Théorie des possibilités

En liaison avec la théorie des ensembles flous, la théorie des possibilités a été introduite par Zadeh (Zad, 78) et développée par Dubois (Dub, 87). La théorie des ensembles flous est considérée comme le cadre le plus adéquat permettant de traiter des données imprécises, alors que la théorie des possibilités offre un moyen de gérer les informations entachées d’incertitudes.

Dans la théorie des possibilités, les concepts des ensembles flous et des fonctions d'appartenance sont interprétés en tant que distributions linguistiques de possibilité (Cay, 96). Au lieu de parler de degrés d'appartenance, on perlera de degrés de possibilité, mais tous les outils et propriétés définis pour les ensembles flous sont également applicables aux distributions de possibilité (Zad, 78), (Dub, 99b).

Quant à la différence entre ces deux théories probabiliste et possibiliste, on s’en tiendra ici à l’exemple illustré par Zadeh (Zad, 78) où il éclaircit pour des degrés de possibilité et de probabilité qu’un faible degré de probabilité n’est pas synonyme d’un faible

degré de possibilité et un fort de degré de possibilité n’implique pas un fort degré de probabilité, seulement on peut dire qu’un degré de possibilité nul implique une probabilité nulle. Cette théorie se voit aussi comme un cas particulier de la théorie de croyances de Dempster-Shafer (Sha, 76) qui est étroitement liée à la théorie des probabilités. Cependant, la théorie des possibilités est liée à celle des ensembles flous.

Ci-après, nous présentons les concepts et définitions de base de la théorie des possibilités.

I.3.3.1 Mesure floue (Valuation)

Dans la théorie de possibilités, une mesure floue peut être de possibilité ou de nécessité. Cette mesure définie une représentation de l’incertitude attribuant des coefficients aux sous-ensembles d'un univers donné U. Chaque coefficient fournit le degré de certitude avec lequel un élément de U appartient à un ensemble flou correspondant. Il s’agit donc d’une application de (x) dans [0,1], où (x) est l'ensemble des parties de l’univers U qui doit satisfaire les conditions suivantes : cas limites, la monotonie et la continuité ( Bou, 03).

34 Chapitre I : État de l’art sur les incertitudes en analyse et évaluation des risques industriels

 Limites: ( ) = 0 et (Ω) = 1(I.35)

 Monotonie: A et B ∈ [0, 1] tels que A B alors,



≤

)

^(I.36)  Continuité: Pour des sous-ensembles emboîtés :

1

A

...

1

-An

An

où

An

...

A2

A1   

I.3.3.2 Mesures de possibilité et de nécessité

L’incertitude d’un événement quelconque, à la différence des probabilités, est donc caractérisée par deux valeurs : sa possibilité ( ) et sa nécessité (N), (Dub, 88a).

 Mesure de possibilité : Cette mesure peut être interprétée comme une mesure de

la confiance accordée à l'occurrence d'un événement A. Elle permet d’évaluer à quel point la réalisation d’un événement est possible (Zad, 75), (Kau, 77), (Dub, 00), (Bou, 95). Si cet événement est possible de se réaliser, la mesure de possibilité est égale à 1. S’il est impossible de se réaliser, alors sa mesure de possibilité est égale à 0. C’est une fonction prenant ses valeurs dans l’intervalle [0, 1] telle que:

(U) (I.38) ( ) (I.39)

Dans le cas de deux événements contraires A et Ā, la possibilité de réalisation de l’un n’implique pas l’impossibilité de réalisation de l’autre. Ceci est traduit par :

( 𝑋 (A) (Ā)) ^(I.40)

(A) (Ā)  ^(I.41)

 Mesure de nécessité : L’occurrence d’un événement A est quantifiée par son degré de possibilité avec lequel cet événement est possible mais cette mesure n’est pas suffisante pour décrire complètement l’incertitude existante sur cet événement. La mesure de nécessité donne une information complémentaire à la mesure de possibilité permettant de décrire cette incertitude (Bou, 95).

(A) (A̅) (I.42)

Fig.- Nombre flou triangulaire.

0 a1x mya2

35 Chapitre I : État de l’art sur les incertitudes en analyse et évaluation des risques industriels

I.3.3.3 Relation entre mesures de possibilité et de nécessité

La mesure de nécessité est une mesure duale à celle de possibilité, elle indique avec quel degré la réalisation de l’événement A est certaine. Cette mesure possède des propriétés spécifiques par rapport de celles de la mesure de possibilité. Ces deux degrés (de possibilité et de nécessité) nous permettent de décrire, dans une distribution de possibilité ou de nécessité, à la fois le degré avec lequel l’événement A est susceptible de se réaliser et le degré de certitude qu’on peut attribuer à cette réalisation.

Les deux mesures de possibilité et de nécessité sont liées par les relations suivantes :

(A) - (A̅) (I.43)

(A) (A) (I.44) (A) (A) (I.45)

Il en résulte, à partir de ces relations qui décrivent la dualité des deux mesures,que tout événement certain est tout à fait possible et qu’on ne peut avoir la moindre certitude sur un événement qui n’est pas relativement possible. On peut aussi tirer de ces relations qu’il n’est nécessaire de définir une distribution de nécessité et que la distribution de possibilité est largement suffisante pour déterminer une mesure de nécessité (Bou, 95).

Conclusion

La prise en compte des incertitudes dans la démarche d’analyse des risques s’impose en raison des imperfections des modèles et données manipulés. Dans cette partie, nous avons rappelé les différents cadres probabilistes et non probabilistes de représentation et de traitement des incertitudes et des imprécisions à savoir, la théorie des probabilités qui est destinée à traiter les incertitudes d’ordre aléatoire, la théorie des ensembles flous et la théorie des possibilités qui fournissent des outils simples et bien adaptés à la représentation des informations incertaines et imprécises. ous avons évoqué l’importance de ces théories dans le cadre d’analyse des risques et comment le problème de l’analyse de données incertaines et imprécises en analyse des risques était abordé dans la littérature.

Ces rappels servent comme support de base pour l’évaluation de la criticité des risques moyennant des méthodes appropriées telles que la méthode graphe de risque flou, objet du chapitre suivant.