Transfert de rayonnement en g´ eom´ etrie plane

Le deuxi`eme ph´enom`ene physique important d’´echanges d’´energie au sein d’un mi-lieu est le transfert de rayonnement. La mati`ere port´ee `a haute temp´erature va ´emettre des photons qui vont se propager et peuvent ˆetre absorb´es `a courte ou longue dis-tance en fonction de l’opacit´e du milieu. Pour prendre en compte le transfert radiatif, il faut arriver `a calculer `a chaque instant l’intensit´e lumineuse not´ee I_ν(~r, ~Ω, t) (unit´e en

W.m⁻².sr⁻¹.Hz⁻¹). Elle est reli´ee `a une quantit´e d’´energie dE `a l’aide de la relation :

dE = I_ν(~r, ~Ω, t) cos θdSd2Ωdνdt. dE correspond `a la quantit´e d’´energie transport´ee par les photons ayant une fr´equence comprise entre ν et dν, traversant la surface dS pen-dant la dur´ee dt, dans un angle solide d<sup>2</sup>Ω autour de la direction ~Ω. θ est l’angle entre la direction d’´emission ~Ω et la normale `a la surface dS (voir figure 2).

Figure 2 – Rayonnement traversant la surface dS.

Connaissant l’intensit´e lumineuse, il est possible de d´eterminer la quantit´e d’´energie radiative d´epos´ee dans la mati`ere : P_dep = ^∂E_∂t =R

d2ΩR+∞

0 (k_νI_ν − j_ν)dν. Cette gran-deur est alg´ebrique, c’est `a dire qu’elle peut ˆetre positive (la mati`ere re¸coit globalement de l’´energie) ou n´egative (la mati`ere perd de l’´energie).

En n´egligeant les termes de diffusion, l’´equation de transfert de rayonnement s’´ecrit [24] :

1

c ∂I_ν

∂t ^{+ ~Ω. ~}∇I_ν = ρ[j_ν(1 + n_ν) − κ_νI_ν] (18) o`u ρ est la densit´e massique (unit´e en kg.m⁻³), κ_ν l’opacit´e vraie (unit´e en m2.kg⁻¹) et j_ν l’´emissivit´e (unit´e en W.kg⁻¹.sr⁻¹.Hz⁻¹). Le terme n_ν correspond au terme d’´emission induite et est donn´e par : nν = c²Iν

2hν3. L’´equation de transfert peut alors s’´ecrire sous sa forme usuelle :

1

c ∂I_ν

o`u k_ν est l’opacit´e corrig´ee de l’´emission induite : k_ν = κ_ν− ^c2jν

2hν3. Cas particulier d’un rayonnement de Planck :

Dans le cas du rayonnement de Planck, l’intensit´e lumineuse est donn´ee par la relation : Iν(~r, ~Ω, t) = Bν(T ) = ^2hν 3 c2 1 ekT^hν − 1 ⁽²⁰⁾

Pour un rayonnement Planckien, l’´emissivit´e j_ν est directement reli´ee `a l’opacit´e par : j_ν = k_νB_ν(T ).

Il est possible d’obtenir l’´energie radiative et le flux radiatif ´emis dans un demi-espace. Nous obtenons les relations classiques :

E_r = ^4π c Z +∞ 0 B_ν(T )dν = ^8π 5k4 15c3h3T⁴ = aT⁴ (21) F_r = π Z +∞ 0 B_ν(T )dν = ^{a c} 4 ^T 4 = σT⁴ (loi de Stefan) avec a = _15c^8π53^kh⁴3 et σ = _15c^2π52^kh⁴3 = 5.6696 × 10⁻⁸W.m⁻².K⁻⁴.

Nous allons maintenant d´ecrire la m´ethode de r´esolution retenue pour r´esoudre l’´equation de transfert qui permet d’obtenir l’intensit´e lumineuse. Nous nous placerons dans un r´egime stationnaire (la d´eriv´ee temporelle dans l’´equation de transfert est sup-pos´ee nulle).

R´esolution dans une maille homog`ene en r´egime stationnaire.

