Traitement : Classification des maximums de la carte de distance

Parmi les traitements possibles permettant de corriger en partie le problème de détection des faux-positifs, on peut s’intéresser à la carte de distance elle-même. Celle-ci véhicule des informations non seulement par ses maximums locaux, mais aussi par la forme des surfaces de niveau autour de tels maximums.

Dans le cas d’une sphère, les surfaces de niveau de la fonction de distance dessinent de la même manière des sphères concentriques alors que dans le cas de faux-positifs, les surfaces de niveau représentent des formes présentant des points de rebroussement issus des contacts entre les vraies structures de l’image (Figure 70).

Figure 70 : Exemple d’une propagation de rebroussement. Ici, la ligne de niveau 0 (noir) présente des points de rebroussement au contact entre les cercles, qui se propagent ensuite sur les lignes de niveau proches (ligne grise et

flèche rouge).

La différenciation entre les maximums associés à une sphère réelle et ceux engendrant des faux positifs peut donc se faire en observant les surfaces de niveau. On revient à un nouveau problème de détection de sphères, le principe du traitement

157 consistant alors à vérifier si les surfaces de niveau dessinent des sphères. On pourra tout de même, en passant à l’étude des surfaces de niveau, corriger certains problèmes rencontrés sur les images :

 Si 𝒮 est une structure sphérique incomplète telle qu’aucun de ses hémisphères ne soit vide, alors les surfaces de niveau proches des maximums locaux sont fermées. Ainsi, l’incomplétude problématique dans la détection directe des structures ne se pose plus ici (Figure 71), et il est possible d’être moins tolérant sur les sphères issues des surfaces de niveau que sur celles directement issues de l’image.

Figure 71 : Exemple de structure incomplète (en noir) et de ses lignes de niveaux (en pointillé). On constate qu’à partir d’une certaine valeur, les lignes de niveaux se ferment autour du centre de la structure (en rouge)

 Il est possible de choisir la valeur à partir de laquelle on construit les surfaces de niveau considérées. En particulier, on peut se fixer une valeur 𝜌 donnée, et, pour chaque maximum de l’image 𝑚, considérer la surface de niveau associée à la valeur 𝑚 − 𝜌. Ainsi, la valeur de la surface de niveau est choisie pour chaque maximum de manière à ce que la structure recherchée soit une sphère de rayon

158 𝜌 connue et fixé. On peut donc se restreindre à la recherche de sphères pour un unique rayon donné.

 Les surfaces de niveau proches des maximums ont tendance à régulariser les défauts dus aux incomplétudes et déformation (Figure 72). Pour une structure non sphérique, les surfaces de niveau vont tendre vers une sphère quand on s’approche d’un maximum local de la fonction de distance. Dans un ensemble discret, il est possible, si la structure n’est pas trop éloignée d’une sphère, que les surfaces de niveau les plus proches aient une discrétisation équivalente à celle d’une sphère de faible rayon, ce qui permet alors d’assimiler la structure originale à une sphère parfaite.

Figure 72 : Exemple de structure incomplète et de « régularisation » des lignes de niveau. Plus la ligne de niveau est proche du maximum de la fonction de distance, plus elle tend vers un cercle, comme on peut le voir avec les lignes de

niveaux rouge et verte.

Cependant, il est à noter que si les surfaces de niveau « régularisent » les sphères incomplètes ou déformées, elles font de même sur les structures engendrant des faux positifs (Figure 73). L’enjeu du traitement des maximums de la carte de distance est donc de séparer les structures suivant la similarité entre les surfaces de niveau et des sphères.

159 Figure 73 : Exemple de lignes de niveau dans le cas d’un ensemble de cercles pouvant entraîner la détection d’un faux

positif au milieu. On constate que plus on se rapproche du centre, plus la ligne de niveau tend vers un cercle. On est alors confronté à un problème de détection de structures sphériques plus ou moins déformées, mais complètes et de rayon constant et faible, et pour lesquelles on connaît déjà les centres possibles, qui sont les maximums locaux de la carte de distance. Pour vérifier un maximum local situé en 𝑥 et de valeur 𝑚, on calculera donc, en notant ℒ l’ensemble des points de la surface de niveau associée à la valeur 𝑚 − 𝜌 (avec 𝜌 une valeur choisie à l’avance, plus petite que le rayon minimale des sphères de l’image), le paramètre :

𝜎(𝑥, 𝑚) = ∑ 𝑑(𝑙, 𝒮(𝑥, 𝜌))²

𝑙∈ℒ

où 𝒮(𝑥, 𝜌) est la sphère de centre 𝑥 et de rayon 𝜌 et 𝑑 la fonction de distance euclidienne. On se fixera ensuite un seuil 𝜎₀, et un maximum de la carte de distance ne sera alors considéré comme un centre potentiel uniquement si

𝜎(𝑥, 𝑚) < 𝜎₀

Il est nécessaire de choisir 𝜎₀ de manière à ne pas éliminer de centres correspondant à des vraies sphères. Le choix de 𝜌 influe fortement celui de 𝜎₀. Dans les faits, les difficultés de détection ont lieu sur les grandes sphères, et les faux positifs sont plutôt des petites structures. Ainsi, le choix constant de 𝜌 fait que dans le cas général, les irrégularités ont « eu

160 le temps » d’être lissées sur les structures de grande taille et moins sur celles de petite taille. La méthode est donc utilisable dans un contexte réel.

Concernant la complexité, celle-ci est négligeable, étant donné que la carte de distance est déjà connue. Il suffit juste de déduire les lignes de niveaux et calculer ensuite le paramètre 𝜎. Ceci se fait donc en même complexité asymptotique que la détection de sphères, et s’intègre parfaitement à l’algorithme.