Th´eorie de Paley-Wiener

Remarque II.3

Sif ∈ D(R^d)(espace des fonctions de classeC^∞ `a support compact), sa transform´ee de Fourierfbse prolonge en une fonctionanalytique surC^d.

En effet, siK =supp(f),

fb(ξ) = Z

K

f(x) e^−iξ·xdx

est d´efini quel que soit ξ ∈ C^d et h´erite de l’analyticit´e de la fonction exponentielle. De plus, en notantkξk = on montre par int´egrations par parties successives, l’in´egalit´e

|f(ξ)| ≤b 1 I_K(η) = Rkηk.) Cette propri´et´e caract´erise en fait la transform´ee de Fourier des fonctions de classe C^∞ `a support inclus dansK : ceci est l’objet du th´eor`eme de Paley-Wiener ´enonc´e ci-dessous.

Th´eor`eme II.6 (Paley–Wiener)

SiF est une fonction analytique surC^dpour laquelle il existe un compactKdeR^dtel que pour toutp∈N, il existeC_p > 0avec

|V(ξ)| ≤ C_p

(1 + kξk)^p exp

maxx∈K(x·Imξ)

for allξ ∈C^d, alorsF|_R^dest la tranform´ee de Fourier d’une fonctionf ∈ D(R^d) `a support dansK.

D´emonstration : La partie directe est facile `a ´etablir. Reprenons tout d’abord la d´efinition defb. Par hypoth`esef est ´evidemment int´egrable et doncfbest d´efinie par la formule

fb(ζ) = Z

R

f(x)e^{−2i π ζ x}dx = Z R

−R

f(x)e^{−2i π ζ x}dx .

Soit alors

F(z) = Z _R

−R

f(x)e^{−2i π z x}dx .

On a bien sˆurF(ζ) = fb(ζ)pour toutζ ∈ R. De plus, la fonctionz 7→ e^{−2i π z x} ´etant enti`ere (c’est-`a-dire holomorphe surCtout entier) et puisqu’on int`egre sur un compact, le th´eor`eme de Lebesgue montre queF est enti`ere. Enfin, en int´egrant successivement par parties (les termes de bord sont nuls carfest `a support compact strictement inclus dans]−R, R[par hypoth`ese), on a

(2i π z)^mF(z) = Z R

−R

f^(m)(x)e^{−2i π z x}dx

pour toutz 6= 0. On en d´eduit l’in´egalit´e

|2π z|^m|F(z)| ≤ 2R max

|x|≤R|f^(k)(x)| e^{2π R|Im(z)|}

pour toutz∈C. En additionnant avec l’in´egalit´e

|F(z)| ≤ 2R max

|x|≤R|f(x)| e^{2π R|Im(z)|}, on obtient l’in´egalit´e annonc´ee avec

Cm = 2R( max

|x|≤R|f(x)| + max

|x|≤R|f^(k)(x)|/(2π)^m).

C’est la partie r´eciproque qui n´ecessite vraiment de l’analyse complexe. Le fait d’avoir une estimation de la forme

|F(ζ)| ≤ Cm

(1 + |ζ|^m), ∀ζ ∈R,

`a tout ordre montre exprime que la restriction deF `aRest `a d´ecroissance rapide. Cette restric-tion est de plus de classeC<sup>∞</sup>puisqu’analytique. On admettra que cela implique queF|<sub>R</sub>est la transform´ee de Fourier d’une fonctionf ´egalement de classeC<sup>∞</sup>`a d´ecroissance rapide, et cette fonctionf est d´efinie par

f(x) = Z

R

F(ζ)e^{2i π ζ x}dζ .

Montrons alors que f est en fait `a support compact inclus dans [−R, R]. Soient x ∈ R, η > 0, M > 0, et C le contour rectangulaire de sommets ±M et ±M +iη. D’apr`es le th´eor`eme de Cauchy,

I

C

F(z)e^{2i π z x}dz = 0.

Or d’apr`es les in´egalit´es de l’hypoth`ese, les termes correspondant aux int´egrales sur les bords verticaux tendent vers0lorsqueM tend vers+∞. On en d´eduit `a la limite

Z

R

F(ζ)e^{2i π ζ x}dζ = Z

R

F(ζ +i η)e^{2i π(ζ+i η)x}dζ ,

c’est-`a-dire

f(x) = e^{−2π η x} Z

R

F(ζ +i η)e^{2i π ζ x}dζ . En utilisant une fois de plus les in´egalit´es de l’hypoth`ese, on obtient

|f(x)| ≤ C₂ e^{2π η(R−x)} Z

R

dζ 1 + ζ².

