partie
π=w1, w2. . . wn. . . produit le mot infini :
w∞=w1·w2· · · ·wn· · ·
L’ensemble des mots infinis de longueurω est partitionn´e en deux sous-ensembles {0,1}ω =W0∪W1 o`u W0∩W1 =∅.
La partieπ est gagn´ee par J0 (resp. J1) ssi w∞∈W0 (resp.w∞∈W1).
Nous appelleronsjeu de Blackwell sur les entiers un jeu de cette forme.
1- Dans chacun des cas suivants, analyser quel joueur a une strat´egie gagnante : 1.1W0={u∈ {0,1}ω |u−1(0) est fini}
1.2 On fixe un ensembleF ⊆N, puis on d´efinitW0 ={u∈ {0,1}ω |u−1(0) =F}.
74 CHAPITRE 8. ANNEXE Montrer que, sous cette hypoth`ese, le jeu est d´etermin´e.
3- On note L⊆ {0,1}ω l’ensemble des mots qui d´enotent des parties du jeu.
L:= 0{0,1}ω\({0,1}∗{0ω,1ω})
Montrer que, sous cette hypoth`ese, le jeu est d´etermin´e.
4*- Lorsque l’hypoth`ese de la qu. 2 (resp. 3) est remplie, peut-on toujours faire en sorte qu’elle le soit par des ensemblesB0, B1 finis?
Aide : {0,1}ω muni de la topologie produit estcompact.
Filtres Soit S un ensemble. On appellefiltre surS, tout ensemble F ⊆ P(S), v´erifiant les trois propri´et´es :
5- Montrer que l’ensemble des parties co-finies deS
Fc :={F ⊆S |S\F est fini}.
est un filtre.
6- V´erifier que l’inclusion est un ordreinductif sur l’ensemble des filtres sur S.
On appelleultra-filtre surS, tout filtre surS qui est maximal (pour l’inclusion).
7- Montrer que tout filtre est major´e par un ultra-filtre.
Aide : utiliser le lemme de Zorn.
8- SoitF un utra-filtre sur S.
8.1 Montrer que, pour toutF ⊆S,
F ∈ F ou S\F ∈ F.
8.2 Montrer que, r´eciproquement, si un filtre F v´erifie la propri´et´e de la qu. 8.1, alors c’est un ultra-filtre.
75 Ind´etermination On fixe dans cette partie S :=N et on choisit un ultra-filtreF qui majore le filtreFc (sur N) [il en existe au moins un selon la question 7].
Pour deux partiesF, Gde N la notationF =p Gse lit “F est presqu’´egal `a G” et signifie : Card(F∆G)<∞
o`u ∆ est l’op´eration de diff´erence sym´etrique sur les ensembles.
9- SoientF, G⊆N telles queF =p G. Montrer queF ∈ F ⇔G∈ F. On consid`ere le jeu de Blackwell sur les entiers d´efini par
W0:={u∈ {0,1}ω |u−1(0)∈ F}, W1 :={0,1}ω\W0. (8.5) 10- Montrer queW1={u∈ {0,1}ω |u−1(1)∈ F}.
On note les positions des joueurs :
V0:={ε} ∪0{0,1}∗1, V1:={0} ∪0{0,1}∗0, V :=V0∪V1={ε} ∪0{0,1}∗ On veut montrer que J0 n’a pas de strat´egie gagnante. Pour cela, on fait l’hypoth`ese (H0) :
σ0 est une strat´egie gagnante de J0.
On construit maintenant une strat´egieσ1 de J1, qui est aussi gagnante et on en concluera que (H0) est fausse.
Etant donn´ee une strat´egie´ σi:Vi →V1−i, notons ei :Vi →N\ {0} le choix d’entier fait par le joueuridans la position vi ∈Vi :
σi(vi) =vi·iei(vi). Consid´erons la strat´egieσ1 (“par imitation de σ0”) de J1 : - premier coup :e1(0n) :=e0(0n1) + 1
- coups suivants :
— siv1 = 0n11n2· · ·0n2·k+1) (avec n2≥2, k≥1) alorse1(v1) :=e0(0n110n2−1· · ·1n2·k+1)
— siv1 = 0n11n2· · ·0n2·k+1) (avec n2= 1, k≥1) alorse1(v1) := 1.
Etant donn´ee une partie´ π jou´ee selon la strat´egie σ1 :
π = 0n1 ·1n2· · ·0n2·k+1·1n2·k+2· · · o`u n´ecessairement n2 =e0(0n11) + 1≥2, posons
π′ = 0n1 ·1·0n2−1· · ·1n2·k+1·0n2·k+2· · · 11- Montrer queπ′ est une partie qui respecte σ0 et queπ−1(1) =p π′−1(0).
12- Montrer que la strat´egie σ1 est gagnante pour J1. En conclure que (H0) est fausse.
76 CHAPITRE 8. ANNEXE On fait maintenant l’hypoth`ese (H1) :
s1 est une strat´egie gagnante de J1 . Construisons une strat´egie s0 de J0, qui est gagnante.
- premier coup :e0(ε) :=e1(0) + 1 - coups suivants :
— siv0 = 0n11n2· · ·1n2·k (avec n1 ≥2, k≥1) alorse0(v0) :=e1(01n1−10n2· · ·0n2·k)
— siv0 = 0n11n2· · ·1n2·k (avec n1 = 1, k≥1) alorse0(v0) := 1.
13- Montrer que la strat´egie s0 est gagnante pour J0. En conclure que (H1) est fausse.
14- Montrer que le jeu d´efini par (8.5) est ind´etermin´e.
Chapitre 9
References
Ouvrages destin´es au grand public (”vulgarisation scientifique”) : [Oaa99]
Ouvrages d’enseignement de la th´eorie des jeux : [ZL04, Mor94], Sources d’inspiration du cours : [Jen67, Ren01, TWa02, Son08]
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78 CHAPITRE 9. REFERENCES
Bibliographie
[Jen67] Niels Erik Jensen. An introduction to bernoullian utility theory : I. utility functions. The Swedish Journal of Economics, 69, No. 3 :163–183, 1967.
[Mor94] P. Morris. Introduction to Game Theory. Springer-Verlag, 1994.
[Oaa99] A. Orl´ean and alii (25 auteurs). Les math´ematiques sociales. Pour la science, Dossier hors-s´erie,Juillet :1–129, 1999.
[Ren01] P.J. Reny. Arrow’s theorem and the Gibbard-Satterthwaite theorem : a unified approach.
Economics Letters, 70 :99–105, 2001.
[Son08] M. Sondjaja. Sperner’s lemma implies Kakutani’s fixed point theorem. Master thesis, Harvey Mudd College, pages 1–54, 2008.
[TWa02] Wolfgang Thomas, Thomas Wilke, and alii. Automata, logics, and infinite games : a guide to current research, volume 2500. Springer Science & Business Media, 2002.
[ZL04] S. Zamir and R. Laraki.Cours de th´eorie des jeux. Disponible sur la toile, 2004. Polycopi´e de Cours de l’´Ecole Polytechnique.
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