x≡p1(mod mj1) x≡p2(mod mj2) . . .
x≡pk(mod mjk)
Il est important de noter que les modules sont des entiers naturels premiers impairs qui ne sont pas forc´ement tous diff´erents.
3 Le Th´ eor` eme des restes chinois
3.1 Rappels
On appelle progression arithm´etique un ensemble d’entiers naturels de la formeax+baveca ∈N∗, b ∈N etx ∈N.
Un syst`eme de congruences ne contenant pas de contradiction se r´esoud par le Th´eor`eme des restes chinois.
Le Th´eor`eme des restes chinois ´etablit un isomorphisme entreZ/m1Z×. . .×Z/mkZetZ/Qk
i=1miZ si et seulement si lesmisont deux `a deux premiers entre eux (∀mi ∈ N∗, ∀mj ∈ N∗, (mi, mj) = 1).
Le Th´eor`eme des restes chinois ´etablit une bijection entre l’ensemble des syst`emes de congruences non-contradictoires et l’ensemble des progressions arithm´etiques.
On cherche l’ensemble des solutions du syst`emes de congruences S suivant, de modules premiers tous diff´erents :
x≡r1(mod m1) x≡r2(mod m2) . . .
x≡rk(mod mk) PosonsM=Qk
i=1mi.
Calculons : • M1=M/m1, M2=M/m2, . . . , Mk=M/mk.
• d1, d2, . . . , dktels que
d1.M1≡1 (mod m1) d2.M2≡1 (mod m2) . . .
dk.Mk≡1 (mod mk) La solution deSest x≡Σki=1ri.di.Mi(mod M) .
3.2 Exemple 1
Cherchons `a r´esoudre le syst`eme de congruences :
x≡1 (mod3) x≡3 (mod5) x≡5 (mod7) On poseM= 3.5.7 = 105.
M1=M/3 = 105/3 = 35, 35.y1≡1 (mod3), y1= 2.
M2=M/5 = 105/5 = 21, 21.y2≡1 (mod5), y2= 1.
M3=M/7 = 105/7 = 15, 15.y3≡1 (mod7), y3= 1.
x ≡r1.M1.y1+r2.M2.y2+r3.M3.y3
≡1.35.2 + 3.21.1 + 5.15.1 = 70 + 63 + 75 = 208 = 103 (mod105) qui sont les nombres de la suite : 103,208,313, . . . ,
i.e.de la progression arithm´etique :105k+103.
3.3 Exemple 2
Si on avait eu `a r´esoudre presque le mˆeme syst`eme, mais avec une congruence en moins : x≡3 (mod5)
x≡5 (mod7) On poseM0= 5.7 = 35.
M10 =M0/5 = 7, 7.y10 ≡1 (mod5), y01= 3.
M20 =M0/7 = 5, 5.y20 ≡1 (mod7), y02= 3.
x ≡r1.M1.y1+r2.M2.y2
≡3.3.7 + 5.3.5 = 63 + 75 = 138 = 33 (mod35)
qui sont les nombres de la suite : 33,68,103,138,173,208,243, . . . , i.e.de la progression arithm´etique :35k+33
3.4 Puissance de la relation de congruence ≡
La relation de congruence, invent´ee par Gauss, est une relation d’´equivalence.
a≡b c≡d a+c≡b+d
ac≡bd
Comparons la r´esolution des deux syst`emes : A :
x≡3 (mod5)
x≡5 (mod7) B :
x≡13 (mod5) x≡5 (mod7) A:x≡3.3.7 + 5.3.5 = 63 + 75 = 138 = 33 (mod35) B:x≡13.3.7 + 5.3.5 = 273 + 75 = 348 = 33 (mod35)
Comme 3 et 13 sont congrus (mod 5), on aboutit par congruence (mod 35) `a la mˆeme progression arithm´etique qui est solution des deux syst`emes.
3.5 Que fait la bijection fournie par le Th´eor`eme des Restes Chinois ?
Le Th´eor`eme des restes chinois associe `a tout syst`eme de congruences non-contradictoire de modules premiers une progression arithm´etique.
Appelons E l’ensemble des syst`emes de congruences de modules premiers. AppelonsE0 l’ensemble des progressions arithm´etiques.
E →E0
sc1 7→pa1
sc2 7→pa2
sc1∧sc2 7→pa1∩pa2. De plus,
(sc1⇒sc2) ⇔(pa1⊂pa2).