Ceci est vrai quel que soitη >0. Six > R, en faisant tendreηvers+∞, le membre de droite tend vers0 : c’est donc quef(x) = 0! Le cas de x < −R est analogue, en choisissant un contour avecη <0.

Th´eor`eme II.7 (Paley–Wiener–Schwartz)

Pouru∈E⁰(R^d)(ensemble des distributions `a support compact), la transform´ee de Fourier s’´etend en une fonction analytique surC^dpar la formule

U(ξ) = hu , e^−iξ·i.

De plus siK = Suppu, il existe un entierpetC >0tels que

|U(ξ)| ≤ C(1 + kξk)^p exp

maxx∈K(x·Imξ)

for allξ ∈ C^d. R´eciproquement, si U est une fonction analytique sur C^d pour laquelle il existe un compactK deR^d, un entierp, et une constanteC tels que l’estimation ci-dessus soit satisfaite, alorsU est la tranform´ee de Fourier d’une distribution `a support dansK.

En r´esum´e, la transformation de Fourier ´echange les propri´etes de localisation et de r´egularit´e.

Chapitre III

Transformation de Fourier discr`ete

Pour simplifier, on se place ici `a nouveau en dimensiond= 1.

1 Cas d’un r´eseau infini

On a vu au chapitre sur les s´eries de Fourier comment associer des suites (de coefficients de Fourier) `a des fonctions p´eriodiques. On s’int´eresse ici `a l’op´eration inverse, partant de suites et obtenant des fonctions p´eriodiques. Ce point de vue est motiv´e notamment par l’´etude de sch´emas num´eriques.

La transform´ee de Fourier discr`ete d’une suiteu = (un)n∈Z ∈ `²(Z) se d´efinit alors de fac¸on assez naturelle comme l’unique fonction F_d(u) = eu ∈ L²(T)dont les coefficients de Fourier sont les u_n. Plus exactement, comme il a ´et´e montr´e dans la remarque I.2 on d´efiniteu comme la limite dansL²(T)des sommes partielles de la s´erie

X

n∈Z

u_n e^{−2i π n ω}. Bien sˆur, d’apr`es la formule de Parseval, on a :

X

n∈Z

|u_n|² = Z 1

0

|u(ω)|e ² dω ,

ce qui signifie que la transformation de Fourier discr`ete : F<sub>d</sub> : `²(Z) → L²(T)

u = (u_n)n∈Z 7→ eu

est une isom´etrie. Il se trouve que l’on peut aussi voir la restriction de eu `a l’intervalle (de longueur 1)]−1/2,1/2[comme la transform´ee de Fourier (standard,«non discr`ete») d’une certaine fonctionu^∗interpolant la suite(u_n). Consid´erons en effet les fonctionsψ_nd´efinies par

ψ_n(x) = sin(π(x − n)) π(x − n) . On sait que

ψcn(ζ) = 1|ζ|≤1/2 e^{−2i π n ζ}. 39

En particulier, d’apr`es la formule de Plancherel,

kψ_nk_L²_(R) = 1 et hψ_n, ψ_ki = 0 pourn6=k ,

c’est-`a-dire que (ψ_n)n∈Z est une famille orthonorm´ee. D’autre part, les fonctionsψ_nadmettent des prolongements par continuit´e aux pointsx=n, avec

ψ_n(k) = δ^k_n (symbole de Kronecker). D´efinissons alors

E(u) = u^∗ = X

n∈Z

u_nψ_n

(au sens hilbertien, c’est-`a-dire comme limite des sommes partielles dansL²(R)). On a

∀n , u^∗(n) = u_n, et ku^∗k_L²_(R) = kuk<sub>`</sub><sup>2</sup><sub>(Z)</sub>. Finalement, on a le diagramme commutatif suivant, o`uJ : f 7→ f 1_|ζ|≤1/2 .

