Après soustraction d’un fond et un seuillage adaptatif (nous connaissons l’aire approxi-mative que doivent couvrir les particules sur chaque caméra), nous détectons la position du centre de chaque particule et leur taille. Les tailles mesurées des différentes particules présentent des distributions bien distinctes pour les différents diamètres utilisés.
Comme les particules ont des tailles distinctes et comme nous avons très peu de parti-cules de même taille dans l’écoulement, il est très facile d’associer les couples de partiparti-cules entre les deux caméras (stéréo-matching). Une étape de calibration préliminaire des camé-ras, utilisant le modèle de caméras ponctuelles développé par Tsai [71] permet ensuite de transformer les deux couples de position des deux caméras ((Xi, Yi) en pixels sur chaque caméras) en un trièdre de coordonnées réelles (x, y, z).
Une fois les positions 3D obtenues, l’assemblage des trajectoires se fait en cherchant la particule de même taille la plus proche à l’instant suivant. Vu le caractère dilué de l’écoulement, cette technique de plus proche voisin est suffisante. Nous nous autorisons †. Dans ce régime très dilué, la présence de plusieurs particules n’affecte pas les statistiques des parti-cules.
II.3. Dispositif pour l’étude des grosses particules 31
à perdre la particule sur des durées d’environ 5 fois τη lors de la construction d’une trajectoire. Si deux particules se croisent sur une caméra, nous n’aurons probablement plus la position 3D de la particule sur des temps supérieurs à 5 fois τη, la trajectoire est donc arrêtée et une nouvelle commencera dès que la position 3D sera à nouveau détectable. Comme ces croisements ou autres phénomènes similaires arrivent régulièrement, il est nécessaire de reconnecter par la suite les morceaux de trajectoires ainsi obtenus. Nous utilisons une technique basée sur un critère de plus proche voisin dans un espace à 6D (~x,~v), développée par Haitao Xu [82]. Pour chaque trajectoire, nous rassemblons les trajec-toires qui commencent aux temps ultérieures à celui où la trajectoire s’arrête. Si une seule trajectoire répond à un critère de distance minimale entre les position et vitesse finales de la trajectoire considérée et les position et vitesse initiales de la trajectoire candidate à la reconnexion, ces deux trajectoires sont assemblées. Dans tous les autres cas, les trajectoires ne sont pas connectées.
Si une seule particule est présente dans l’écoulement, nous créons une seule trajectoire, qui peut comporter des trous de tailles conséquentes (si la particule sort du champ de mesure en allant dans les zones près des disques ou dans les coins par exemple).
Enfin, nous interpolons les trous de durée inférieure à 5τη avec une spline cubique. Les trous plus longs s’étant vus attribués “Not a Number”, ils ne perturbent pas les analyses et permettent tout de même d’avoir des trajectoires plus longues, ce qui est utile pour le calcul des fonctions d’auto-corrélation par exemple. La figure II.8(a) présente un échantillon typique de trajectoires pour un type de particule à une fréquence de rotation fixée.
Le calcul de la vitesse et de l’accélération se fait par convolution avec un noyau gaus-sien qui permet à la fois la dérivation et le filtrage [53, 80]. La valeur de la largeur du noyau est choisie en observant l’effet de différentes valeurs sur les fluctuations de vitesse et d’accélération. Ces méthodes sont classiquement utilisées en turbulence lagrangienne (par exemple [44, 53, 79]). La statistique pour chaque condition expérimentale est bien sûr suffisante pour converger au moins les deux premiers moments de la vitesse et de l’accélération.
Pour les mesures rapides, la calibration 3D avec le modèle de Tsai [71] permet d’avoir une erreur sur la position des particules inférieure à 0,4 px, soit inférieure à environ 0,1 mm. Ceci équivaut à une erreur relative ∆x/D comprise entre 1,5 et 0,4% selon le diamètre des particules. Pour maximiser la longueur des trajectoires dans le cas des mesures lentes, nous autorisons une détection partielle de la particule lorsqu’elle sort du champ. Nous ajustons alors la partie de la particule présente avec une fonction disque pour trouver son centre. De plus, si une seule caméra détecte la position de la particule, nous enregistrons la valeur de la position axiale z qui est une coordonnée redondante sur les deux caméras et aussi celle de la coordonnée transverse propre à chaque vue. Nous avons procédé à une calibration préalable en 2D qui permet d’obtenir la position 2D de la particule avec une seule caméra avec le moins d’erreurs possible. Concrètement, les paramètres de la calibration 2D sont obtenus pour chaque caméra par une méthode de minimisation avec les positions issues de la calibration 3D pour toutes les positions où la particule apparaît sur les deux vues. Cette méthode rallonge significativement la longueur des trajectoires (et donc la gamme de fréquence couverte par les spectres). Ces deux méthodes entraînent une erreur sur la position plus forte que pour les mesures rapides, d’environ 1,5 mm au maximum, soit entre 6 et 25% du diamètre des particules. Comme dans ce cas les positions ne sont pas dérivées pour obtenir la vitesse ou l’accélération, l’impact de cette erreur reste minime.
−0.1 −0.05 0 0.05 0.1
−0.1
0
0.1
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
z [m]
x [m]
y [m]
−0.1 −0.05 0 0.05 0.1
−0.1
0
0.1
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
z [m]
x [m]
y [m]
Figure II.8 – a) Échantillon typique de trajectoires pour un type de grosses particules à une fréquence de rotation fixée. La durée moyenne des trajectoires est de 0,3 secondes et les trajectoires les plus longues durent quelques secondes. b) Segment d’une trajectoire longue d’une grosse particule, sur 15 secondes ; la couleur de bleu à rouge représente le temps ; le rond correspond au pont de départ et le carré à l’arrivée.
Chapitre III
Dynamique de particules de
grande taille en turbulence
Ce chapitre décrit l’étude lagrangienne de la dynamique rapide de particules maté-rielles dans un écoulement de von Kármán. Nous nous intéressons aux effets de la taille des particules et de leur rapport de densité sur les statistiques de leur position, vitesse et accélération. L’exploration de l’écoulement par les particules et l’effet de la structure moyenne de l’écoulement sur leur dynamique sont également discutés.
III.1 Étude lagrangienne préliminaire
Cette section présente l’étude des statistiques lagrangiennes de billes de grande taille à haut nombre de Reynolds (Re = 225 000), et dont la densité est différente de celle du fluide. Ces mesures complètent donc les résultats publiés dans [39], pour les billes isodenses dans un mélange eau-glycérol 50-50 (Re = 31 000). Ces dernières analyses, effectuées sur des données prises par Robert Zimmermann durant sa thèse [85], sont utilisées lorsque cela est nécessaire.