La r´esolution de l’´equation de transfert est relativement simple en g´eom´etrie plane d`es lors que le milieu est consid´er´e comme homog`ene. Soit s la coordonn´ee curviligne le long d’une direction donn´e ~Ω, nous avons :

∂I_ν

∂s ^{= ρ[jν} − k_νI_ν] (22) En int´egrant cette relation entre s₀ et s, nous obtenons apr`es simplification la rela-tion donnant l’intensit´e lumineuse en sortie du milieu :

I_ν(s) = ^{(2 − ρ ds kν) Iν(s0) + 2ρds jν}

2 + ρ ds k_ν ⁽²³⁾ Cette relation permet de relier l’intensit´e lumineuse en sortie d’un milieu homog`ene en fonction de l’intensit´e lumineuse en entr´ee du milieu et des caract´eristiques du milieu (densit´e, opacit´e, emissivit´e et longueur travers´ee). Nous allons maintenant r´esoudre le transfert radiatif dans un empilement compos´e de diff´erentes mailles suppos´ees indivi-duellement homog`enes.

R´esolution dans un empilement de mailles.

La r´esolution de l’´equation de transfert 18 en g´eom´etrie plane est relativement simple. En effet, du fait de l’absence des termes de diffusion, il n’y a pas de couplage entre diff´erents angles. Nous allons donc pouvoir calculer l’intensit´e lumineuse I_ν(~r, ~Ω, t) suivant des angles discrets ~Ωj et cela de mani`ere ind´ependante. Pour un angle donn´e, le rayon lumineux se propage en ligne droite et intercepte chaque maille au niveau de ses noeuds interne et externe d´efinis respectivement par r_i−1

2 et r_i+1

2 (ils correspondant aux bords de la maille i). Dans chaque maille suppos´ee homog`ene, nous venons de voir qu’il est possible de r´esoudre num´eriquement la propagation de l’intensit´e lumineuse, il suffit ainsi de suivre le rayon de maille en maille en calculant `a chaque fois l’intensit´e luminieuse de sortie qui devient la valeur d’entr´ee de la maille suivante.

La figure 3 montre la g´eom´etrie retenue pour le d´ecoupage angulaire de l’espace.

Figure 3 – Propagation des faisceaux lumineux `a travers une g´eom´etrie `a sym´etrie plane.

Un faisceau lumineux le long de la direction ~Ωj est d´efini `a partir de l’angle θ<sup>j</sup> qu’il fait avec l’axe ~e<sub>r</sub> perpendiculaire aux mailles (direction verticale sur la figure). Nous posons µj = ~e<sub>r</sub>. ~Ωj = cos θj et utiliserons par la suite ce param`etre µj pour la discr´etisation des faisceaux. On va associer un angle solide wj `a chaque rayon, cela correspond au poids port´e par chaque rayon. Pour N<sup>j</sup> secteurs angulaires compris entre 0 et π, la discr´etisation angulaire est r´ealis´ee de mani`ere `a obtenir des directions µj

´equidistantes :

µ¹2 = −1

µ^j+12 = µ^j−12 + ²

Nj pour j = 1..N^j − 1 (24)

µ^Nj+¹₂ = 1

Nous d´efinissons ainsi un secteur angulaire situ´e entre µ^j−12 et µ^j+12, correspondant `

4π

Nj. Nous introduisons ´egalement les valeurs centr´ees µ^j = ¹₂(µ^j+12 + µ^j−12) auxquelles nous associerons aussi une intensit´e. Ainsi, l’intensit´e sera discr´etis´ee selon N_j secteurs et 2N_j+ 1 directions.

Pour un angle donn´e µj d’indice entier ou demi-entier, nous utilisons la relation (23) avec ds = ^{ri+ 1}2

−r

i− 1₂

|µj| , en proc´edant par r´ecurrence du bord interne de l’empilement des mailles vers le bord externe pour les directions positives et du bord externe vers le bord interne pour les directions n´egatives. Les conditions initiales sont d´efinies au niveau des bords interne et externe de l’empilement o`u nous consid´erons que l’intensit´e lumineuse incidente est nulle (pas de rayonnement provenant du vide externe).

Dans le cas particulier des rayons parall`eles aux mailles (µ = 0), l’expression don-nant ds diverge et il faut alors utiliser la relation :

I_ν(µ = 0) = ^jν

k_ν ⁽²⁵⁾

Il ne faut pas oublier d’appliquer les mˆemes relations pour passer `a travers un ´ even-tuel vide entre deux mailles successives. Nous appliquons alors le mˆeme formalisme mais en imposant j_ν = 0 et k_ν = 0, puisque le vide n’´emet et n’absorbe aucun rayon-nement.

