4.3.1 Induction des modules simples. . . 54
4.3.2 Restriction des modules simples . . . 55 4.4 Anneaux de Grothendieck . . . . 55
4.5 Catégorification . . . . 55
4.6 Tours d’algèbres au sens de Bergeron et Li. . . . 58
4.7 Tours de semi-treillis . . . . 58
4.7.1 Tour des permutoèdres . . . 59
4.7.2 Tour des treillis de Tamari . . . 62
4.7.3 Tour des treillis booléens . . . 65
4.8 Tours d’algèbres basiques . . . . 66 4.9 Non catégorification de PBT . . . . 67 4.9.1 Énoncé. . . 67 4.9.2 J -trivialité pour n ď 5 . . . 69 4.9.3 Exploration informatique. . . 71 4.10 Catégorifications de NCSF{QSym . . . . 76 4.10.1 Énoncé. . . 76 4.10.2 Démonstration . . . 77 4.10.3 Mncontient un quotient de Hnp0q . . . 81
4.1 Tours d’algèbres et de monoïdes
On trouve dans la littérature de nombreuses définitions de tours d’algèbres [BL09], [BHRZ06]. Les axiomes minimaux seraient de demander d’avoir une algèbre graduée, c’est à dire une algèbre A “ À
iě0Ai telle que pour tout i, j P N on ait AiAj Ă Ai`j. Cependant, nous voulons pouvoir étudier les représentations de A à partir des représentations des composantes graduées. Comme nous le verrons section4.6, Bergeron et Li donnent une axiomatique de tour d’algèbre dont les anneaux de caractères sont des algèbres de Hopf duales. Nous choisissons de donner ici une axiomatique faible qui permet néanmoins de définir l’anneau de Grothendieck K0pAq des A-modules projectifs finiment engendrés.
Définition 4.1. Une tour d’algèbres est une famille pAiqiPN d’algèbres associatives et de morphismes pρm,n: Amb An ãÑ Am`nqm,nPNtelle que
(i) A0»k,
(ii) pour tout i PN, Aiest de dimension finie,
(iii) les homomorphismes ρm,nsont injectifs et associatifs : pour tout k, l, m on a
ρk`l,m˝ pρk,lb ´q “ρk,l`m˝ p´ b ρl,mq, (iv) pour tout m, n PN, Am`n est un pAmb Anq-module projectif. Pour une tour d’algèbres pAiqi on note l’algèbre graduée A “ ÀiPNAi.
Définition 4.2. Une tour de monoïdes pMiqiPNest une famille de monoïdes dont les algèbres munies des plongements canoniques forment une tour.
Les relations de Green se transportent via les morphismes de plongements comme le montre le lemme suivant.
Lemme 4.3. Soit pMiqi une tour de monoïdes, x “ px1, x2q et y “ py1, y2q deux éléments du monoïde
produit pMmˆ Mnq et K P tR, L, J u une relation de Green. Si ρ est un morphisme de monoïdes Mmˆ MnÑ Mm`n, alors ρpx1, x2q ďKρpy1, y2q.
Démonstration. Considérons x et y comme dans l’énoncé avec x ďRy, il existe alors u P Mmˆ Mn tel que x “ yu. Comme ρ est un morphisme de monoïdes on a ρpxq “ ρpyqρpuq et ρpxq ďRρpyq.
La tour des groupes symétriques
Les algèbres des groupes symétriques forment une tour satisfaisant la définition4.1. Il nous faut définir les morphismes de plongement ρm,n. Posons comme produit extérieur
ρm,n: "
Smb Sn ÝÑ Sm`n
σ b µ ÞÝÑ σs¨µ.
On vérifie facilement que les hypothèses de la définition4.2sont respectées, faisant de la tour des groupes symétriques une tour de monoïdes.
Exemple 4.4. ρ3,4pr3, 1, 2s, r4, 1, 3, 2sq “ r3, 1, 2, 8, 5, 7, 6s P S7
4.2 Induction et restriction des représentations
Grâce à la graduation des tours d’algèbres, nous pouvons étudier de quelle façon les représentations dans une composante donnée peuvent s’induire dans des composantes plus hautes, ou se restreindre dans des composantes inférieures. L’induction et la restriction sont des outils fondamentaux de la théorie des représentations et on été défini de façon très générale précédemment (voir définitions2.43et 2.44).
Originellement l’induction a été étudiée dans le cas des groupes finis. Soit G un groupe fini et H un sous-groupe. Si χ est le caractère d’une représentation de G et ψ le caractère d’une représentation de H, on a alors la réciprocité de Frobenius:
xIndpψq, χy “xψ, Respχqy,
où x´, ´y est le produit scalaire usuel sur l’anneau des caractères d’un groupe fini G (voir section 3.2). L’induction joue un rôle majeur dans la théorie des représentations des groupes finis.
Dans le cas des monoïdesJ -triviaux, la rigidité de la structure nous permet de formuler des énoncés
généraux pour le calcul des anneaux de Grothendieck associés. La description des groupes de Grothendieck a été donnée section3.7.
