D.1.1 Définitions
Un sous-ensemble flouA d’un ensemble de référence E est caractérisé par une fonction
d’apparte-nancefA : E → [0, 1]. Pour un élément x ∈ E, fA(x) est notée µA(x) et représente le degré
d’ap-partenance dex à A. Nous confondrons par commodité ces deux écritures. Voici un rappel de quelques
définitions fondamentales en logique floue.
Définition 43 (Noyau) Le noyau deA est défini par N (A) = {x|µA(x) = 1}, il constitue l’ensemble des éléments « vraiment » dans A.
Définition 44 (Support) Le support deA est définit par S(A) ={x|µA(x)6= 0}, il constitue l’ensemble des élément « plus ou moins » dans A.
Dans R les fonctions d’appartenance peuvent avoir plusieurs formes dont la plus courante est le tra-pèze (figure D.1). 0 1 a− α a b b + β Noyau Support
FIGURED.1 – Fonction d’appartenance trapézoïdale
Définition 45 (Hauteur)ht(A) = supx∈AµA(x) est la hauteur de A, il s’agit de la borne supérieure de la fonction d’appartenance.
Définition 46 (Cardinalité)|A| =Px∈EµA(x), la cardinalité de A est la quantité floue d’éléments de E qui appartiennent à A.
Définition 47 (α-coupe) Une α-coupe de A est un sous-ensemble de E tel que Aα ={x ∈ E|µA(x)≥ α}. Il représente l’ensemble des éléments de E qui appartiennent à A avec un dégré supérieur ou égal àα.
D.1.2 Opérations ensemblistes, définitions originales de ZADEH
La théorie des sous-ensembles flous est une extension de la théorie ensembliste classique. ZADEH
([Zad65]) montre que les opérateurs flous se déduisent des opérateurs classiques par généralisation. Il s’agit des opérateurs ensemblistes flous dits classiques ou au sens de ZADEH. SoientA et B deux
sous-ensembles flous deE :
Définition 49 (Inclusion)A⊆ B ⇐⇒ ∀x ∈ E, µA(x)≤ µB(x)
Définition 50 (Union)A∪ B = max(µA(x), µB(x)), ∀x ∈ E
Définition 51 (Intersection)A∩ B = min(µA(x), µB(x)), ∀x ∈ E
0 1 µ E A B 0 1 µ E A B
FIGURED.2 – Fonctions d’appartenancesA∪ B et A ∩ B
Définition 52 (Complémentation)A est dit complémentaire de A si sa fonction d’appartenance véri-fie :µA(x) = 1− µA(x), ∀x ∈ E
Définition 53 (Produit cartésien) SiA et B sont deux sous-ensembles flous de E et F respectivement, le produit cartésienA×B est défini comme un sous-ensemble flou de E×F dont la fonction d’appartenance est telle que :µA×B(x, y) = min{µA(x), µB(y)}, ∀(x, y) ∈ (E × F )
Définition 54 (La projection) SiC est un sous-ensemble flou de E× F , la projection de C sur E est un sous-ensemble flouA de E dont la fonction d’appartenance se définit par µA(x) = sup
y∈F{µC(x, y)}, ∀x ∈ E.
D.1.3 Relations floues
ZADEHétend le concept de relations aux sous-ensembles flous ([Zad71]).Une relation floue se définit de manière générale sur deux univers quelconques par :
Définition 55 (Relation floue) Soit deux universE1etE2, une relation floueR est un ensemble flou sur E1× E2défini par sa fonction d’appartenanceµR:E1× E2 → [0, 1] :
R ={((x, y), µR(x, y))|(x, y) ∈ E1× E2} (D.1) Cette définition s’étend aux sous-ensembles flous. SiA et B sont deux sous-ensembles flous de E1
etE2respectivement, alors une relation floue surA× B est définie comme un ensemble flou de E1× E2
tel que :
∀(x, y) ∈ E1× E2, µR(x, y)≤ min (µA(x), µB(y)) (D.2)
D.1.3.1 Propriétés générales ([BM93])
Définition 56 (Inverse) L’inverse d’une relation floueR entre E1 etE2 est une relation floue entreE2 etE1notéeR−1et définie par :
Définition 57 (Composition max-min) Une composition max-min de deux relations flouesR1entreE1
etE2etR2 entreE2 etE3 est une relation floue entreE1etE3notéeR = R1◦ R2et dont la fonction d’appartenance est telle que :
∀x ∈ E1, ∀z ∈ E3, µR(x, z) = sup
y∈E2
min (µR1(x, y), µR2(y, z)) (D.4)
La composition max-min est la plus classiquement utilisée, mais il est possible de remplacer le min par un autre opérateur *. Il s’agit alors d’une composition max-*.
D.1.3.2 Propriétés particulières ([BM93])
Les propriétés des relations binaires surE× E s’étendent aux relations floues.
