On désigne par traitement d’images l’ensemble des techniques permettant de modifier une image numérique dans le but de l’améliorer ou d’en extraire des informations.
Les matrices de Toeplitz par blocs de Toeplitz paraissent dans la plupart de ces tech- niques, on va choisir quelques uns.
Dans le traitement numérique d’images, il est souvent nécessaire de procéder à des transformations géométriques non linéaires des positions des pixels de la grille de l’image. Les transformées des positions des pixels ne coïncident alors généralement pas avec la grille de l’image d’entrée. Un algorithme de ré-échantillonnage permet d’obtenir la valeur de ces nouveaux pixels. Un algorithme de ré-échantillonnage par la B-spline cubique uniforme est donné dans [80]. L’écriture matricielle de cet algorithme est
G′ = BCBT
avec G′ la matrice de l’image ré-échantionnée, B une matrice TBT et C une matrice
correspond à la l’image d’entrée.
Le problème de restauration d’une image peut se transformer en un problème de résolution d’un système linéaire T x = b avec T est une matrice TBT de taille n2 × n2
pour une image formée de n × n pixels, voir [76]. Vu la grande taille de ces matrices, un algorithme de résolution rapide pour un système TBT est crucial. Prenons l’exemple donné dans cet article. On considère le problème d’astronomie suivant : on dispose d’une image observée par un satellite et on veut reconstruire cette image. Ce problème se réduit en un système linéaire Hx = b où H est la fonction de flou qui peu être estimer et b est un vecteur donné par l’observation du satellite. Cependant H est une matrice rectangulaire et circulante par blocs circulants. Donc, on doit résoudre, à la place de l’équation initiale, l’équation normale H∗Hx = H∗b. Comme la matrice H∗H est malle conditionnée, on
utilise la régularisation suivante :
3.4. Traitement d’images numériques et du signal 57
où λ est le paramètre de régularisation. La matrice λI + H∗H est une matrice TBT de
Chapitre 4
Peut-on trouver des méthodes de
résolution rapide pour Toeplitz par
blocs de Toeplitz ?
4.1
Introduction
Malgré un progrès remarquable en étude des algorithmes de résolution rapides pour les matrices structurées scalaires ces dernières décennies, les matrices structurées multini- veaux, en particulier les matrices de Toeplitz par blocs de Toeplitz (TBT), restent un défi. On a donné dans le premier chapitre beaucoup de références qui traitent du cas scalaire, alors que le cas par blocs est très peu étudié. La difficulté de ce problème explique le faible nombre d’études qui portent sur la résolution des systèmes TBT. L’étude des matrices TBT a commencé en même temps que l’étude des matrices de Toeplitz scalaires au début des années 80. Comme les applications conduisent à des matrices de grande taille, un al- gorithme de résolution rapide pour de telles matrices est crucial. La seule publication qui essaie de résoudre ce problème est [96]. Elle propose d’approcher l’inverse d’une matrice TBT par une somme de produits de Kronecker de matrices de type Toeplitz. Cet angle d’attaque est purement expérimental et, à ce jour, il n’existe pas de résultats théoriques décrivant un algorithme rapide de résolution pour des systèmes TBT généraux.
Les algorithmes utilisés pour le cas scalaire ne s’adaptent pas facilement au cas d’une matrice TBT. On peut prendre comme exemple la fameuse formule de Gohberg-Semencul, qui n’existe pas pour les matrices TBT.
Notons aussi que les méthodes itératives qui utilisent des préconditionneurs superli- néaire rencontrent plusieurs problèmes : premièrement en [116], les auteurs montrent que les préconditionneurs de type circulant ne sont pas superlinéaires, puis que de tels pré- conditionneurs ne peuvent pas appartenir à l’algèbredes matrices de Toeplitz symétriques par blocs de Toeplitz symétriques ni à l’algèbre des matrices circulantes par blocs cir- culants, [93]. Un résultat plus négatif est donné en [117]. Ces résultats indiquent que la construction de préconditionneurs efficaces n’est pas possible dans une classe encore plus vaste d’algèbres de matrices.
On remarquera, dans le chapitre 5, un comportement bizarre des matrices Toeplitz
bande par blocs Toeplitz bande, qu’on peut résumer ainsi : si on prend des matrices (pseudo-)aléatoires dans cette classe, une statistique expérimentale montre qu’elles sont mal conditionnées, et donc le système correspondant difficile à résoudre.
De là on pose la question : peut-on résoudre rapidement, en O(N logω
N ), un système à matrice de Toeplitz par blocs de Toeplitz, et en exploitant les deux structures en même temps ? Ici N × N est la taille de la matrice et ω ∈ R.
Avant de répondre à cette question, on étudiera le cas d’une matrice de Toeplitz par blocs dans la section suivante. Dans la troisième section on va essayer d’appliquer les techniques de la deuxième section aux matrices de Toeplitz par blocs de Toeplitz, et on étudiera les propriétés particulières aux matrices de Toeplitz par blocs de Toeplitz ainsi que leurs déplacements. Dans la dernière section, on étudiera quelques cas particuliers et on donnera quelques idées de résolutions.
Tout d’abord, donnons quelques définitions et rappelons brièvement la multiplication de Kronecker et quelques uns de ses propriétés.
Définition 4.1.1. On notera Pm,n, ou tout simplement P s’il y a pas de confusion, la
matrice de permutation suivante, de taille mn× mn :
P = E1 .. . Em avec Ek= eT k eT k+m .. . eT k+(n−1)m . (4.1)
Définition 4.1.2. Soient A et B deux matrices de terme général aij et bij, de taille m×n
et p× q respectivement. Le produit de Kronecker, A ⊗ B, de A par B est la matrice, de taille mp× nq, suivante : A⊗ B = a1,1B . . . a1,mB .. . . .. ... an,1B . . . an,mB
Proposition 4.1.3. Soient A, B, C et D quatre matrices. On a les propriétés suivantes : – Pour tout α dans K,
A⊗ (αB) = α(A ⊗ B) = (αA) ⊗ B. – Le produit de Kronecker est distributif par rapport à l’addition :
(A + B)⊗ C = (A ⊗ C) + (B ⊗ C), A⊗ (B + C) = (A ⊗ B) + (A ⊗ C). – Le produit de Kronecker est associatif :
(A⊗ B) ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C).
– La transposition est donnée par la formule ci-dessous. Remarquons la conservation de l’ordre :