F_d

(u_n)∈`²(Z) 7→ ue∈L²(T)

E ↓ ↓ J

F

u^∗ ∈L²(R) 7→ ub^∗ ∈ L²(R)

2 Cas d’un r´eseau fini

En pratique, les sch´emas num´eriques sont utilis´es sur un r´eseau de mailles fini, de sorte que l’on a affaire `a un nombre fini de valeurs (u<sub>n</sub>). Supposons ces valeurs index´ees par n ∈ {0, . . . , N − 1}. La transform´ee de Fourier discr`ete de (u_n) prolong´ee en une suite infinie prenant la valeur z´ero pour les indicesn /∈ {0, . . . , N −1}, est le polynˆome trigonom´etrique :

eu(ω) :=

N−1

X

n=0

une^{−2i π n ω}.

Or, `a partir deN donn´ees, il n’y a pas de raison d’obtenir plus deN informations. C’est pour-quoi il est assez naturel de ne consid´erer que N valeurs prises paru(ω). Pour des raisons dee sym´etrie, on choisit les valeurs U<sub>0</sub> = u(0),e U<sub>1</sub> = u(1/Ne ),. . . ,UN−1 = eu((N −1)/N). Ceci conduit `a d´efinir une transformation de Fourier discr`ete finie :

F_N : C^N −→ C^N

u = (un)n∈{0,...,N−1} 7→ U = (Uk)k∈{0,...,N−1} ; Uk =

N−1

X

n=0

un e^{−2i π n k/N}. Comme la transformation de Fourier entre fonctions, c’est quasiment une involution. On v´erifie en effet facilement que sa r´eciproque est donn´ee par :

F_N⁻¹ : C^N −→ C^N

U = (U_k)k∈{0,...,N−1} 7→ u = (u_n)n∈{0,...,N−1} ; u_n = _N¹

N−1

X

n=0

U_k e^{2i π k n/N}.

3 Transformation de Fourier rapide.

Lorsque N est une puissance de2, il existe un algorithme qui acc´el`ere consid´erablement (lorsqueN est grand) le calcul de la transform´ee de Fourier discr`ete surC^N. C’est l’algorithme de Cooley et Tuckey (1965), qui permet de faire le calcul avec un nombre d’op´erations de l’ordre de N logN au lieu deN². C’est un joli exercice que de programmer cet algorithme (voir par exemple [3] (lec¸on n^o 9) pour les d´etails), aussi appel´e F.F.T pour Fast Fourier Transform en anglais. De nos jours, la FFT est pr´eprogramm´ee dans les logiciels de calcul scientifique comme Matlab, Maple, etc. Attention cependant au d´ecalage : les vecteurs sont en g´en´eral num´erot´es de1`aN. Ainsi, pour un tableauxde taille(1, N), l’instructionFFT(x,N)retourne un tableauX de taille(1, N)dont les composantes sont

X(k) =

N

X

n=1

x(n)e^{−2i π}(n−1) (k−1)/N

.

L’instruction inverseIFFT(X,N)redonnex, en calculant x(n) = 1

N

N

X

k=1

X(k)e^{2i π}(k−1) (n−1)/N

.

Approximation de coefficients de Fourier au moyen de la FFT. Si f est une fonction 1-p´eriodique, dont la s´erie de Fourier P

n c_n e^{2i π n x} est absolument normalement convergente, on peut estimer l’erreur commise lorsqu’on approche les coefficientsc_ngrˆace `a la transform´ee de Fourier discr`ete de la suite

u^N_k := f(k/N), k ∈ {0, . . . , N −1}.

En effet, puisquef est somme de sa s´erie de Fourier (qui converge absolument), on a : u^N_k = X

n∈Z

c_ne^{2i π n k/N} = X

m∈Z N−1

X

r=0

c_mN+r e^{2i π r k/N} =

N−1

X

r=0

X

m∈Z

c_mN+r

e^{2i π r k/N}, ce qui montre queU^N = F_N(u^N)v´erifie

U_r^N = N X

m∈Z

c_mN+r, r∈ {0, . . . , N −1}.

Si on prolonge la suite(U_r^N)r∈{0,...,N−1} par p´eriodicit´e `ar∈Ztout entier, en posant U_r+pN^N = U_r^N, ∀p∈Z,

on voit que la formule pr´ec´edente reste vraie : U_r^N = N X

m∈Z

c_mN+r, ∀r ∈Z.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

FIG. III.1 – Graphes des sommes partielles de s´eries de Fourier (trac´es avec 500 points).

En particulier, on a pourr∈ {−N/2, . . . , N/2−1}:

On pourrait bien sˆur ´ecrire une estimation moins grossi`ere. En tous cas, la pr´ecision de l’ap-proximation de c_r par _N¹ U_r^N d´epend du taux de d´ecroissance de c_n lorsquen → +∞, lequel d´epend de la r´egularit´e de la fonction.

