Chapitre 2 : Etude du fonctionnement
III. Transducteur I-B
Le capteur est composé de deux électrodes, constituant un transducteur champ électrique- courant de fonction de transfert 𝑓1, et d’un système de bobines, constituant un transducteur
courant-champ magnétique de fonction de transfert 𝑓2 = 𝐵/𝐼. Ce champ magnétique est
ensuite mesuré par un magnétomètre. Dans la section précédente, nous avons déterminé la fonction de transfert 𝑓1 en fonction de paramètres liés au capteur et à son environnement.
Avant de présenter le magnétomètre, attachons-nous à caractériser la fonction de transfert 𝑓2 entre le courant circulant dans le capteur et le champ magnétique créé par la bobine.
III.1. Objectifs et contraintes de conception
Nous l’avons dit, le champ créé par la bobine est mesuré par un magnétomètre placé à l’intérieur de celle-ci. Le magnétomètre choisi est un magnétomètre à pompage optique de l’hélium, dont les performances optimales sont obtenues lorsque l’écart entre les valeurs maximales et minimales du champ magnétique dans lequel est placé son élément sensible (cylindre de 4,5 𝑐𝑚 de long et 3 𝑐𝑚 de diamètre) ne dépasse pas 50 𝑛𝑇.
Le second objectif de la conception de la bobine est, pour un champ électrique à mesurer donné, de maximiser le champ magnétique produit. La difficulté de la conception tient au fait que les deux fonctions de transfert 𝑓1 et 𝑓2 ne sont pas indépendantes. En effet, nous
avons vu que 𝑓1 intégrait dans son expression la conductivité du capteur (équation (24)), qui
intègre elle-même l’impédance de la bobine. Les caractéristiques de la bobine auront donc une influence sur la fonction de transfert 𝑓1. La bobine devra donc, non seulement présenter une bonne fonction de transfert courant-champ magnétique, mais également avoir une impédance relativement faible, de sorte à ne pas trop dégrader la fonction de transfert champ électrique-courant. Comme nous le verrons plus loin, ces deux caractéristiques sont antagonistes. Nous devrons donc trouver le meilleur compromis possible.
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Les deux objectifs de conception d’une bobine pour un tel capteur de champ électrique sont donc les suivants :
- maximiser la fonction de transfert globale du capteur,
- assurer une homogénéité du champ magnétique produit suffisante pour assurer un fonctionnement optimal du magnétomètre.
Ces deux objectifs contraignent fortement la conception de la bobine.
III.2. Fonction de transfert
Le premier objectif nous conduit à imaginer un solénoïde de rayon le plus faible possible, éventuellement à plusieurs couches, et dont le nombre de spires 𝑁𝑠𝑝𝑖𝑟𝑒𝑠, de couches
𝑁𝑐𝑜𝑢𝑐ℎ𝑒𝑠, et le diamètre du fil 𝜑 sont à déterminer. Un fil est constitué d’un cœur
conducteur et d’une gaine isolante ne participant pas à la conduction du courant. Le fil a donc un diamètre extérieur 𝜑𝑒𝑥𝑡, et un diamètre de section conductrice 𝜑𝑖𝑛𝑡. Tous les
calculs ont été effectués en prenant 𝜑𝑒𝑥𝑡 = 1,1 × 𝜑𝑖𝑛𝑡. La longueur de la bobine est alors
donnée par :
𝐿𝑏𝑜𝑏 = 𝑁𝑠𝑝𝑖𝑟𝑒𝑠
𝑁𝑐𝑜𝑢𝑐ℎ𝑒𝑠𝜑𝑒𝑥𝑡 (29) Le champ magnétique mesuré au centre de cette bobine de rayon interne constant 𝑅𝑏𝑜𝑏 est
alors donné par :
𝐵 = 𝜇0 𝑁𝑠𝑝𝑖𝑟𝑒𝑠𝐼 2𝑁𝑐𝑜𝑢𝑐ℎ𝑒𝑠 ∑ 1 √( 𝑁𝑠𝑝𝑖𝑟𝑒𝑠 2𝑁𝑐𝑜𝑢𝑐ℎ𝑒𝑠𝜑𝑒𝑥𝑡) 2 + (𝑅𝑏𝑜𝑏+ (𝑗 −12) 𝜑𝑒𝑥𝑡) 2 𝑁𝑐𝑜𝑢𝑐ℎ𝑒𝑠 𝑗=1 (30)
III.3. Homogénéité
Sous peine de dégrader son fonctionnement, l’écart entre les valeurs minimale et maximale du champ magnétique dans le volume occupé par l’élément sensible du magnétomètre ne doit pas dépasser 50 𝑛𝑇. Nous définissons le facteur d’homogénéité du champ dans le volume occupé par l’élément sensible du magnétomètre par:
