Dans cette section, on r´esout dans l’approximation du champ moyen l’hamiltonien effectif obtenu `a la section pr´ec´edente, afin d’en tirer des informations sur la structure de l’´etat fondamental du r´eseau pyrochlore avec des spins 12.
4.2.1 Champ moyen
Il existe plusieurs fa¸cons de r´esoudre le probl`eme dans l’approximation du champ moyen. On commence par chercher des solutions o`u la structure magn´etique est d´ecrite par un seul vecteur de propagation. Comme on le verra, on peut trouver une meilleure solution au probl`eme en superposant des structures magn´etiques `a un seul vecteur d’onde. Une r´esolution directe en supposant quatre sous-r´eseaux viendra confirmer cette derni`ere solution.
Structures `a un seul vecteur de propagation
On commence par chercher des solutions o`u la structure magn´etique est d´ecrite par un seul vecteur de propagation. On ne prend ainsi en compte que les interac-tions entre deux pseudo-spins, et on considerera les interacinterac-tions `a trois pseudo-spins ult´erieurement.
La m´ethode utilis´ee est d´ecrite en d´etail `a l’annexe A.3. La structure magn´etique obtenue sera de la forme :
Tx
i = Tx
q0eiq0.Ri Tiz= Tqz0eiq0.Ri
o`u q0 est le vecteur de la premi`ere zone de Brillouin qui minimise l’´energie : E = J
03
J2
N
2 |Tq|2λ(q0)
avec λ(q) la plus petite valeur propre de la matrice “transform´ee de Fourier des interactions d’´echange” : " 1 4cxcz 1 4√ 3(cxcy− cycz) 1 4√ 3(cxcy− cycz) 16(cxcy+ cycz)−121cxcz # o`u cα= cosqαa
2 . On se reportera `a l’annexe A.3 pour plus de d´etails.
Dans cette approximation, trois vecteurs q0 sont solutions : (2π, 0, 0), (0, 2π, 0) et (0, 0, 2π). Les structures correspondante en termes de pseudo-spins sont des ar-rangements antiferromagn´etiques de plans ferromagn´etiques qui sont empil´es res-pectivement dans les directions x, y et z. Les directions des pseudo-aimantations correspondantes sont respectivement :
hTxi = −√43 hTzi = −14 hTxi = 0 hTzi = 1
2
hTxi = √43 hTzi = −14
Dans chacune de ces structures, l’´energie par (vrai) spin vaut alors (en prenant J = J0) :
E
4 =−J127
256 ' −0.496J (4.5)
A partir des pseudo-aimantations on peut remonter aux fonctions d’ondes en termes de vrais spins dans le secteur singulet . Ceci pr´esente toutefois peu d’int´erˆet `
a ce stade car comme on va le voir on peut construire une fonction d’onde `a trois vecteurs de propagation qui est plus basse en ´energie que chacune des solutions `a un seul vecteur de propagation.
Structure triple-q
Pour obtenir les trois solutions ci-dessus, on a seulement pris en compte les termes `
a deux pseudo-spins. La valeur moyenne des termes `a trois pseudo-spins dans ces configurations est nulle.
Ces termes `a trois pseudo-spins vont favoriser une structure `a trois vecteurs de propagations [39]. En effet, en superposant les trois solutions pr´ec´edentes, la valeur moyenne des termes `a deux pseudo-spins va augmenter, mais la contribution des termes `a trois pseudo-spins n’est plus nulle et l’´energie totale de la structure r´esultante est plus basse que celle des structures `a un seul vecteur d’onde obtenues pr´ec´edemment.
?
Fig.4.8 – Il existe trois ´etats dim´eris´es possibles sur un t´etra`edre, comme repr´esent´e ci-dessus. La maille magn´etique de l’´etat fondamental contient quatre t´etra`edres (voir figure 4.2 par exemple) dont trois sont dans les trois ´etats dim´eris´es, et le quatri`eme reste d´esordonn´e. E =−3J 2 − 9 16 J02 J + 25 192− 15 384− 8 384 | {z } J03 J2 (4.6) 9 128
o`u on a s´epar´e les contributions `a l’´energie provenant respectivement des termes constants et des interactions `a deux et `a trois pseudo-spins. Harris et al. [39] ont probablement oubli´e de compter les diagrammes `a deux t´etra`edres au troisi`eme ordre des perturbations (figure A.2.a) si bien que le “19225” dans l’expression 4.6 remplace le “104384” de l’expression (13) dans la r´ef´erence [39].
Pour la limite J = J0, ceci donne une ´energie par spin : E
4 ' −0.498J
qui est effectivement plus basse que l’´energie des structures `a un seul vecteur de propagation 4.5.
Cette structure triple-q peut ´egalement ˆetre vue comme une structure q = 0 `
a quatre sous-r´eseaux de pseudo-spins. Sur ces quatre sous-r´eseaux, trois ont une pseudo-aimantation finie, et le quatri`eme a une pseudo-aimantation nulle. En fait sur ce quatri`eme sous-r´eseau on trouve hTx,zi = 0, d’o`u l’on peut conclure que ce sous-r´eseau est d´esordonn´e car il peut ˆetre dans n’importe lequel des deux ´etats|Ty = ±12i sans que cela n’affecte l’´energie. Pour les trois sous-r´esaux ayant une pseudo-aimantation finie, on peut obtenir la fonction d’onde correspondante des (vrais) spins. On trouve alors que chacune des trois directions de la pseudo-aimantation correspond aux trois fa¸cons possibles de former deux dim`eres sur un t´etra`edre (voir figure 4.8). Le r´esultat final de cet ´etude est que l’´etat fondamental du r´eseau pyrochlore de spins 12 a une maille ´el´ementaire de quatre t´etra`edres. Trois de ces t´etra`edres sont dans chacun des trois ´etats dim´eris´es possibles (il existe trois fa¸cons de former deux dim`eres sur chaque t´etra`edre), tandis que le quatri`eme t´etra`edre reste d´esordonn´e (voir figure 4.8). Cette solution avait en fait d´ej`a ´et´e obtenue et pr´esent´ee de fa¸con peu claire [39].
Arguments en faveur de la structure triple-q
La fa¸con dont la structure multi-q a ´et´e obtenue peut paraˆıtre arbitraire. Afin de consolider cette solution, on a recherch´e des structures magn´etiques qui sont des combinaisons lin´eraires des trois structures simple-q et en minimisant l’´energie par rapport au poids de chacune des trois solutions. On trouve que la solution de plus basse ´energie est bien celle d´ecrite ci-dessus.
On peut alors se demander si il n’y a pas de “meilleures” solutions au probl`eme (dont l’´energie est plus basse) qui ne sont pas des combinaisons lin´eraires de ces trois structures. Afin de r´epondre partiellement `a cette question, on a effectu´e un traitement en champ moyen `a quatre sous-r´eseaux. Au lieu de chercher des structures magn´etiques d´ecrites par un vecteur de propagation et un seul site par maille comme pr´ec´edemment, on se limite `a des structures q = 0, mais avec quatre sites par maille ´el´ementaire. On minimise alors l’´energie par rapport aux coordonn´ees des quatres pseudo-spins de la maille ´el´ementaire. Les d´etails de la m´ethode sont donn´es aux annexes A.3.2 et A.3.3. Avec cette nouvelle approche, on retrouve directement la mˆeme structure triple-q que pr´ec´edemment (mais cette fois-ci d´ecrite comme une structure q = 0 avec quatre sous-r´eseaux).