A maioria dos modelos de manutenabilidade, que provêem a substituição de uma unidade, pressupõe que os artigos de substituição são retirados de um estoque infinito. Porém, para alguns modelos, este estoque não é infinito, o que toma sua administração uma variável de controle.
Há muitos artigos sobre inventário que tratam dos problemas de reabastecimento de estoques para equipamento que falha aleatoriamente: FALKNER (1969), PRAWDA e WRIGHT (1972), SHERBROOKE (1968,1971), SOBEL (1967), PORTEUS e LANSDOWNE (1974), SILVER (1972), MILLER (1973), MOORE, et al. (1970), DEMMY (1974), e DRINKWATER e HASTINGS (1967). Estes textos não consideram problemas cujas decisões devam ser tomada para consertar, substituir ou inspecionar a(s) unidade(s). Eles partem do princípio de que, uma vez que a unidade falhou, deve ser consertada ou substituída e o processo de decisão é quanto ao inventário para estocar aquela unidade inicialmente, independentemente de uma política periódica ou contígua.
Especificando: PRAWDA e WRIGHT (1972) examinam um sistema no qual podem haver muitas unidades idênticas em operação. Estas unidades falham em um de dois modos. A unidade falha e é reparável, com a distribuição de probabilidade Fi (•), ou não reparável, com distribuição de probabilidade 5R,.(•), em período i — Unidades reparáveis são facilmente consertadas e, após N período, são renovadas e retomam para o inventario. São descartadas as unidades não reparáveis. Se o inventário disponível é insuficiente para suprir todas as necessidades de substituição, estas necessidades são acumuladas até o inventário estar disponível. Um pedido para a aquisição de unidades novas deve ser feito no começo de cada período e a entrega é efetuada X períodos depois. Os autores consideram dois problemas:
quanto solicitar a cada período, objetivando minimizar os custos totais previstos, a serem descontados e minimizar o custo médio, previsto a longo prazo por unidade de tempo. Nesse modelo há quatro custos: pedido, seguro, escassez e salvamento. Partindo do trabalho de VEINOTT (1965), sobre a teoria de inventário, PRAWDA e WRIGHT mostram que para um custo de pedido c, por unidade a política ótima é um único número crítico estacionário em cada período. Ou seja: em um período t e antes do pedido neste período se o estado do sistema, determinado pelo estoque disponível, em conserto, é denotado por xt, então há um número y tal que
s e x ; <j; pedir y - x i (2.12)
caso contrário a orientação é não pedir. Eles também consideram o caso onde há um custo de instalação K toda vez que uma ordem é colocada e fornecem resultados em quantidades ótimas de ordem (pedido).
Tomando uma aproximação diferente, SHERBROOKE (1968,1971) considera o problema de determinar os níveis de estoque em cada escalão de um sistema de inventário multiunidade, multiescalão de unidades reparáveis. A idéia é que, em vários locais j = 1 ,...,/, há unidades reparáveis do tipos i = 1 , em uso e em inventário, y,, e há uma facilidade central, 0, que mantém um inventário, buffer (área para reduzir o risco), y®, para uso nos locais quando necessário. Cada local, inclusive a facilidade central, tem capacidades de conserto. O problema é determinar o y v para /' = 1,...,/ e j = 1,..., J que minimiza o número esperado total de unidades de reserva, em algum ponto do tempo, sujeito a restrições orçamentárias em custos de conserto e custos operacionais. As falhas de unidades são independentes e identicamente distribuídas pelos diferentes tipos de unidade, de acordo com a distribuição Poisson. Não há nenhuma transição entre locais 1,— T e as decisões de conserto não são explicitamente especificadas no modelo, só implicitamente, através da taxa de falha, com a distribuição Poisson. Também é assumido que há um número infinito de atividades de conserto, de forma que os tempos de conserto são independentes do número de unidades que são consertadas. SHERBROOKE mostra que a compreensão generalizada do multiplicador Lagrange pode ser usada para obter soluções próximas de um nível ótimo para o problema
PORTEUS e LANSDOWNE (1974) consideram o mesmo modelo, usando o algoritmo generalizado do multiplicador Lagrange, eles obtêm as quantidades de reposição de estoque e
tempos médios de conserto que minimizam o custo médio, a longo prazo, por unidade de tempo ou o custo total descontado, a longo prazo.
Em um artigo afim, também respaldado no trabalho de SHERBROOKE, SILVER (1972) determina os níveis de inventário, .y,, para subconjutos reparáveis (z = 1,...,/) de um conjunto principal. No processo de falha, com a distribuição Poisson, para cada subconjunto, a falha de um único subconjunto toma inoperante toda a unidade. Neste caso é assumida a canibalização do conjunto principal, que espera conserto. Sob a suposição adicional que não há nenhum inventário do conjunto principal (isto é, yo = 0), SILVER mostra que o problema de otimização inteira é separável e facilmente solucionável. Quando yo > 0, ele indica um algoritmo próximo do ótimo para obter y t paraz = 1,...,/.
Partindo de perspectivas diferentes, DERMAN e LIEBERMAN (1967) concordam quanto aos problemas de substituição e de estocagem. São feitas inspeções em todos os períodos de tempo. O estoque inicial de N unidades idênticas está disponível. Ao término de cada período é tomada a decisão de substituir, ou não, a unidade em operação. Se a opção for pela substituição a unidade nova trabalha em um nível s com probabilidade f s e continua operando no mesmo nível, até a falha ou a substituição. Seu ciclo da vida é uma variável aleatória, com uma distribuição geométrica Se, ao término do período, a unidade falhou em serviço, é substituída, partindo do princípio que ainda há unidades em estoque. Em caso contrário, o sistema é rebaixado para um período de tempo, enquanto N unidades são reordenadas ou solicitadas.
O espaço de estados é descrito por {(n,s) :n = s = l,2 ,...} u { 0 } , onde n denota um
número idêntico de unidades disponíveis, inclusive aquelas em serviço, e s denota o nível de desempenho da unidade em serviço. Os níveis de serviço são numeráveis. O elemento 0 denota nenhuma unidade em estoque. As ações disponíveis são {1, 2}, onde 1 denota nenhuma substituição e 2 denota substituição.
Usando as probabilidades de transição e as funções do custo dadas por
g 2(0) = C
onde gj (n, s) é não decrescente em s para cada n fixo, DERMAN e LIEBERMAN mostram que paraN fixo, existe uma sucessão de números s},s2,...,sN tais que a solução ótima para minimizar o custo médio esperado por unidade de tempo é uma política estacionária da forma
Quanto às suposições adicionais nas funções de custo, para determinar o N ótimo, só um número finito de possíveis escolhas para N precisa ser investigado.
Este modelo interligado de manutenção-inventário é generalizado por ROSS (1969). Ele estabelece políticas ótimas, de forma semelhante a DERMAN e LIEBERMAN.