Soit un domaine D plan figurant l'extension d'un aquifère assimilable à une nappe
unique subhorizontale. La discrétisation de l'espace est réalisée dans un premier temps au moyen d'une grille d'éléments carrés ou mailles de côté a (figure 11.11).
Nous avons vu que la fonction niveau piézométrique h (x, y) est solution de l'équation de diffusivité sur ce domaine, soit:
𝜕
𝜕𝑥(𝑇𝑥𝜕ℎ
𝜕𝑥) + 𝜕
𝜕𝑦(𝑇𝑦𝜕ℎ
𝜕𝑦) = 𝑆 𝜕ℎ
𝜕𝑡 + 𝑄
en choisissant le repère Ox, Oy parallèle aux éventuelles directions principales d'anisotropie.
Nous choisirons pour approximation de h des fonctions constantes définies sur chaque maille i, et nous ferons les calculs en admettant que valeur en est attribuée au centre de la maille.
On procédera de même pour les différents paramètres de l'équation, en définissant sur chaque malle i:
- une transmissivité Ti (éventuellement deux, Txi et Tyi si le milieu est anisotrope) ; - un coefficient d' emmagasinernent Si ;
- un débit total algébrique prélevé Qi.
En écrivant que les fonctions d'approximation satisfont localement, c'est-à dire pour chaque maille, à l'équation de diffusivité, on obtient, comme on va le voir, un système d'équations linéaires définissant les valeurs Hi au centre des mailles. Une méthode générale est proposée à la fiche H ; nous décrirons dans ce chapitre une démarche plus physique faisant appel aux lois élémentaires de l'écoulement en milieu poreux.
Isolons une maille donnée i du domaine avec ses quatre voisines, que nous désignerons par les notations N (nord), E (est), S (sud) et W (ouest) (figure 11.12).
- Le principe de continuité implique la conservation du débit d'eau entrant algébriquement par les quatre limites de la maille i, ce qui s'écrit :
𝑄𝑁 + 𝑄𝐸 + 𝑄𝑆 + 𝑄𝑊 = 𝑄𝑖 + 𝑄𝑒𝑚𝑖 (11.2) où 𝑄𝑒𝑚𝑖 désigne le débit emmagasiné dans la maille i.
- La loi de Darcy permet d'exprimer chaque composante du débit entrant en fonction de la transmissivité et du gradient hydraulique :
𝑄𝑁 = 𝑇𝐻 𝑎 𝐻𝑁 − 𝐻𝑖
𝑎 = 𝑇𝑁(𝐻𝑁 − 𝐻𝑖) où:
TN représente la transmissivité de l'aquifère entre la maille i et sa voisine dans la direction du N ;
Hi et HN sont 1es approximations de la charge respectivement sur la maille i et sur la maille N .
- Enfin, l'équation d'état fournit l'expression du débit emmagasiné : 𝑄𝑒𝑚𝑖 = 𝑎2𝑆𝑖𝑑𝐻𝑖
𝑑𝑡
où Si est le coefficient d' emmagasinement sur la maille i.
Tous calculs faits, l'expression (11.2) devient :
𝑇𝑁(𝐻𝑁 − 𝐻𝑖) + 𝑇𝐸(𝐻𝐸 − 𝐻𝑖) + 𝑇𝑆(𝐻𝑆 − 𝐻𝑖) + 𝑇𝑊(𝐻𝑊 − 𝐻𝑖) = 𝑄𝑖 + 𝑎2𝑆𝑖𝑑𝐻𝑖
𝑑𝑡 (11.3) Le même travail peut être exécuté pour chaque maille du modèle mettant en œuvre les n valeurs Hi (i = 1, n) des fonctions d'approximation attribuées aux n mailles, ce qui conduit à un système différentiel linéaire du premier ordre, dont les n fonctions inconnues du temps sont les fonctions Hi.
Pour simplifier les écritures, nous adopterons la notation matricielle :
𝑇 𝐻 = 𝑄 + 𝑎2 𝑆 𝑑𝐻
𝑑𝑡 (11.4) en définissant les vecteurs :
𝑃𝑖é𝑧𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑒 𝐻 = [
𝐻1 𝐻.𝑖 . 𝐻𝑛]
𝑒𝑡 𝐷é𝑏𝑖𝑡 𝑄 = [
𝑄1 . 𝑄𝑖
. 𝑄𝑛] et les matrices 𝑇 et 𝑆 construites respectivement à partir des transmissivités et des coefficients d'emmagasinemcnt.