Illustration. Les sommes partielles de la s´erie de Fourier d’une fonction convergent d’autant mieux que la fonction est r´eguli`ere. Consid´erons par exemple la fonction continue

x 7→

x pourx∈[0,1/2[, 1 − x pourx∈[1/2,1[. et la fonction discontinue

x 7→

1 pourx∈[0,1/2[,

−1 pourx∈[1/2,1[. La s´erie de Fourier de la premi`ere s’´ecrit

1

4 + X

n≥0

−cos(2π(2n+ 1)x) π²(2n+ 1)² .

Elle est absolument convergente. Quant `a la seconde s´erie de Fourier : X

n≥0

4 sin(2π(2n+ 1)x) π(2n+ 1) , elle est seulement semi-convergente.

La figure III.1 repr´esente les sommes partielles P101

n=0 de ces s´eries. On constate que les points de discontinuit´es sont le si`ege d’une«mauvaise convergence»: c’est le ph´enom`ene bien connu (voir le th´eor`eme I.6).

D’autre part, la convergente trop lente vers0des coefficients de Fourier des fonctions dis-continues nuit au calcul approch´e de leurs coefficients de Fourier par FFT. La figure III.2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 -0.25

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

FIG. III.2 – Coefficients de Fourier approch´es.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

FIG. III.3 – Graphes des sommes partielles de s´eries de Fourier approch´ees (trac´es avec 500 points).

repr´esente la comparaison entre les coefficients exacts et les coefficients approch´es, calcul´es pour les deux fonctions pr´ec´edentes avec une discr´etisation de 500 points (mˆeme si on a repr´esent´e seulement les 50 premiers : attention, il faut se rappeler que l’approximation se d´eteriore lors-qu’on s’approche de l’indice maximal, ici 500). Cependant, les coefficients de Fourier ap-proch´es donnent une bonne approximation des sommes partielles, cf figure III.3. Pour la fonc-tion continue on ne perc¸oit pas de diff´erence avec la somme partielle exacte. Pour la foncfonc-tion discontinue, l’amplitude des oscillations semble moindre avec les coefficients approch´es !

Bibliographie

[1] H. Brezis. Analyse fonctionnelle. Collection Math´ematiques Appliqu´ees pour la Maˆıtrise.

Masson, Paris, 1983. Th´eorie et applications.

[2] R. E. Edwards. Fourier series. A modern introduction. Vol. 1, volume 64 ofGraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, second edition, 1979.

[3] C. Gasquet et P. Witomski. Analyse de Fourier et applications. Filtrage. Calcul num´erique.

Ondelettes. Masson, 1990.

[4] W. Rudin. Analyse r´eelle et complexe. Masson, Paris, 1980. Traduit de l’anglais par N.

Dhombres et F. Hoffman, 3`eme ´edition.

[5] R. S. Strichartz. A guide to distribution theory and Fourier transforms. World Scientific Publishing Co. Inc., River Edge, NJ, 2003.

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Index

Bessel

in´egalit´e de, 5 caract´eristique

courbe, 31 convolution, 21 Dirac

masse de, 25 Dirichlet

noyau de, 8 Fourier

coefficients de, 3 s´erie de , 4 Gibbs

ph´enom`ene de, 11 in´egalit´e

de Bessel, 5 lemme

de Riemann-Lebesgue, 3 noyau de r´egularisation, 21 Paley-Wiener

th´eor`eme de , 24, 34 Parseval

identit´e de, 7 identit´e de , 7 Riemann-Lebesgue

lemme de, 3 Sobolev homog`ene

espace de , 29 support compact, 20 trigonom´etrique

polynˆome, 6

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Index

Bessel

in´egalit´e de, 5 caract´eristique

courbe, 31 convolution, 21 Dirac

masse de, 25 Dirichlet

noyau de, 8 Fourier

coefficients de, 3 s´erie de , 4 Gibbs

ph´enom`ene de, 11 in´egalit´e

de Bessel, 5 lemme

de Riemann-Lebesgue, 3 noyau de r´egularisation, 21 Paley-Wiener

th´eor`eme de , 24, 34 Parseval

identit´e de, 7 identit´e de , 7 Riemann-Lebesgue

lemme de, 3 Sobolev homog`ene

espace de , 29 support compact, 20 trigonom´etrique

polynˆome, 6

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