Nous aimerions comprendre ici, comme nous l’avons fait au Chapitre I, comment appa-raissent les ´eventuelles singularit´es sur la zone de contact entre la plaque et l’obstacle. Il s’av`ere que cette question est tr`es difficile est largement ouverte, alors nous nous bornons `a ´
enoncer quelques propositions et commentaires, qui nous serviront par la suite.
Comme pour le cas du probl`eme d’obstacle (2.2), aucune r´egularit´e ne peut ˆetre esp´er´ee en g´en´eral sur la fronti`ere libre ∂I. Avec le mˆeme type d’arguments que ceux pr´esent´es au Chapitre II, on peut montrer que la zone de contact peut-ˆetre ´egale `a n’importe quel compact de R2! Aussi une hypoth`ese minimale pour esp´erer de la r´egularit´e sur ∂I est la suivante :
Hypoth`ese de non-d´eg´en´erescence :∆2ψ − F > δ0 > 0. (3.27)
Remarque 3.4.1 Sous la condition ψ ∈ C4(Ω), ou plus faiblement ψ ∈ H4(Ω), l’ensemble de co¨ıncidence n’a pas de points int´erieurs si ∆2ψ − F < 0. En effet, sinon d’une part ∆2U − ∆2ψ < 0 sur un ouvert et d’autre part ∆2U ≥ F ≥ 0 sur Ω, ce qui est absurde.
3.4.1 Connexit´e de N
Nous pr´esentons une variante d’un th´eor`eme de [30], qui nous permettra dans la suite d’illustrer le comportement de la zone de contact sous un chargement variable.
Th´eor`eme 3.4.1 Soient Ω un domaine born´e du plan `a bord C2,α, ψ ∈ C4(Ω), et F ∈ L2(Ω). Soit U la solution de (3.2), avec U > ψ sur ∂Ω. Alors sous l’hypoth`ese
∆2ψ − F ≥ 0 sur Ω
l’ensemble N := {U > ψ} est un ouvert connexe.
4
i.e. I(F ) =
◦
Corollaire 3.4.1 Il en d´ecoule que les composantes connexes de I sont simplement connexes.
Preuve Le Th´eor`eme ci-dessus est une cons´equence directe du Lemme suivant : Lemme 3.4.1 Soit K une composante connexe de N . Alors ∂K ∩ ∂Ω 6= ∅.
En effet de la continuit´e de U et puisque U > ψ sur ∂Ω, N contient un Ω-voisinage du bord ∂Ω ; grˆace au Lemme (3.4.1), les bords des composantes connexes de N intersectent le connexe ∂Ω, d’o`u le r´esultat.
Preuve du Lemme 3.4.1 Suppposons par l’absurde qu’il soit faux. Dans ce cas les points de ∂K appartiennent au support de µ(F ). Or nous savons, grˆace au th´eor`eme3.2.2, que sur supp(µ(F )), ∆U ≥ ∆ψ, du coup
∆U ≥ ∆ψ sur ∂K. Comme nous avons ´egalement
∆(∆U − ∆ψ) = F − ∆2ψ ≤ 0 sur K,
nous pouvons en d´eduire, par le th´eor`eme 3.2.4 que U ∈ C2(Ω) et par le principe du maxi-mum, que
∆U ≥ ∆ψ sur K.
C’est `a dire ∆(U − ψ) ≥ 0 sur K et puisque U − ψ = 0 sur K, par le principe du maximum il vient U − ψ ≤ 0 sur K, ce qui est absurde et d´emontre le Lemme 3.4.1.
3.4.2 Sur la g´eom´etrie de la fronti`ere libre
Rappelons que d’apr`es le Th´eor`eme 3.2.2, pour tout point Xo∈ ∂I, ∆U (Xo) ≥ ∆ψ(Xo). Le Th´eor`eme suivant affirme que lorsque la courbure de la plaque et de l’obstacle sont diff´erentes cela interdit « la d´eg´en´erescence » des parties d’int´erieur vide de la zone de contact.
Th´eor`eme 3.4.2 [30] Soient Ω un domaine born´e du plan `a bord C2,α, ψ ∈ C4(Ω), et F ∈ L2(Ω). Soit U la solution de (3.2). Supposons que pour un point Xo ∈ ∂I de la fronti`ere libre on ait :
∆U (Xo) > ∆ψ(Xo) (3.28)
Alors il existe un voisinage V(Xo) du point Xo tel que ∂I(F ) ∩ V(Xo) soit contenu dans une courbe de classe C1.
Id´ee de la Preuve : Nous r´esumons la preuve de L. Caffarelli et A. Friedman [30]. Quitte `a effectuer un changement de variables, nous pouvons poser F = 0. Choisissons un ouvert V(Xo) = V tel que Xo∈ ∂I ∩ V, ∆U > ∆ψ sur V .
• On montre que Xo ne peut ˆetre approch´e sur le bord libre que suivant une seule di-rection ξ(Xo) = ξo(i.e une seule direction tangente `a l’ordre 2).
En effet s’il en existe deux ξ, ξ0 alors
∂ξ2(U − ψ) = 0, ∂ξ20(U − ψ) = 0 en Xo.
Or U − ψ ≥ 0 et (U − ψ)(Xo) = 0, ∇(U − ψ) = 0 il vient que ∂2
ξ00(U − ψ) = 0 pour tout vecteur ξ00. Et donc en particulier ∆(U − ψ)(Xo) = 0, ce qui est absurde.