Propriétés de la matrice des transmissivités 𝑇
Les transferts de l'eau aux frontières de la maille sont regis par les paramètres TN, TE, TS et TW représentant la transmissivité de la nappe dans les quatre directions N , E, S et W, parfois désignées sous le nom de transmissivités de passage. Ce sont elles, en particulier, qu'il conviendra d'ajuster au cours du calage du modèle pour assurer l'adéquation entre les niveaux piézométriques calculés et observés. On préfère, en général, plutôt que d'introduire quatre paramètres par maille, engendrer les transmissivités de passage par le calcul à partir d'une transmissivité unique moyenne attribuée à chaque maille.
La transmissivité de passage Tij entre deux mailles notées i et j est alors fonction des transmissivités Ti et Tj de chacune des mailles:
𝑇𝑖𝑗 = 𝑓(𝑇𝑖, 𝑇𝑗) = 𝑓(𝑇𝑗, 𝑇𝑖)
Plusieurs formulations peuvent être proposées pour la fonction f, qui doit cependant être obligatoirement symétrique afin de respecter la réciprocité du calcul des échanges entre
Moyenne arithmétique : 𝑇𝑖𝑗 = 𝑇𝑖+𝑇𝑗
2
Moyenne géométrique : 𝑇𝑖𝑗 = √𝑇𝑖𝑇𝑗 Moyenne harmonique : 𝑇𝑖𝑗 = 2𝑇𝑖𝑇𝑗
𝑇𝑖+𝑇𝑗
Remarquons que la dernière formulation par la moyenne harmonique correspond à la règle de composition des transmissivités pour les écoulements en série. Tij est alors la transmissivité du milieu homogène équivalent formé à partir de deux autres milieux homogènes de transmissivités Ti et Tj.
Des études faites sur la répartition statistique des transmissivités dans un aquifère (Delhomme, 1976) ont montré que la moyenne géométrique représentait bien la tendance spatiale des valeurs mesurées ponctuellement. Néanmoins, les transmissivités que l'on sera conduit à affecter aux mailles d'un modèle ne seront qu'exceptionnellement mesurées sur le terrain et l'on devra procéder par calage, ce qui réduit l'intérêt d'une recherche approfondie sur la meilleure formulation du calcul des transmissivités de passage.
Dans c e s c o n di t i o n s , l a mat r i c e des t r a n s mi ss i vi t é s T possède les propriétés suivantes:
- elle est symétrique ;
- elle est diagonalement dominante ; le terme diagonal se présente comme la somme changée de signe des termes non diagonaux: - (TN + TE + TS + TW) ;
- la ligne (ou la colonne) ne comporte au maximum que cinq termes non nuls, conférant à la matrice une structure de bande; la largeur de bande dépend de l'ordre dans lequel sont rangées les mailles au moment de l'établissement des équations de bilan.
Ces propriétés générales entraînent des conséquences quant aux méthodes de résolution des systèmes linéaires associés à la matrice 𝑇.
Introduction des conditions aux limites
Les conditions aux limites de charge imposée et de débit imposé peuvent être facilement incorporées au système d'équation (11.4).
- Cas du débit imposé (figure 11.13) : considérons la maille i , dont la bordure N vient, par exemple, en limite du domaine modélisé, sachant qu'un débit Q0 imposé par les conditions extérieures transite à travers cette limite.
L'équation du bilan des flux s'établit alors comme suit :
𝑄0+ 𝑇𝐸(𝐻𝐸 − 𝐻𝑖) + 𝑇𝑆(𝐻𝑆 − 𝐻𝑖) + 𝑇𝑊(𝐻𝑊 − 𝐻𝑖) = 𝑄𝑖+ 𝑎2𝑆𝑖𝑑𝐻𝑖
𝑑𝑡 (11.5) On constate que la contribution du coefficient nord disparaît, tandis que le débit total
prélevé devient au second membre Qi – Q0.
- Cas du niveau piézométrique imposé (figure 11.14) : supposons que les conditions extérieures fixent le niveau piézométrique de la maille i à la valeur H0i. Il n'est plus nécessaire d'écrire 1'équation du bilan des flux pour cette maille i et la dimension du problème se trouve diminuée de 1. Les mailles voisines de i voient, par contre, leurs équations modifiées, comme le montre l'exemple de la maille j supposée située au S de i:
𝑇𝑁(𝐻0𝑖− 𝐻𝑗) + 𝑇𝐸(𝐻𝐸 − 𝐻𝑗) + 𝑇𝑆(𝐻𝑆 − 𝐻𝑗) + 𝑇𝑊(𝐻𝑊 − 𝐻𝑗) =𝑄𝑗+ 𝑎2𝑆𝑗𝑑𝐻𝑖
𝑑𝑡 (11.6) On constate que le terme diagonal de ligne demeure inchangé, mais que le terme non diagonal associé à TN disparaît en apportant la contribution - TN H0i au débit prélevé.