La puissance radiative d´epos´ee dans la maille i par unit´e de surface (unit´e en W/m2) est d´etermin´ee `a partir de la relation suivante :

P_ν,i = m_i

Nj

X

j=1

w^j(k_ν,iIν, i^{¯ j} − j_i) (26)

o`u l’intensit´e moyenne en angle et en espace ¯I_i^j est calcul´ee au moyen de la relation :

¯ I_i^j = ¹ 2^{( ¯I} j i−¹₂ + ¯I_i+^j 1 2 ) = ¹ 12^(I j−¹₂ i−¹₂ + 4I_i−^j 1 2 + I^j+ 1 2 i−¹₂ + I^j− 1 2 i+¹₂ + 4I_i+^j 1 2 + I^j+ 1 2 i+¹₂ ) (27)

m_iest la masse de la maille i par unit´e de surface (unit´e en kg/m²). Nous reconnaissons dans l’expression (27) les coefficients li´es `a la formule du trap`eze pour l’interpolation spatiale (coefficients ¹₂ et ¹₂) et ceux li´es `a la formule de Simpson pour l’interpolation angulaire (coefficients ¹₆, ⁴₆ et ¹₆).

Cas test d’un milieu homog`ene.

Nous avons effectu´e diff´erents cas tests pour valider la m´ethode de r´esolution im-plant´ee dans Esther, nous pr´esentons ici un cas particulier d’un milieu homog`ene qui peut se r´esoudre de mani`ere analytique. La solution th´eorique en sym´etrie plane pour un mat´eriau d’´epaisseur L, d’opacit´e k_ν et d’´emissivit´e j_ν est donn´ee pour chaque angle

µ > 0 : I_ν(x, µ) = ^jν k_ν  1 − e^{−ρkν x}µ  µ = 0 : I_ν(x, µ) = ^jν k_ν ⁽²⁸⁾ µ < 0 : Iν(x, µ) = ^jν k_ν  1 − e^{ρkν (L−x)}µ 

La temp´erature radiative et la puissance radiative par unit´e de masse se calculent `

a partir de l’intensit´e lumineuse :

P_rad(x) = Z +∞ −∞  2πk Z 1 −1I_ν(x, µ)dµ − 4πj_ν  dν T_rad(x) = Z +∞ −∞ 2π 4σ Z 1 −1I_ν(x, µ)dµ 1/4 dν (29)

La figure 4 montre les r´esulats d’un cas test simul´e avec le code Esther et compar´e avec la solution semi-analytique pr´esent´ee ci-dessus (les int´egrales ont ´et´e calcul´ees `a l’aide du logiciel Mathematica). Nous simulons le transfert radiatif dans une feuille ho-mog`ene de 100 microns d’aluminium (temp´erature de 100 eV et densit´e de 0.1g/cm³). Pour pouvoir se comparer avec la solution th´eorique, les opacit´es et ´emissivit´es sont constantes pour chaque maille et pour chaque groupe de fr´equence. Nous avons repris des grandeurs typiques de l’aluminium dans ces conditions. Les valeurs prises dans le cas test sont k_ν = 5000 cm2/g et j_tot = 2 × 1017W/g.

Figure 4 – Les figures de gauche et de droite pr´esentent respectivement la temp´erature et la puissance radiative au sein de la feuille de 100 microns d’aluminium. La densit´e de la feuille est de 0.1 g/cm3. L’opacit´e du milieu est k = 5000 cm2/g et l’´emissivit´e totale jtot = 2 × 10¹⁷ W/g.

Nous pouvons voir que les profils obtenus avec Esther se superposent parfaitement avec les r´esultats th´eoriques, ce qui nous conforte dans notre sch´ema num´erique. Pour cette simulation, nous avons pris 10 secteurs angulaires pour d´ecouper l’espace an-gulaire. Nous avons fait varier ce nombre entre 5 et 20 sans voir de diff´erence sur les r´esultats. Ces profils en cloche sont classiques, les bords perdant plus d’´energie radiative que le centre.