Définition 58 Réflexivité Une relation floue surE× E est reflexive si :
∀x ∈ E, µR(x, x) = 1 (D.5)
Définition 59 Symétrie Une relation floue surE× E est symétrique si :
∀(x, y) ∈ E × E, µR(x, y) = µR(y, x) (D.6)
Définition 60 Antisymétrie Une relation floue surE× E est antisymétrique si :
∀(x, y) ∈ E × E, (µR(x, y) > 0 et µR(y, x) < 0)⇒ x = y (D.7)
Définition 61 Transitivité max-min Une relation floue surE× E est transitive max-min si : ∀(x, y, z) ∈ E × E × E, µR(x, z)≥ sup
y∈E
min (µR(x, y), µR(y, z)) (D.8)
Comme pour la composition, l’opérateur min peut être remplacer par un autre opérateur *, il s’agit alors d’une propriété de transitivité max-*.
D.1.3.3 Relations de similarité ([BM93])
Définition 62 (Relation de similarité) Une relation de similarité est une relation floueR entre E et E qui vérifie les trois propriétés particulières suivantes :
– R est réflexive, – R est symétrique,
– R est max-min transitive.
Certaines variantes de relations de similarité utilise une transitivité max-*. La réflexivité peut parfois être difficile à obtenir et il est courant d’utiliser des pseudo-relations de similarité qui ne remplissent pas ou que partiellement (par exempleµR(x, x)≥ α) cette condition.
Si une relation de similaritéR est telle que µR(x, y) = 1 si et seulement si x = y alors il est possible
de lui associer une ultramétriqued définie sur E et à valeurs dans [0, 1] définie par :
∀(x, y) ∈ E × E, d(x, y) = 1 − µR(x, y) (D.9) etd vérifie :
Nom Fonction Zadeh min(x, y)
Probabiliste x.y
Lukasiewicz max(x + y− 1, 0)
Yager 1− min{1, (1 − (x + y))1/β}
TABLED.1 – Exemples de t-normes
Nom Fonction
Zadeh max(x, y)
Probabiliste x + y− x.y
Lukasiewicz min(x + y, 1)
Yager min{1, (x + y)1/β}
TABLED.2 – Exemples de t-conormes
D.1.3.4 Relations d’ordre floues ([BM93])
Une relation floue réflexive et max-min transitive est une relation de pré-ordre flou. Si elle est en plus antisymétrique, il s’agit d’une relation d’ordre flou.
D.1.4 Normes et conormes triangulaires
Les opérations ensemblistes floues classiques utilisent les fonctionsmin et max pour exprimer
res-pectivement l’intersection et l’union de sous-ensembles flous. Il ne s’agit en fait que d’un cas particulier de norme triangulaire (ou t-norme) et de conorme triangulaire (ou t-conorme). D’une manière plus géné-rale :
Définition 63 (t-norme) Une t-norme est une fonction⊤ : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] qui pour tout élément x, y, z, t∈ [0, 1] possède les propriétés suivantes :
– commutativité :⊤(x, y) = ⊤(y, x),
– associativité :⊤(x, ⊤(y, z)) = ⊤(⊤(x, y), z) – monotonie :⊤(x, y) ≤ ⊤(z, t) si x ≤ z et y ≤ t – 1 est élément neutre :⊤(x, 1) = x
La table D.1 donne quelques exemple de t-normes.
Définition 64 (t-conorme) Une t-conorme est une fonction ⊥ : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] qui pour tout élémentx, y, z, t∈ [0, 1] possède les propriétés suivantes :
– commutativité :⊥(x, y) = ⊥(y, x),
– associativité :⊥(x, ⊥(y, z)) = ⊥(⊥(x, y), z) – monotonie :⊥(x, y) ≤ ⊥(z, t) si x ≤ z et y ≤ t – 0 est élément neutre :⊥(x, 0) = x
La table D.2 donne quelques exemples de t-conormes.
Le choix des normes se fait en fonction du type d’opération à réaliser et du contexte. Une t-norme et une t-conorme sont dites duales pour l’opération de complémentation standard si elles satisfont aux lois de De Morgan :
1− ⊥(u, v) = ⊤(1 − u, 1 − v) ∀ u, v ∈ [0, 1] (D.11) et :
Binaire Flou E µ EC 1− µ ∩ t-norme ∪ t-conorme ∀ inf ∃ sup Card P
TABLED.3 – Equivalences utilisées en extension formelle
D.1.5 Principe d’extension
Si la logique floue est une extension de la logique classique, toute relation ou opération définies sur des ensembles binaires doivent pouvoir être étendues aux ensembles flous. C’est à cet effet que ZADEH
([Zad75]) a introduit le principe d’extension :
Définition 65 (Principe d’extension de ZADEH([Zad75])) Considérons deux ensemblesE et F , étant donné un sous-ensemble flouA de E et une application φ de E dans F , l’extension de φ à A est un sous-ensemble flou deF défini par
∀y ∈ F, µB(y) = supx∈E|y=φ(x)µA(x) si φ−1(y)6= ∅
µB(y) = 0 sinon. (D.13)
Ce principe est intéressant mais bien souvent lourd à mettre en pratique particulièrement pour les opérations ou relations définies sur plusieurs ensembles pour lesquelles il faut utiliser le supremum du produit cartésien. C’est pourquoi les extensions sont souvent réalisées de manière formelle en remplaçant les opérations binaires par leurs équivalents en logique flou (table D.3 extraite de [Tre98]).