Disposer d’une tour de monoïdes nous permet, à partir de représentations de Mmet Mn, de construire la représentation induite dans Mm`n.
Définition 4.5. Soient V un Am-module, U un An-module, on note UbV le Ap m`n-module IndAm`n
AmbAnV .
Nous allons régulièrement utiliser le lemme suivant qui semble faire partie du folklore de la combina-toire algébrique, bien que je n’ai pas trouvé de référence. La preuve fournie ici est personnelle.
Lemme 4.6. Soit B Ď A deuxk-algèbres, f P B un idempotent et U Ď fB un B-module à droite. Nous
avons l’isomorphisme de A-module suivant :
IndABpf Bq{U » pf Aq{pU Aq .
Démonstration. Nous définissons tout d’abord l’isomorphisme : µ :
"
f B bBA ÝÑ f A f b bBa ÞÝÑ f ba
d’inverse x ÞÝÑ f bBx. En particulier la restriction ˜µ “ µ|U bBA est un épimorphisme de A-modules à droite de U bBA dans U A.
La suite exacte
0 U f B f B{U 0
U bBA f B bBA pf B{U q bBA 0
0 U A f A f A{U A 0
˜
µ µ w
Il existe un unique morphisme w de A-module à droite tel que le carré droit commute, surjectif par surjectivité de µ. Par application du lemme du serpent, il existe une suite exacte
ker µ ker w coker ˜µ coker µ . (4.1) Comme µ est un isomorphisme, ker µ “ coker µ “ 0 ce qui implique que la flèche centrale de4.1 est un isomorphisme. La surjectivité de ˜µ assure que coker ˜µ “ 0, donc ker w “ 0 et w est un isomorphisme de A-modules à droite.
Le lemme précédent permet de construire l’induit des modules de Schützenberger dans une tour de monoïdes. Considérons en effet deux modules de Schützenberger Reet Rf avec e P Mm et f P Mn donc en particulier Re» eMm{Răpeq et Rf » f Mn{Răpf q. Le pAmb Anq-module Reb Rf s’écrit
pe b f qpAmb AnqMRăpeq bRăpf q. Le lemme4.6donne directement la formule d’induction suivante :
Théorème 4.7. Soient e et f des idempotents d’un monoïde M ; on a
IndAm`n
AmbAnReb Rf » ρm,npe b f qAm`n M
ρm,npRăpeq bRăpf qqAm`n.
4.3 Tours de monoïdes J -triviaux
Dans cette section, nous nous restreignons aux tours de monoïdes J -triviaux. Dans ce cas, l’étude
des représentations composante par composante est essentiellement combinatoire comme l’ont remar-qué [DHST11]. Il s’avère que l’on peut également donner des règles combinatoires d’induction et de restriction.
4.3.1 Induction des modules simples
Rappelons que dans le cas d’un monoïde J -trivial M, les modules de Schützenberger des J -classes
régulières forment une collection complète de kM-modules simples. Le théorème 4.7 donne alors une construction combinatoire de l’induction de deux M -modules simples.
Soient e P Mm, f P Mnet ef “ ρpebf q vus comme éléments de Mm`n, définissons l’ensemble Xpe, f q des éléments de pef qMm`n qui ne sont pas image par ρ de px b yq avec x PRăpeq et y PRăpf q; c’est à dire Xpe, f q “ pef qMm`n M ď e1PeM,f1Pf M pe1,f1q‰pe,f q e1f1Mm`n. (4.2)
Théorème 4.8. Soit pMiqi une tour de monoïdesJ -triviaux et pAiq lesk-algèbres associées. L’induction
de deux modules simples Se et Sf est alors donnée par :
IndAm`n
AmbAnSeb Sf “ ÿ xPXpe,f q
Slfixpxq. Démonstration. Une application directe du théorème4.7donne que :
IndAm`n
AmbAnSeb Sf “ ÿ xPXpe,f q
Sx.
4.3.2 Restriction des modules simples
Intéressons nous maintenant à la restriction d’un kMm`n-module simple Se. Comme ce dernier est d’apex J peq, tous les éléments qui ne sont pas plus grands que e dans le J -ordre agissent par 0 sur Se. En particulier, après restriction de l’action, les éléments dekMmbkMnqui annihilent Sesont ceux dont l’image par ρ est dans l’annihilateur de Se.
Théorème 4.9. Soit pAiq “ pkMiq une tour de monoïdes J -triviaux. Soit x P Mm`n et Sx le Am`n -module simple associé ; alors
ResAm`n
AmbAnSx“ Se où e “ min
J te P Mmˆ Mn: ρm,npeq P EpMm`nq et ρm,npeqx “ xu.
Démonstration. Comme la tour pAiq est une tour de monoïdesJ -triviaux, Sxest un module de dimension 1 et sa restriction à Amb Anest simple car de dimension 1. En particulier par le théorème3.13, le module restreint a pour apexJ peq. La plus petite J -classe qui n’annihile par Res Sx contient tous les éléments te P Mmˆ Mn : ρm,npeq P EpMm`nq et ρm,npeqx “ xu. L’existence de l’apex pour tout module simple permet de conclure.