Analyse des défauts par la méthode de la TOD
IV.2.1 Théorie de la TOD (DWT)
La transformée en ondelettes remplace les sinusoïdes de la transformée de Fourier par une famille de translations et de dilatations d’une même fonction appelée ondelette.
Mathématiquement la famille d’ondelettes se met sous la forme [AOU09], [YAH12]:
1 , ( ) 2 a b
t b
t a
a
Avec a0 est le paramètre d’échelle ou de dilatation et b est un paramètre de translation (a b, ). Une ondelette (t) est une fonction de moyenne nulle [HIT99] :
( )t dt 0
On note la conjuguée de ; la transformée en ondelettes d’une fonction f(t) est écrit par :
1
2 ( ) * t b
CWT a f t dt
a
Cette transformée est dite la transformée en ondelettes continue TOC (CWT : Continuous Wavelets Transform), car c’est une fonction continue de paramètres de dilatation et de translation, on verra que ces paramètres peuvent être discrétisés dont laquelle on obtient la transformée en ondelettes discrètes.
(IV. 1)
(IV. 2)
(IV. 3)
CHAPITRE IV. Analyse des défauts par la méthode de la TOD
103
En effet, la transformée en ondelettes continue est une fonction à deux variables réelles (a et b) qui peut être représentée dans le plan euclidien (traditionnellement, on place b en abscisses et a ou -loga en ordonnées) ce qui permet d’observer toutes les positions et les échelles en même temps (représentation temps-échelles).
La figure (IV-1) représente l’échelle de décomposition pour la transformée en ondelettes, on remarque bien que la résolution est différente, chaque fréquence est analysée avec une résolution adaptée. L’analyse en ondelettes, contrairement à la transformée de Fourier, fait donc la projection d’une fonction f(t) sur une famille de fonctions (les ondelettes) déduites d’une fonction élémentaire (l’ondelette mère) par des translations et des dilatations.
Ceci permet aux hautes fréquences d’avoir une précision en temps accrue correspondant à des phénomènes brefs, pour lesquels l’instant d’apparition et la durée sont des caractéristiques importantes. Aux basses fréquences, la précision fréquentielle s’améliore au détriment de l’aspect temporel, puisque les phénomènes sont de durées beaucoup plus longues [AOU09], [YAH12].
Figure IV.1. Echelle de décomposition par la TO.
La transformée en ondelettes possède la propriété de la conservation de l’énergie, c'est-à-dire, qu’il n’y a pas de perte d’information entre la fonction f(t) et sa transformée en ondelettes. Cette propriété est très importante car elle garantit que la transformée en ondelettes possède des propriétés de stabilité.
Dans les calculs pratiques, les variables a et b de la transformée en ondelettes continue ne varient pas continûment dans , mais sont discrétisées, ainsi la transformée en ondelettes discrètes consiste à trouver une sous famille dénombrable.
La transformée en ondelettes discrètes (DWT) est issue de la version continue, d’un point de vue fonctionnel, il s’agit de changer une représentation continue (par une fonction de
Temps Fréquence
ou Echelle
CHAPITRE IV. Analyse des défauts par la méthode de la TOD
104
deux paramètres continus) en une représentation discrètes (par une série, ou une suite à deux paramètres). La DWT utilise un facteur d’échelle et une translation discrétisée. En remplaçant respectivement a et b par 2j et k.2j dans (IV.3), avec ( j, k ) Z , l’expression devient donc, [BUR97]:
2 *
2 ( ) 2
j
DWT t jt k dt
Soit φ la fonction échelle. Elle doit être dans L2 et ayant une moyenne non nulle. On trouve plus de détails sur la théorie de la TOD dans : [BENZ05], [AOU09], [YAH12].
On voit que la TOD et la TOC peuvent être les implémentées pratiquement sur tout système numérique (digital) (PC carte, carte DSP, micro-processeur …etc.); mais on aura pour la TOC un lourd calcul provenant de la nature continue du facteur d’échelle et de la translation.
On note par CAj et CDj respectivement le niveau des coefficients d’approximation et de détails de f à la jième résolution.
Pour passer d’un niveau d’approximation au niveau inférieur, il suffit de calculer une convolution discrète du signal discret avec des filtres passe bas et passe haut h et g respectivement lors d’une décomposition par ondelettes.
Figure IV.2. Filtres de décomposition d’un signal original f(t) en approximations et détails.
Des décompositions de niveau supérieur peuvent être obtenues d’un mode semblable.
Désignant par fe la fréquence d’échantillonnage du signal mesuré, la bande de fréquence de chaque niveau j revient à 0
2
e j
f
pour les approximations et 1
2 2
e e
j j
f f
pour les détails.
La figure (IV-3) présente un schéma de cet algorithme de décomposition [MEY92], le signe ↓2 correspond à une décimation d’un facteur 2, c'est-à-dire, que l’on garde un
Passe bas « h » Passe haut « g » Filtre
Signal original f(t)
D A
(IV. 4)
CHAPITRE IV. Analyse des défauts par la méthode de la TOD
105
coefficient sur deux, on obtient alors un algorithme en cascade qui permet d’obtenir tous les niveaux de résolution inférieure au niveau de départ par itérations.
Figure IV.3. Décomposition en multi-niveau du signal f(t).
On peut définir d’après le schéma ci-dessus un autre type d’ondelettes, c’est les paquets d’ondelettes qui ont été développés comme un outil efficace de codage et de compression. Dans l’analyse en ondelettes, un signal est décomposé en approximation et détail ; l’approximation est alors elle-même coupée en approximation et détail de deuxième-niveau, et le processus sera répété. Pour l’analyse en paquet d’ondelettes, les détails aussi bien que les approximations peuvent être décomposés [KAH98], [AHM13], [JAI15], [VIS15].
On rappelle qu’au contraire de l’analyse par la transformée de Fourier ; la transformée en ondelettes permet d’étudier la régularité locale (ponctuelle) d’une fonction. Cette dernière a la possibilité de faire une reconstruction du signal dans le sens inverse.
En pratique, le choix de l’ondelette n’est pas crucial, en effet on cherche une ondelette qui offre un bon compromis entre la résolution temporelle et fréquentielle, un tel choix dépend beaucoup de l’objectif du sujet proposé. Des critères supplémentaires tels que la régularité, la symétrie, une décroissance rapide à l’infini peuvent être nécessaires [BENT06].
Les familles les plus usuelles des ondelettes mères, utilisées pour le calcul de la transformée en ondelette, des signaux analysés, sont : Haar, Daubechies, Symlets, Coiflets, Chapeau mexicain, biorthogonales, Meyer, Battle et Lemarié, gaussiènnes, Morlet, Shannon complexes.
d1 : fe/4-fe/2 a1 : 0- fe/4
d2 : fe/8-fe/4 a2 : 0- fe/8
Niveau : j=1
Niveau:j=2
Signal Original f(t)
« fe »
CHAPITRE IV. Analyse des défauts par la méthode de la TOD
106
Il faut noter que chaque type a une abréviation dans le code Matlab. Des tests ont été réalisés par [BES16-1] pour différents ordres et types d’ondelette mère nous amène à prendre le choix de Daubechies (Db44) pour toutes les analyses concernant cette partie d’application.