La prise en compte des conditions aux limites ne modifie donc pas la forme du système d'équations (11.4), les propriétés de la matrice 𝑇 restant identiques.
Solution en· régime permanent
Dans les conditions de régime permanent, les termes du bilan en eau de la nappe, exprimés dans les conditions aux limites et dans le débit algébrique prélevé, sont invariants dans le temps et l'on recherche l'état stationnaire correspondant.
Le système d'équations devient alors:
𝑇 H = Q (11.7)
L'existence de la solution est conditionnée par les propriétés de la matrice 𝑇. On montre que si l e modèle ne possède aucune maille dont la charge est imposée, 1e déterminant de 𝑇. est nul ; il ne peut alors y avoir de solution que si le bilan de la nappe est par ailleurs bouclé, c'est-à-dire que si la somme des composantes de Q est nulle. Il devient dans ce cas, possible de fixer arbitrairement la valeur d'une des inconnues, ce qui entraine l'existence d'une infinité de solutions correspondant à une famille de cartes piézométriques parallèles entre elles. Par contre, lorsqu'il se trouve au moins une maille dont le niveau piézométrique est imposé, le système admet une solution unique.
Les méthodes de calcul numérique de la solution: l'analyse numérique propose de nombreuses méthodes de résolution des systèmes linéaires dont l'exposé dépasse le cadre de nos propos (Gastinel, 1966; Korganoff, 1967; Remson, 1971). Nous nous limiterons ici à quelques principes généraux issus de l'expérience.
On distingue deux types de méthodes:
- les méthodes directes organisées autour d'un algorithme qui conduit à la solution définitive après exécution des calculs. L'algorithme type est celui de Gauss-Jordan, appelé aussi méthode de substitution;
- les méthodes itératives qui font appel à un algorithme répétitif au moyen duquel on converge vers la solution par itérations successives. L'algorithme de Gauss-Seidel amélioré
L'algorithme de Gauss-Jordan est sûr, et sa précision suffisante dans la plupart des cas avec les moyens de calcul modernes. Son principal inconvénient réside dans le fait que l'encombrement mémoire nécessaire et le temps de calcul croissent assez rapidement avec le nombre de mailles, en première approximation comme son carré. Son emploi peut ainsi devenir prohibitif pour les gros modèles, en particulier, dans le cas de problèmes multicouches ou même tridimensionnels.
Les propriétés déjà évoquées de la matrice 𝑇 impliquent la certitude théorique de la convergence de l'algorithme de Gauss-Seide! quelle que soit la nature du problème formulé par la méthode des différences finies. La convergence peut cependant être difficile, en particulier lorsque la matrice 𝑇 se trouve mal conditionnée par la présence de contrastes de transmissivités au sein de l'aquifère. La relative modestie du temps calcul et de l'encombrement mémoire nécessaires, même au prix d'un grand nombre d'itérations (proportionnel au nombre de mailles), en font une méthode universelle qui convient aux modèles de taille importante.
D'autres méthodes itératives peuvent être proposées, mais dont les performances par rapport à l'algorithme de Gauss-Seidel sont soumises à la géométrie du problème et à la répartition des conditions aux limites.
En conclusion, pour les applications pratiques en hydrogéologie, nous pensons qu'il est raisonnable de se restreindre à un petit nombre de méthodes numériques universelles qui conduisent au résultat dans tous les cas, même si elles ne mettent pas toujours à profit les avantages d'une configuration particulière. On pourra retenir les principes suivants:
- les méthodes de taille modérée (inférieure à 1 000 mailles) se traitent bien au moyen de l'algorithme direct de Gauss-Jordan;
- au-delà, il devient préférable d'employer une méthode itérative peu contraignante comme l'algorithme de Gauss- Seidel amélioré par surrelaxation ;
- en cas de difficulté de convergence, il peut être nécessaire de revenir à une méthode directe, même au prix d'un allongement de la durée des calculs.
Solution en régime transitoire
Le problème posé est la résolution d'un système différentiel linéaire du premier ordre :
𝑇 H = Q + 𝑎2𝑆 𝑑𝐻
𝑑𝑡 (11.8)
en vue du calcul de l'évolution du vecteur H au cours de temps. Les méthodes classiques procèdent de proche en proche après découpage de la période de simulation en intervalles de temps Δt (ou pas de temps) non nécessairement égaux.