ℎ = (𝐵𝑚𝑎𝑥− 𝐵𝑚𝑖𝑛)/𝐵(0) (31)
𝐵𝑚𝑎𝑥 et 𝐵𝑚𝑖𝑛 sont les valeurs maximales et minimales du champ magnétique dans le volume
occupé par l’élément sensible du magnétomètre, et 𝐵(0) est le champ magnétique au centre. La valeur du facteur d’homogénéité à ne pas dépasser dépend de l’amplitude maximale du champ électrique à mesurer 𝐸𝑚𝑎𝑥 (voir chapitre 1 section II.1.1), de la fonction
de transfert globale 𝑓 et de l’écart maximum ∆𝐵𝑚𝑎𝑥 à ne pas dépasser entre les valeurs
minimales et maximales du champ magnétique dans l’élément sensible du magnétomètre. En prenant un facteur de sécurité 𝐹𝑆, le facteur d’homogénéité à ne pas dépasser est donné par :
ℎ𝑚𝑎𝑥 = ∆𝐵𝑚𝑎𝑥
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En Figure 25 est tracée la valeur maximale du critère d’homogénéité en fonction de la fonction de transfert globale du capteur.
Figure 25 : Critère d’homogénéité 𝒉𝒎𝒂𝒙 à respecter, en fonction de la fonction de transfert globale
du capteur, pour un champ électrique d’amplitude 𝑬𝒎𝒂𝒙= 𝟏𝟎𝟎 µ𝑽. 𝒎−𝟏, un écart maximal de
champ magnétique de ∆𝑩𝒎𝒂𝒙= 𝟓𝟎 𝒏𝑻 et un facteur de sécurité de 𝟐.
Pour cette étude, le champ magnétique est calculé numériquement en certains points du volume d’intérêt grâce à la formule de Biot et Savart :
𝐵⃗ = 𝜇0 4𝜋∮ 𝐼. 𝑑𝑙⃗⃗⃗ × 𝑟 |𝑟 |3 𝐶 (33) avec µ0 la perméabilité magnétique du vide, 𝐼 le courant circulant dans la spire 𝐶, constituée
des vecteurs élémentaires 𝑑𝑙⃗⃗⃗ . 𝑟 est le vecteur reliant l’élément 𝑑𝑙⃗⃗⃗ au point où le champ 𝐵⃗ est calculé.
Un solénoïde classique à plusieurs couches permet d’avoir une grande fonction de transfert 𝑓2 avec une résistance relativement faible, mais pas une bonne homogénéité (voir les calculs réalisés au chapitre 3 section II.3. Plusieurs méthodes existent pour produire un champ magnétique homogène. Celle que nous choisirons devra permettre d’obtenir une homogénéité suffisante, et présenter une grande fonction de transfert courant – champ magnétique.
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La plus ancienne et la plus connue consiste en des bobines de Helmholtz, simples ou d’ordres supérieurs selon l’homogénéité désirée [73]–[76]. Cette méthode présente l’inconvénient d’avoir une faible fonction de transfert courant – champ magnétique.
D’autres méthodes ont été développées dans le passé. Ajouter des bobines de compensation aux extrémités du solénoïde [77] ou faire varier la densité de spires le long de l’axe de la bobine [78], [79] ne permet pas d’obtenir l’homogénéité requise. Faire varier la densité de courant circulant dans les différentes spires de la bobine [80] n’est pas adapté pour notre application.
Enfin, modifier la forme de la bobine permet d’obtenir de bons résultats. Sous certaines conditions détaillées dans [81], les bobines sphériques permettent d’obtenir une très bonne homogénéité sur une grande partie du volume intérieur. Pour notre application, cette solution est difficile à mettre en œuvre, car il faut garder un accès à l’intérieur pour pouvoir placer le flacon d’hélium.
Une autre méthode consiste à faire varier le rayon de la bobine en gardant ses extrémités ouvertes [82]. Nous l’avons adaptée à notre application. La forme de la bobine dépendra de l’architecture du capteur. Nous proposons en chapitre 3 section I une bobine adaptée à chaque architecture.