• Posons Xo = (0, 0) et ξo = l’axe y. Pour tout vecteur α tel que |α| soit assez petite, on montre que la ligne y = α intersecte ∂I ∩ V en au plus un point. Ce qui assure que ∂I ∩ V est un graphe x = φ(y) avec y ∈] − |α|, |α|[.
• De la continuit´e uniforme de U sur tout compact de Ω, et de la d´efinition de ξo, on d´eduit que φ est une fonction lipschtzienne.
• Enfin on partitionne ] − |α|, |α|[ en m intervalles qui contiennent chacun un point de ∂I ∩V, si de tels points existent. Nous pouvons ainsi connecter deux points adjacents X1, X2
par un arc de parabole C1, tel que les tangentes en X1, X2 coincident avec ξ(X1), ξ(X2), respectivement. D´esignons cette courbe par φm : x 7→ φm(y). En appliquant le Th´eor`eme d’Arz´ela-Ascoli `a la famille (φm)m, il d´ecoule que φ peut ˆetre ´etendue en une fonction φ ∈ C1. Ce qui termine la preuve.
La tranformation de L’hodographe, pr´esent´ee au Chapitre II, peut ˆetre ´ecrite (modulo cer-taines restrictions) pour un point de la fronti`ere libre de (3.2). C’est ce qu’illustre le Th´eor`eme de r´egularit´e ci-dessous, prouv´e dans [82] (Theorem 5.4. page 208-212), `a l’aide de la d´efinition suivante.
D´efinition 3.4.1 Soit I la zone de contact du probl`eme (3.2).Un point Xo ∈ I est Ck -r´egulier, si la fronti`ere libre est localement le graphe d’une fonction χ de classe Ck, avec k ≥ 1 :
∂I ∩ B(Xo, r) = {X = (x1, x2) ∈ Ω / x2 = χ(x1)}. Un point est dit singulier s’il n’est pas r´egulier.
Th´eor`eme 3.4.3 Soit Ω est domaine born´e du plan avec ∂Ω de classe C∞, ψ ∈ C∞(Ω) et ψ < 0 = G sur ∂Ω. Soit U une solution du probl`eme (3.2) avec F ∈ C∞ dans un voisinage B(Xo, r), d’un point r´egulier (au sens de la d´efinition 3.4.1) Xo de la fronti`ere libre, avec U ∈ C4(B(Xo, r)). Supposons ´egalement que
DU = 0, D2U = 0 sur ∂I(F ) ∩ B(Xo, r), et ∂
3U
∂n3(Xo) > 0 alors dans le voisinage B(Xo, r) la fronti`ere libre est de classe C∞.
Remarque 3.4.2 Avec ce th´eor`eme il apparaˆıt que, en dehors des points singuliers, plus r´eguli`eres sont les donn´ees plus r´eguli`ere est la fronti`ere libre bordant les parties d’int´erieur non-vide de I(F ). Pr´ecisons que l’hypoth`ese ∂∂n3U3(Xo) > 0 traduit le d´ecollement franc de la
plaque au voisinage du point Xo. Elle peut-ˆetre assur´ee d`es que nous supposons l’hypoth`ese de non-d´eg´en´er´escence
∆2ψ − F ≥ δ0 > 0, ∂n4ψ − F ≥ δ1 > 0 sur B(Xo, r). Nous montrerons ce dernier point plus loin (c.f. Th´eor`eme 3.6.4).
Enfin L. Caffarelli et A. Friedman ont ´etabli dans [30], que si l’hypoth`ese (3.27) est viol´ee en un point de la fronti`ere libre bordant une partie d’int´erieur non-vide de I(F ) celui-ci est singulier.
Th´eor`eme 3.4.4 Soient Ω un domaine born´e du plan `a bord C2,α, ψ ∈ C4(Ω), et ˆU une solution du probl`eme (3.4) Soit Xo ∈ ∂I, avec ∆ ˆψ(Xo) < 0. Supposons que ∆( ˆU − ˆψ) = 0 sur ∂I ∩ V(Xo), o`u V(Xo) est un voisinage du point Xo. Soit No une composante connexe de N := { ˆU > ˆψ} et soit C1 et C2 deux courbes de ∂No qui se coupent en Xo, faisant un angle θo en Xo. Alors θo ≥ π
2.
Remarque 3.4.3 L’absence de principe du maximum ne nous a pas permis d’´etudier plus avant la g´eom´etrie de la fronti`ere libre de (3.2). Cependant les observations ci-dessous nous ont conduit `a formuler dans [104] la conjecture suivante :
Dans probl`eme de l’obstacle pour une plaque lin´eaire encastr´ee en flexion (3.2), la fronti`ere libre bordant une partie d’int´erieur non-vide de I(F ) est localement de mesure de Haussdorff finie si la condition de non-d´eg´en´erescence : ∆2ψ − F ≥ δ0 > 0 sur I(F ), pour ψ, F et Ω suffisamment r´eguliers.
D’autre part, nous savons que l’hypoth`ese ∆U > ∆ψ en les points de la fronti`ere bordant les parties d’int´erieur vide, assure bien que la fronti`ere libre est « localement non-fractale ». Des discussions avec R. Monneau s’est d´egag´e que l’extension de la notion de blow-up (vue au Chapitre I) au probl`eme (3.27) n’est pas imm´ediate, mais est n´ecessaire pour pouvoir ´
etablir une formule de monotonie dans l’esprit de celles donn´ees par G. Weiss. La condition de d´ecollement franc semble jouer un rˆole capital dans la possibilit´e de pouvoir ´etablir un crit`ere d’extr`eme finesse comme celui donn´e au Th´eor`eme (2.5.7).