A. GIDE
CHAPITRE 4
COMPORTEMENT POROELASTIQUE LINEAIRE - PROBLEMES D'EVOLUTION QUASISTATIQUES
I - INTRODUCTION
Dans le cadre de l'approche couplée, on s'intéresse à l'interaction eau-squelette du sol pour un milieu poreux saturé en eau. Afin d'analyser ce problème d'une façon générale, parmi les différentes approches possibles, on présente la théorie de BIOT.
Cette approche ignore délibérément le niveau microscopique et suppose que les concepts et principes de la mécanique des milieux continus sont applicables aux grandeurs macroscopiques mesurables.
L'objet essentiel de ce chapitre est d'aborder très brièvement la mécanique des milieux poreux constitué d'un squelette déformable et d'un fluide saturant l'espace connecté, ceci dans un cadre élastique linéaire.
Cette présentation repose sur l'hypothèse de continuité qui se traduit par la superposition de deux milieux continus, l'un étant
le squelette, l'autre le fluide saturant l'espace poreux connecté, en interaction mécanique. Dans cette description continue du milieu poreux, la déformation du squelette sera privilégiée .
La difficulté dans une modélisation d'un milieu poreux saturé réside essentiellement dans la prise en compte de ce fait que le milieu poreux, ayant un caractère ouvert du point de vue thermodynamique, peut échanger de la masse fluide avec l'extérieur au cours des transformations.
Une première partie est consacré aux aspects mécanique et thermodynamique des milieux poreux saturés. De l'aspect mécanique, on donne une description de la cinématique du squelette ainsi que du mouvement, en définissant un vecteur courant relatif de la masse fluide dont l'existence a été postulée. La conservation de la masse a été discutée en raison de son intervention dans la partie de diffusion hydraulique.
Après avoir décrit l'aspect thermodynamique des milieux poreux saturés, les équations d'état introduisant le comportement poroélastique linéaire isotrope sont données. La définition de ce comportement nécessite la connaissance de quatre
caractéristiques poroélastiques macroscopiques. On y indique les expériences nécessaires à leur détermination. Sous certaines hypothèses, les relations qui relient les caractéristiques macroscopiques à celles des constituants microscopiques sont données. Ces relations permettent de réduire le nombre des expériences conduisant à la détermination des caractéristiques macroscopiques.
La quatrième partie est consacrée à la formulation et la méthode de résolution du problème d'évolution quasistatique en poroélasticité.
En fin de chapitre, la validité de l'hypothèse de quasistaticité pour les applications pratiques aux problèmes de séisme et de la houle en génie civil sera clarifiée.
II-LE MODELE DE BIOT
Ce modèle est décrit dans les articles publiés par BIOT [1956,1962,1972,1973,1977].Ce paragraphe est également inspiré des travaux de COUSSY [1989 a,b,c,d ].
11-1 - L'ASPECT MÉCANIQUE
II-l-l Description cinématique de la déformation du squelette
Le milieu à décrire est un milieu poreux déformable au travers duquel s'écoule un fluide, qui le sature. Ce milieu peut donc être considéré comme la superposition de deux milieux continus en interaction, l'un représentant la phase fluide, l'autre le squelette. Il est logique de privilégier la cinématique du squelette et de décrire le mouvement du fluide par rapport à celle-ci, parce que la déformation observable est essentiellement celle du squelette. Il est nécessaire de noter que, dans un milieu poreux naturel, il y a deux types de porosité, occluse et connectée,et dans la suite on considère que le fluide qui sature l'espace poreux occlus fait partie Intégrante du squelette. Le fluide saturant
l'espace interstitiel connecté sera présenté comme l'un des deux milieux continus dans cette description. La Mécanique des Milieux Continus monophasiques pourra être utilisé comme un outil adapté pour la description de la déformation du squelette sous l'action des forces extérieures, surfaciques ou volumiques, et de gradient de pression interstitielle.
On considère un cube élémentaire (ou un volume élémentaire) du solide dans la configuration de référence du squelette (S ), avec une grande taille par rapport à la taille des pores et une petite taille par rapport à l'échelle du problème. Chaque point matériel, à l'instant donné, dans cette configuration a été repéré par son vecteur de position X. Cette hypothèse de la taille de volume élémentaire assure une description continue du milieu poreux considéré, c'est-à-dire que les variations des propriétés physiques sont continues. L'échelle du problème est une notion liée à l'application et non pas intrinsèque. Après la transformation, chaque point matériel du squelette dans la nouvelle configuration, dite configuration actuelle (S), a des nouvelles coordonnées. Chaque point matériel est repéré par le nouveau vecteur de position x. La déformation, localement, peut être décrite par le gradient de la transformation. Dans une description Lagrangienne, la cinématique de la déformation peut être donnée par simple dérivation partielle par le temps, donc la donnée nécessaire pour décrire la cinématique de la déformation, comme cela se fait pour un milieu continu monophasique classique, est le vecteur de la vitesse des points matériels du squelette V(x,t) dans la configuration actuelle à chaque instant, qui sera lié au vecteur de position dans la configuration initiale.
II-l-2-Description du mouvement et conservation de la masse
Afin de donner une description du mouvement pour un milieu poreux, on définit une autre quantité qui est liée au mouvement des particules fluides. On définit le vecteur courant de masse fluide
par rapport au squelette M(x, t), qui représente la quantité de fluide qui traverse une surface élémentaire infinitésimale perpendiculaire à l'axe x dans la configuration actuelle à l'instant t par unité du temps. On peut relier cette quantité à la vitesse relative V (x, t) du fluide par rapport au squelette par :
M(x,t) = np V (z,t) , (IV-1)
où p et n sont la masse volumique du fluide et la porosité dans la configuration actuelle. Le vecteur \f(xf t) est écrit en variable d'Euler. Si l'on introduit le vecteur analogue Langrangien M(X,t) comme :
Mnda= Wnda , (IV-2) o o
où n est la normale extérieure à la surface infinitésimale da dans
o o la configuration initiale, en utilisant des règles élémentaires de
la mécanique, pour la transformation effectuée, on peut écrire :
S> n da = J n da (IV-3) o o
où p est le gradient de la transformation et J est son Jacobien. On a donc:
JV = P.M. (IV-4)
Si l'on considère la masse contenue (m d2) ) dans le volume o o
élémentaire (d3) ) dans la configuration initiale, après la transformation, ce volume (d2)) contient (m + m)d2) ; la conservation
o
de la masse totale dans une description lagrangienne s'écrit alors : (-Â-)Î (m + m)dH = - F W.nda . (IV-5)
ot J o o J
2) 3D o
En reportant (IV-4) dans (IV-5), l'équation de continuité en