En posant l'approximation:
𝑑𝐻
𝑑𝑡 =𝐻𝑡+𝛥𝑡− 𝐻𝑡 𝛥𝑡
sur l'intervalle de temps [t, t + Δt], le système devient:
𝑇 H = Q + 𝑎2 𝑆 𝐻𝑡+𝛥𝑡− 𝐻𝑡
𝛥𝑡 (11.9)
Différentes possibilités s'offrent alors selon la date à laquelle on exprime la quantité 𝑇H pour chaque pas de temps :
- Méthode explicite : 𝑇H est exprimé à l'instant t, d'où l ' on tire:
𝐻𝑡+𝛥𝑡 = 𝐻𝑡+ 𝛥𝑡 (𝑎2 𝑆 )
−1
(𝑇 𝐻𝑡− 𝑄) (11.10) - Méthode implicite : 𝑇H est exprimé à l'instant t+Δt, d'où l'on tire:
(𝑇−𝑎2 𝑆
𝛥𝑡 ) 𝐻𝑡+𝛥𝑡= 𝑄 −𝑎2 𝑆
𝛥𝑡 𝐻𝑡 (11.11)
Il est également possible de recourir à une méthode mixte explicite-implicite formulable de la manière suivante:
(1 − 𝛩) 𝑇 𝐻𝑡+ 𝛩 𝑇 𝐻𝑡+𝛥𝑡 = 𝑄 +𝑎2 𝑆 𝐻𝑡+𝛥𝑡− 𝐻𝑡
𝛥𝑡 (11.12) avec
0,5 ≤ 𝛩 ≤ 1
- Existence des solutions, stabilité : Le système d'équations discrétisé du régime transitoire possède toujours une solution unique dès que l'on se donne un état initial (carte piézométrique à l'instant t = 0). La discrétisation du temps conduisant aux systèmes (11.10 ou 11.11) introduit cependant certaines restrictions dans la possibilité d'obtenir numériquement la solution. On montre que la méthode explicite n'est stable que si l'on opère avec des pas de temps dont la durée est inférieure à une valeur critique Δtc qui dépend des paramètres hydrodynamiques de l'aquifère. La valeur de Δtc pour un problème donné s'obtient par la relation :
𝛥𝑡𝑐 = min
𝑖=1,𝑛
𝑎2 𝑆𝑖
(𝑇𝑁 + 𝑇𝐸 + 𝑇𝑆 + 𝑇𝑊)𝑖
Pour les nappes présentant une forte diffusivité (T/S ≥ 1) et lorsque les mailles sont de petite taille (100 à 1 000 m), le pas de temps critique peut devenir relativement petit, de l'ordre de quelques heures, ce qui implique un grand nombre de pas de temps pour couvrir la période de simulation.
La méthode implicite est, par contre, inconditionnellement stable quel que soit le pas de temps.
Méthodes de calcul numérique de la solution
La méthode explicite, sous réserve de l'utilisation d'un pas de temps suffisamment petit ne pose pas de problème de calcul numérique, l'obtention de Ht+Δt en fonction de Ht dans 1' expression (11.10) ne demandant que des additions et multiplications matricielles.
La méthode implicite nécessite, pour sa part, la résolution d'un système d'équations linéaires de matrice 𝑀 = 𝑇- a2 𝑆/Δt à chaque pas de temps, ce qui rend la qualité de calculs comparable à celle d'un régime permanent. La matrice a2 𝑆/Δt étant diagonale, les propriétés énoncées pour 𝑇 demeurent inchangées pour la matrice 𝑀. Il en résulte que les méthodes numériques proposées pour le cas du régime permanent sont applicables au régime transitoire.
La méthode directe de Gauss-Jordan perd cependant son intérêt dans la mesure où la rapidité de convergence de la méthode itérative de Gauss-Seidel avec surrelaxation est fortement augmentée par le fait que d'une part, le calcul étant mené de proche en proche d'un pas de temps à un autre, la solution initiale n'est jamais très éloignée de la solution finale, et que, d'autre part, la matrice 𝑀 dont le poids de la diagonale est renforcé par la contribution du terme a2 𝑆/Δt, confère de meilleures propriétés au processus itératif .
En règle générale, on constate que la plupart des problèmes de ressources en eau ont avantage à être traités par la méthode implicite associée à un calcul itératif. Le gain de précision que dans certains cas la méthode mixte explicite implicite peut apporter au prix de calculs supplémentaires ne parait pas justifié.