6 Preuve conditionnelle du th´ eor` eme 5.10 6.1Rappel
6.11 Le th´ eor` eme 5.10
M(δ, f) pour tout δ ∈ Dst
g´eom( ˜M(Fv)) ⊗ Mes(M(Fv))∗. Cela nous oblige `a des contorsions pour assurer que les distributions dv de la d´emonstration ci-dessus sont dans le domaine de d´efinition de ces int´egrales orbitales pond´er´ees stables. Si on rem-place ces int´egrales par leurs avatars spectraux, cette difficult´e disparaˆıt et une mˆeme d´emonstration s’applique tout en se simplifiant.
(31) Si on oublie cette difficult´e aux places archim´ediennes, on voit que l’on d´emontre en fait un r´esultat plus fin que la proposition 6.6, qui est le suivant. Ecrivons δ = (δv)v∈V
et supposons que, pour tout v ∈ V , δv soit induite `a partir d’un espace de Levi ˜R′ v de ˜
M′
v. Supposons qu’il existe v tel que ˜R′
v ne corresponde `a aucun K-espace de Levi de K ˜Gv ou qu’il existe un tel K-espace de Levi mais que ˜R′
v ne soit pas relevant. Alors IK ˜G,E
∗ (M′, δ, f) = 0.
6.11 Le th´eor`eme 5.10
Dans ce paragraphe, on suppose d´emontr´es les th´eor`emes [II] 1.16, [V] 1.10 et 5.2 et 5.4 ci-dessus. On va alors prouver le th´eor`eme 5.10. Notons
X = X
G′∈E( ˜G,a,V )
i( ˜G, ˜G′)SG′ g´eom(fG′
le membre de droite de l’´egalit´e de ce th´eor`eme. D´eveloppons X en appliquant les d´efinitions. On obtient X = X G′∈E( ˜G,a,V ) i( ˜G, ˜G′) X ˜ M′∈L( ˜M′ 0) |WM′ ||WG′ |−1 X O′∈ ˜M′ ss(FV)/st−conj SMG′′(SAM′(O′, V ), fG′).
Le terme M′ est le triplet (M′, M′, ˜ζ) associ´e naturellement aux donn´ees G′ et `a l’es-pace de Levi ˜M′ ∈ L( ˜M′
0). Notons que ˜M′(F ) 6= ∅ pour tous les ˜M′ intervenant. Le lemme 5.3 nous autorise `a remplacer les termes SG′
M′(SAM′
(O′, V ), fG′
) par leurs va-riantes SG′
M′(SAM′
(O′, V ), BG˜, fG′
). Il n’est pas difficile d’adapter la proposition 6.5 `a nos pr´esentes notations. Elle entraˆıne que l’on peut r´ecrire cette somme sous la forme
X =X ˆ M |WM˜||WG˜|−1 X M′∈E∗( ˜M ,aM,V ) i( ˜M , ˜M′) X ˜ s∈˜ζZ( ˆM)ΓF ,ˆθ/Z( ˆG)ΓF ,ˆθ iM˜′( ˜G, ˜G′(˜s)) X O′∈ ˜M′ ss(FV)/st−conj SMG′′(˜s)(SAM′ (O′, B, V ), BG˜, fG′(˜s)).
Ici, ˆM parcourt les Levi de ˆG contenant ˆM0 qui sont des composantes de Levi de sous-groupes paraboliques invariants par ˆθ et par ΓF. Un tel Levi ne correspond pas toujours `a un K-espace de Levi K ˜M de K ˜G mais on peut lui associer divers objets que, par anticipation, nous notons comme si un tel K-espace existait. Par exemple WM˜ est le sous-groupe des ´el´ements invariants par ˆθ et ΓF dans NormGˆ( ˆM )/ ˆM. Si K ˜M existe, l’ensemble E∗( ˜M , aM, V ) est celui des classes d’´equivalence de donn´ees endoscopiques elliptiques (M′, M′, ˜ζ) de (KM, K ˜M , aM) qui sont non ramifi´ees hors de V et telles que ˜M′(F ) 6= ∅. La d´efinition de ces notions ne faisant intervenir que le groupe ˆM , la d´efinition s’´etend au cas o`u K ˜M n’existe pas. L’indice ∗ signifie que l’on n’impose pas que la donn´ee soit relevante, contrairement `a nos ensembles habituels E( ˜M , aM, V ). Avec la d´efinition de 6.6, on obtient X =X ˆ M |WM˜||WG˜|−1 X M′∈E∗( ˜M ,aM,V ) i( ˜M , ˜M′) X O′∈ ˜M′ ss(FV)/st−conj I∗K ˜G,E(M′, SAM′ (O′, V ), f).
La proposition 6.6 nous dit que, pour que le terme que l’on somme soit non nul, il faut que ˆM corresponde `a un K-espace de Levi K ˜M de ˜G et que M′ soit relevant pour (KM, K ˜M , aM). Cela permet de r´ecrire
X = X K ˜M∈L( ˜M0) |WM˜||WG˜|−1 X M′∈E( ˜M ,aM,V ) i( ˜M , ˜M′) X O′∈ ˜M′ ss(FV)/st−conj IK ˜K ˜MG,E(M′, SAM′ (O′, V ), f).
Les hypoth`eses de la proposition 4.6 sont v´erifi´ees. Cela nous permet de remplacer les termes IK ˜K ˜MG,E(M′, SAM′
(O′, V ), f) par IK ˜G
K ˜M(transf ert(SAM′
(O′, V )), f). On peut main-tenant se limiter aux classes de conjugaison stable O′ qui correspondent `a une telle classe dans le K-espace de Levi correspondant K ˜M (FV) : pour les autres, transf ert(SAM′
(O′, V )) = 0. On peut regrouper ces classes selon la classe qui leur correspond dans K ˜M (FV). On obtient X = X K ˜M ∈L(K ˜M0) |WM˜||WG˜|−1 X O∈K ˜Mss(FV)/st−conj X M′∈E( ˜M ,aM,V ) i( ˜M , ˜M′)
X
O′∈ ˜M′
ss(FV)/st−conj;O′7→O
IK ˜K ˜MG(transf ert(SAM′(O′, V )), f),
o`u O′ 7→ O d´esigne la correspondance entre classes de conjugaison stable. Pour tous K ˜M et O intervenant ci-dessus, on a l’´egalit´e
X M′∈E( ˜M ,aM,V ) i( ˜M , ˜M′) X O′∈ ˜M′ ss(FV)/st−conj;O′7→O transf ert(SAM′ (O′, V )) = AK ˜M,E(O, V, a)
d’apr`es la d´efinition de 5.4. C’est encore ´egal `a AK ˜M(O, V, ω) d’apr`es le th´eor`eme 5.4. Les hypoth`eses de la proposition 4.6 sont v´erifi´ees et on obtient
X = X
K ˜M∈L(K ˜M0)
|WM˜||WG˜|−1 X
O∈ ˜Mss(FV)/st−conj
IK ˜K ˜MG(AK ˜M(O, V, ω), f).
Ceci n’est autre que IK ˜G
g´eom(f, ω), cf. 2.9. Cela prouve le th´eor`eme 5.10. Bibliographie
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2 place Jussieu, 75005 Paris