Une progression arithm´etique ´etant une partie de N admet un plus petit ´el´ement. On choisira dans la suite de repr´esenter une progression arithm´etique par le plus petit entier naturel lui appartenant.
SiE etE0 sont deux progressions arithm´etiques,E⊂E0⇒n0≤n
On appelle“treillis”un ensembleE muni d’une relation d’ordre partiel et tel que :
∀a∈E, ∀b∈E, {a, b}admet une borne inf´erieure et une borne sup´erieure.
L’ensemble des syst`emes de congruences de modules tous premiers est un treillis muni d’un ordre partiel (bas´e sur la relation d’implication logique (⇒)).
L’ensemble des progressions arithm´etiques est un treillis muni d’un ordre partiel (bas´e sur la relation d’inclusion ensembliste (⊂)).
3.6 Observons plus finement la bijection intervenant dans le Th´eor`eme des Restes Chinois
Voyons le r´esultat de l’application de la bijection (qu’on appellera trc) du Th´eor`eme des Restes Chinois au produit cart´esienZ/3Z×Z/5Z. Les images sont des classes d’´equivalence deZ/15Z.
(0,0)7→0 (0,1)7→6 (0,2)7→12 (0,3)7→3 (0,4)7→9 (1,0)7→10 (1,1)7→1 (1,2)7→7 (1,3)7→13 (1,4)7→4 (2,0)7→5 (2,1)7→11 (2,2)7→2 (2,3)7→8 (2,4)7→14
Dans ce tableau, la ligne (1,3) 7→ 13 doit se lire “l’ensemble des nombres congrus `a 1 (mod 3) et `a Dans chaque case, on a color´e l’´el´ement minimum de la case, sur lequel on peut imaginer que “se pro-jettent” les nombres plus grands de cette case lorsqu’on supprime des congruences du syst`eme leur cor-respondant. On remarque qu’en appliquant la fonction Succde l’Arithm´etique de Peano (en ajoutant (1,1) r´ecursivement `a partir de (0,0)), on balaye toutes les cases du tableau une par une en parcourant des diagonales descendantes (et en allant dans la case en haut de la colonne ou dans la case `a l’extrˆeme gauche de la ligne lorsque la case d’arriv´ee se trouve ˆetre `a l’ext´erieur du tableau).
On comprend ais´ement que les r´esultats observ´es sur le produit des 3 corps finisZ/3Z, Z/5Z etZ/7Z se g´en´eralisent si l’on consid`ere des produits cart´esiens d’autant de corps finis de module premier qu’on voudra.
3.7 La bijection trc restreint (ou image minimum par trc)
On d´efinit la bijectiontrc restreintcomme la bijection qui `a un syst`eme de congruences associele plus petit entier naturelde la progression arithm´etique que lui associe le Th´eor`eme des restes chinois.
Il y a une cons´equence importante au fait que trc (et trc restreint) soient des bijections : la bijection trc restreintassociant `a chaque syst`eme de congruence de modules premiers impairs qui sont desmitous diff´erents, un nombre de la partie finie deNcompris entre 0 etQk
i=1mi, si sc1⇒sc2 etsc16=sc2alors la solution du syst`eme de congruencessc1(l’image de sc1 par la bijectiontrc restreint) est strictement sup´erieure `a la solution du syst`eme de congruencessc2.
3.8 Un exemple de l’image par la bijection trc restreint d’un n-uplet et des n-uplets qui sont ses “projet´es” selon certaines coordonn´ees
L’entier naturel 94 est compris entre 3.5 = 15 et 3.5.7 = 105. Etudions les “projet´es” du triplet (1,4,3) appartenant au produit cart´esienZ/3Z×Z/5Z×Z/7Z sur chacune de ses coordonn´ees.
‡On peut consid´erer que cette propri´et´e correspond `a une sorte de “fractalit´e” de l’ensemble des entiers, ou “auto-similarit´e” qui fait qu’une mˆeme propri´et´e se retrouve au niveau des ´el´ements et au niveau des ensembles d’´el´ements de N.
Z/3Z×Z/5Z×Z/7Z →N (1,4,3) 7→94 Z/3Z×Z/5Z →N
(1,4) 7→4 Z/3Z×Z/7Z →N
(1,3) 7→10 Z/5Z×Z/7Z →N
(4,3) 7→24
94 a trois images qui lui sont strictement inf´erieures par la bijectiontrc restreint. 94 se projette dans des nombres strictement plus petits que lui parce que 3.5<3.7<5.7<94<3.5.7.