Le probl`eme de la g´en´eralisation des structures diatoniques traditionnelles (gammes ma-jeures et mineures dans un syst`eme temp´er´e `a douze degr´es) a ´et´e envisag´e `a travers deux approches diff´erentes : une approche de type g´eom´etrique et une deuxi`eme bas´ee
transform´ee de Fourier discr`ete, en utilisant la propri´et´e que nous avons rappel´e pr´ec´edemment concernant l’´equivalence entre contenu intervallique et produit de convolution de fonctions caract´eristiques d’ensembles.
sur l’utilisation de la transform´ee de Fourier discr`ete. La premi`ere approche a ´et´e sollicit´e par le musicien de jazz, Pierre Aud´etat, dans le cadre d’une collaboration entre l’´equipe Repr´esentations Musicales de l’Ircam et le Conservatoire de musique de Lausanne. Le point de d´epart est la≪cloche diatonique≫, une nouvelle repr´esentation g´eom´etrique des gammes de 7 notes propos´ee par Aud´etat en s’appuyant sur ses techniques d’improvisa-tion. Dans ce mod`ele les 66 gammes heptatoniques et les 462 modes qui leur sont associ´es sont dispos´es autour de la note r´e comme centre de sym´etrie en donnant lieu `a un espace g´eom´etrique `a forme de cloche (Fig. 1.21).
Figure 1.21 – Pierre Aud´etat. Dans son mod`ele originel de la cloche diatoniquec (Aud´etat 2006), chaque cellule repr´esente une note et le mode de la gamme qui a cette note comme point de d´epart. Chaque colonne contient une orbite par rapport `a l’action du groupe di´edral correspondante soit `a une gamme sym´etrique par inversion (cellule noire) ou bien `a un couple de gammes en rapport d’inversion l’une par rapport `a l’autre (respective-ment cellules grises et cellules grises avec un point au milieu). Le nombre d’alt´erations (di`eses et b´emols) augmente en passant de la gamme diatonique (premi`ere colonne `a gauche) `a celle chromatique (derni`ere `a droite). L’axe de sym´etrie horizontal de la cloche diatonique est constitu´e par la note r´e. L’axe vertical dispose les notes `a intervalles de quintes ascendantes et descendantes.
A la suite d’une ´etude syst´ematique du caract`ere diatonique des 66 gammes heptatoniques r´ealis´e par Julien Junod dans le cadre de son stage de Master ATIAM (Junod 2008), un mod`ele informatique de la cloche diatonque a ´et´e propos´e et int´egr´e en OpenMusic en
g´en´eralisant le cas des gammes heptatoniques dans le syst`eme temp´er´e traditionnel `a celui des gammes de cardinalit´e k dans une division de l’octave en n parties ´egales36
.
L’un des premiers probl`emes th´eoriques que l’on s’est pos´e dans la g´en´eralisation des th´eories diatoniques `a d’autres divisions de l’octave a ´et´e celui de caract´eriser pour tout entier k la gamme jouant le rˆole de la gamme diatonique dans le nouveau syst`eme micro-intervallique. Une telle gamme correspond `a un ensemble≪ maximalement reparti≫ (ou maximally-even set, en abr´eg´e ME-sets) dans la tradition≪set-th´eorique ≫am´ericaine37
. En nous appuyant sur la formalisation des ME-sets `a l’aide de la transform´ee de Fourier discr`ete, propos´ee par Emmanuel Amiot (2007), nous avons ´etudi´e les aspects computa-tionnels dans le probl`eme de la classification des gammes diatoniques g´en´eralis´ees. A l’aide de cette approche nous avons pu, par exemple, donner une justification th´eorique `a l’uti-lisation par l’un des plus c´el`ebres compositeurs microtonaux, Ivan Wischnegradsky, d’une gamme jouant, selon lui, le rˆole de la gamme diatonique traditionnelle mais dans le syst`eme de division de l’octave en quart de tons (i.e. en 24 parties ´egales). Cette gamme de 13 notes est, en effet, celle associ´ee `a la meilleur distribution de 13 points sur un cercle divis´e en 24 parties. En terme de transform´ee de Fourier, cette gamme est celle dont le modulo de la DFT calcul´e en correspondance de la valeur 13 est maximal par rapport au modulo des DFT de tout sous-ensemble A de Z24 de 13 notes toujours calcul´e en correspondance de la valeur 13 (Fig. 1.22).
Le mod`ele informatique que nous avons int´egr´e dans OpenMusic a ´egalement ouvert la voie `a une nouvelle classification des structures musicales de type non-paradigmatique, i.e. une classification qui n’est pas bas´ee sur une action pr´ealable d’un groupe (tel le groupe cyclique, di´edral, affine ou tout autre groupe musicalement pertinent) sur un espace temp´er´e ´egal quelconque Zn. Cette approche ouvre des questions li´ees `a la pertinence de ce type d’outils th´eoriques par rapport `a la perception musicale, comme nous le montrerons dans la deuxi`eme partie de ce m´emoire.
1.7.1 Direction de travaux d’´etudiants sur ce sujet :
1. Julien Junod, Etude combinatoire et informatique du caract`ere diatonique des ´echelles `a sept notes, M´emoire de Master ATIAM, Ircam/Universit´e Paris 6, juin 2008.
36. Voir Junod et al. (2009). Un atlas interactif permettant la visualisation des diff´erentes cloches dia-toniques ainsi que l’´ecoute des 462 modes traditionnels dans la division de l’octave en 12 parties ´egales est disponible `a l’adresse : http://www.diatonique.ch/
37. Voir Clough & Douthett (1991) pour une pr´esentation≪ classique≫ de la th´eorie des maximally even sets et Douthett (2008) pour une discussion de cette approche depuis la perspective des syst`emes dynamiques.
Figure 1.22 – Gamme diatonique g´en´eralis´ee d’ordre 13 dans le syst`eme de division de l’octave en quarts de tons. Cette gamme repr´esente la meilleure distribution de 13 points sur un cercle divis´e en 24 parties ´egales. Le graphique en bas montre que la cardinalit´e 13 constitue une valeur pour laquelle le modulo de la DFT est parmi les plus ´elev´es, en deuxi`eme position apr`es celui correspondant `a un ensemble de 12 ´el´ements (le polygone r´egulier de 12 cot´e inscrit dans le cercle divis´e en 24 parties).