Como enfatizamos anteriormente, o uso de modelos para o tratamento das curvas de luz dispon´ıveis na literatura assumem preponderantemente a existˆencia apenas de ru´ıdo Gaussiano nas curvas de luz (Aigrain et al., 2016). O uso desse tipo de ru´ıdo se justifica, em parte, porque simplifica o tratamento matem´atico realizado.
Os ingredientes nas simula¸c˜oes s˜ao, aparentemente, justific´aveis: a abundˆancia de J´upiters quentes ´e relativamente bem conhecida e a partir de pesquisas de velocidade radial, s˜ao obtidas as estat´ısticas de alvos com base nos modelos bem testados de po- pula¸c˜oes estelares gal´acticas e o resto vem da mecˆanica orbital simples (Pont et al., 2006). A defini¸c˜ao do limiar de detec¸c˜ao de trˆansito ´e muitas vezes considerado um componente
Se¸c˜ao 5.1. Trˆansito planet´ario inserido no ru´ıdo 75
menos importante nas simula¸c˜oes. Como destacado por Pont et al. (2006), tal limiar ´e ge- ralmente modelado como uma propor¸c˜ao m´ınima da rela¸c˜ao sinal-ru´ıdo (S/N ) da detec¸c˜ao do trˆansito planet´ario assumindo-se ru´ıdo n˜ao-correlacionado na fotom´etria dos dados (ver Figura 5.4).
Figura 5.4: Pequeno trecho de curva de luz. Fonte: Pont, 2006, p. 2.
No entanto, mais recentemente, e contrariamente a esses presupostos, Carter e Winn (2009) prop˜oem um m´etodo cuja modelagem do trˆansito planet´ario inclui a presen¸ca n˜ao apenas de ru´ıdo branco mas tamb´em a de uma componente de ru´ıdo correlacionado para a estima¸c˜ao do tempo m´edio do trˆansito. Nesse sentido, geraram uma s´erie temporal composta de uma componente de ru´ıdo branco e outra de ru´ıdo flicker. Depois disso, incluiram um trˆansito planet´ario simulado. A Figura 5.5 mostra esse procedimento.
76 Cap´ıtulo 5. Testes, resultados e discuss˜oes
Figura 5.5: Constru¸c˜ao de uma curva de luz de um trˆansito planet´ario simulada com ru´ıdo correlacionado (painel inferior). O ru´ıdo total ´e a soma de uma componente Gaussiana (painel superior esquerdo) com uma outra do tipo 1/fγ com γ = 1 (painel superior direito). Ao ru´ıdo total (painel central esquerdo),
´
e adicionado um modelo idealizado de trˆansito planet´ario (painel central direito). Fonte: Carter e Winn (2009), pg. 8.
Conhecendo o valor a priori imposto ao expoente de Hurst para o ru´ıdo, podemos estu- dar como o trˆansito altera esse parˆamentro. Dessa forma, geramos primeiramente o ru´ıdo Gaussiano do tipo ωt ∼ N (0, σω2). Esse ru´ıdo consiste na sele¸c˜ao, usando um simulador de
n´umeros aleat´orios, de 4170 vari´aveis aleat´orias independentes, com m´edia zero e variˆancia 0.4. Nosso simulador n˜ao se limita a nenhuma quantidade de pontos espec´ıfica, a escolha de 4170 foi feita baseando-se na quantidade m´edia de pontos de uma curva de luz feita pela miss˜ao CoRoT. A variˆancia tamb´em pode ser escolhida sem restrin¸c˜ao, e escolhemos ser 0.4 pelo mesmo motido da escolha da quantidade de pontos. O trˆansito planet´ario st, por sua vez, trata-se de um sinal peri´odico semelhante a uma curva de luz com dados
igualmente espa¸cados.
Se¸c˜ao 5.1. Trˆansito planet´ario inserido no ru´ıdo 77
selecionamos uma sequˆencia de 34 n´umeros que v˜ao de 400.0 at´e 409.9 igualmente espa¸cados respeitando uma cadˆencia de 0.3. Portanto, temos como primeiro valor dessa sequˆencia o n´umero 400.0 seguido por 400.3, 400.6,..., 409.9. Ap´os a sele¸c˜ao desses n´umeros, geramos uma sequˆencia num´erica contendo o n´umero 1 quatrocentas vezes, 11, 12, ..., 1400 os quais
representam o fluxo de luz proveniente da estrela hospedeira quando n˜ao est´a ocorrendo o trˆansito planet´ario, momento anterior a posi¸c˜ao 1 e posterior a posi¸c˜ao 4 indicados na Figura 5.2. O passo seguinte consiste na elabora¸c˜ao de uma fun¸c˜ao quadr´atica para repre- sentar a queda do fluxo no momento do trˆansito planet´ario, representado pelo intervalo de tempo que vai do momento imediatamente posterior ao 1 e imediatamente anterior ao 4, ambos tamb´em indicados na Figura 5.2.
Essa fun¸c˜ao quadr´atica foi elaborada de forma a apresentar caracter´ısticas visuais se- melhantes `as apresentadas pelas curvas de luz dos dados p´ublicos da miss˜ao CoRoT. Com esse objetivo, ent˜ao, obtivemos a seguinte express˜ao:
f (n2) = 3 25(n2)
2− 486
5 (n2) + 19681 (5.7)
Sendo que n2 representa a sequˆencia dos 34 n´umeros compostos por 400.0, 400.3, ... , 409.9 citados anteriormente. Subsequˆentemente, concatenamos a fun¸c˜ao quadr´atica elabo- rada `a sequˆencia formada pelos quatrocentos valores unit´arios de forma a construirmos um sinal peri´odico que se assemelha ao apresentado na Figura 5.4 por´em muito mais realista na medida que se assemelha muito mais aos trˆansitos planet´arios reais estudados pela miss˜ao CoRoT. A Figura 5.6 (gr´afico da direita) mostra o nosso trˆansito simulado.
Figura 5.6: Ru´ıdo Gaussiano e trˆansito planet´ario, respectivamente.
78 Cap´ıtulo 5. Testes, resultados e discuss˜oes
ples usado para estudar esse fenˆomeno. Se considerarmos X(t) como sendo nosso sinal total, ru´ıdo mais trˆansito, teremos como resultado a curva de luz sint´etica apresentada na Figura 5.7:
X(t) = st+ ωt (5.8)
Figura 5.7: Ru´ıdo Gaussiano e trˆansito planet´ario juntos.
Para avaliar o efeito do ru´ıdo Gaussiano no trˆansito planet´ario, consideremos um con- junto de N medidas do fluxo fotom´etrico fi de uma estrela hospedeira, com incerteza σi.
Esse tratamento est´a baseado em Pont et al. (2006).
Supomos o fluxo normalizado de tal forma que sua m´edia, enquanto n˜ao h´a trˆansito ´e 1, ou seja, < fout
i >= 1. Sendo fiout o fluxo fora do trˆansito, do inglˆes “out”, significando
“f ora”.
Por simplicidade assumimos, primeiramente, que as incertezas nas medidas s˜ao iguais para todos os pontos, isto ´e, σi = σ0. Seja, portanto, d a profundidade do trˆansito e n
o n´umero de pontos do trˆansito. Ent˜ao, d ser´a a diferen¸ca entre a m´edia das medidas no momento do trˆansito e a intensidade do fluxo fora do trˆansito. Ou seja,
d = 1 −fiin = 1 − P f
in i
n . (5.9)
Denotamos fin
i para indicar o fluxo na ocorrˆencia do trˆansito. A incerteza em d ´e o
erro na m´edia para fin
Se¸c˜ao 5.1. Trˆansito planet´ario inserido no ru´ıdo 79
fi do trˆansito planet´ario, podemos desprezar o erro em fiout. Usando a express˜ao para a
incerteza sobre a m´edia no ru´ıdo Gaussiano considerado, temos:
σd= σ(fiin ) =
σ0
√
n. (5.10)
A incerteza sobre d diminui, portanto, com a ra´ız quadrada do n´umero N de pontos no tempo do trˆansito. Podemos interpretar d como o sinal que estamos interessados em detectar no trˆansito e σd como o ru´ıdo que perturba a detec¸c˜ao. Assim, uma t´ecnica para
determinarmos a significˆancia da detec¸c˜ao do trˆansito consiste na raz˜ao S/R para d, com a qual podemos escrever Sd como:
Sd= d σd = d σ0 √ n. (5.11)
Essa express˜ao pode ser utilizada para avaliar a significˆancia das detec¸c˜oes em trˆansitos planet´arios, bem como para prever limiares de detec¸c˜ao das caracter´ısticas dos observ´aveis. A simplicidade do processo descrito anteriormente revela o motivo da grande quantidade de trabalhos presentes na literatura usando apenas ru´ıdo branco. No entanto, como j´a alertamos, os erros na fotometria - tanto em pesquisas realizadas com telesc´opios terrestres quanto como levantamentos usando telesc´opios no espa¸co - est˜ao correlacionados.
Todos esses efeitos acabam introduzindo alguma covariˆancia entre os pontos dos da- dos da curva de luz com per´ıodos semelhantes ao que poderiamos esperar de um trˆansito planet´ario. Dessa forma, um modelo usando tamb´em uma componente de ru´ıdo correlaci- onado se faz crucial. Com esse objetivo, criamos 900 s´eries temporais diferentes, cada uma contendo um tipo de ru´ıdo puro. As s´eries foram criadas usando o nosso simulador RAFH. S˜ao 100 s´eries possuindo H = 0.1, 100 com H = 0.2 e assim sucessivamente at´e H = 0.9.
Apresentamos, na Figura 5.8, seis s´eries temporais contendo diferentes tipos de ru´ıdo e, em cada um deles, um trˆansito planet´ario. Estamos indicando T P como trˆansito planet´ario.
80 Cap´ıtulo 5. Testes, resultados e discuss˜oes
Figura 5.8: Altera¸c˜ao da configura¸c˜ao geom´etrica do trˆansito planet´ario por ru´ıdos com diferentes valores de H.