Théorèmes d’uniformisation locale plongée via la Conjecture IV.15

Corollaire V.3 — Soient(S, m, k)un anneau local intègre quasi-excellent de caractéristique mixte de corps des fractions L et ν une valuation de L centrée en S et de groupe des valeurs Γ.

Supposons que[k : kp_{] < +∞ainsi que ν(p) 6∈ pΓ, où p=car(k).}

Si la ConjectureIV.15est vraie, alors, ν admet une uniformisation locale plongée au sens de la

PropriétéI.63.

Preuve: On applique le ThéorèmeV.2et le Théorème 1.3 de [NS].



Corollaire V.4 — Soient(S, m, k)un anneau local intègre quasi-excellent de caractéristique mixte de corps des fractions L et ν une valuation de L centrée en S et de groupe des valeurs Γ.

Supposons que[k : kp] < +∞ainsi que ν(p_{) 6∈} pΓ, où p=car(k).

Si la ConjectureIV.15est vraie, alors, pour I un idéal de S, la paire (S, I)admet une uniformi-

sation locale plongée par rapport à ν au sens de la DéfinitionI.61.

Preuve: C’est une application immédiate du CorollaireV.3.



Théorème V.5 — Soit (S, m, k) un anneau local (non nécessairement intègre), quasi- excellent et de caractéristique mixte. Soient P un idéal premier minimal de S et ν une valuation

du corps des fractions de S/P centrée en S/P et de groupe des valeurs Γ.

Supposons que[k : kp_{] < +∞ainsi que ν(p) 6∈ pΓ, où p=car(k).}

Si la ConjectureIV.15est vraie, alors, il existe un éclatement local π : S_→S′_{par rapport à ν tel}

que S′

red soit régulier et Spec(S′)soit normalement plat le long de Spec(S′red), c’est-à-dire que

l’anneau S admet une uniformisation locale par rapport à ν au sens de la PropriétéI.58.

Preuve: La preuve est la même que celle du ThéorèmeIII.22.

Bibliographie

[A1] Shreeram Abhyankar. Local uniformization on algebraic surfaces over ground fields of characteristic

p6=0. Ann. of Math. (2), 63 :491–526, 1956.

[A2] Shreeram Abhyankar. Two notes on formal power series. Proc. Amer. Math. Soc., 7 :903–905, 1956. [A3] Shreeram Abhyankar. Resolution of singularities of embedded algebraic surfaces. Springer Mono-

graphs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, Second edition, 1998.

[AMo] Shreeram Abhyankar et Tzuong Tsieng Moh. Newton-Puiseux expansion and generalized Tschirn-

hausen transformation. I, II. J. Reine Angew. Math., 260 :47–83 ; ibid. 261 (1973), 29–54, 1973. [AMa] M. F. Atiyah et I. G. Macdonald. Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley Publishing

Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont., 1969.

[BM] Edward Bierstone et Pierre D. Milman. Local resolution of singularities. In Real analytic and alge- braic geometry (Trento, 1988), volume 1420 of Lecture Notes in Math., pages 42–64. Springer, Berlin, 1990.

[B] Nicolas Bourbaki. Algèbre commutative : Chapitres 5 à 7. Springer, 2006.

[Ch] Claude Chevalley. Introduction to the Theory of Algebraic Functions of One Variable. Mathematical Surveys, No. VI. American Mathematical Society, New York, N. Y., 1951.

[Co1] Vincent Cossart. Forme normale d’une fonction sur un k-schéma de dimension 3 et de caractéristique

positive. In Géométrie algébrique et applications, I (La Rábida, 1984), volume 22 of Travaux en Cours, pages 1–21. Hermann, Paris, 1987.

[Co2] Vincent Cossart. Contact maximal en caractéristique positive et petite multiplicité. Duke Math. J., 63(1) :57–64, 1991.

[CP1] Vincent Cossart et Olivier Piltant. Resolution of singularities of threefolds in positive characteristic.

I. Reduction to local uniformization on Artin-Schreier and purely inseparable coverings. J. Algebra, 320(3) :1051–1082, 2008.

[CP2] Vincent Cossart et Olivier Piltant. Resolution of singularities of threefolds in positive characteristic.

II. J. Algebra, 321(7) :1836–1976, 2009.

[CP3] Vincent Cossart et Olivier Piltant. Resolution of singularities of threefolds in mixed characteristic :

case of small multiplicity. pages 1-39 ; The final publication is available at www.springerlink.com DOI : 10.1007/s13398-012-0103-5, March 2012.

[Cu1] Steven Dale Cutkosky. Local factorization of birational maps. Adv. Math., 132(2) :167–315, 1997. [Cu2] Steven Dale Cutkosky. Local monomialization and factorization of morphisms. Astérisque, (260),

1999.

[Cu3] Steven Dale Cutkosky. Resolution of singularities, volume 63 of Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, 2004.

[Cu4] Steven Dale Cutkosky. Resolution of singularities for 3-folds in positive characteristic. Amer. J. Math., 131(1) :59–127, 2009.

[CE] Steven Dale Cutkosky et Samar ElHitti. Formal prime ideals of infinite value and their algebraic

resolution. Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (6), 19(3-4) :635–649, 2010.

[CG] Steven Dale Cutkosky et Laura Ghezzi. Completions of valuation rings. In Recent progress in arithmetic and algebraic geometry, volume 386 of Contemp. Math., pages 13–34. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2005.

[EH] Santiago Encinas et Herwig Hauser. Strong resolution of singularities in characteristic zero. Com- ment. Math. Helv., 77(4) :821–845, 2002.

[EV] Santiago Encinas et Orlando Villamayor. A new proof of desingularization over fields of characteristic

zero. In Proceedings of the International Conference on Algebraic Geometry and Singularities (Sevilla, 2001), volume 19, pages 339–353, 2003.

[G1] Alexander Grothendieck. Éléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des mor-

phismes de schémas. I. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., (20) :259, 1964.

[G2] Alexander Grothendieck. Éléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des mor-

phismes de schémas. II. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., (24) :231, 1965.

[HGOAS] F. J. Herrera Govantes, M. A. Olalla Acosta, et M. Spivakovsky. Valuations in algebraic field

extensions. J. Algebra, 312(2) :1033–1074, 2007.

[HGOAST] F. J. Herrera Govantes, M. A. Olalla Acosta, M. Spivakovsky, et B. Teissier. Extending a valuation

centered in a local domain to the formal completion. Proc. London Math. Soc., 105(3) :571–621, 2012. [H1] Heisuke Hironaka. Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero.

I, II. Ann. of Math. (2) 79 (1964), 109–203 ; ibid. (2), 79 :205–326, 1964.

[H2] Heisuke Hironaka. Theory of infinitely near singular points. J. Korean Math. Soc., 40(5) :901–920, 2003.

[ILO] Luc Illusie, Yves Laszlo, et Fabrice Orgogozo. Travaux de Gabber sur l’uniformisation locale et la

cohomologie étale des schemas quasi-excellents. Séminaire à l’École polytechnique 2006–2008., 2012. preprint math.AG/arXiv :1207.3648v1.

[Ka] Irving Kaplansky. Maximal fields with valuations. Duke Math. J., 9 :303–321, 1942.

[Ke] Kiran S. Kedlaya. Power series and p-adic algebraic closures. J. Number Theory, 89(2) :324–339, 2001.

[KK1] Hagen Knaf et Franz-Viktor Kuhlmann. Abhyankar places admit local uniformization in any charac-

teristic. Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), 38(6) :833–846, 2005.

[KK2] Hagen Knaf et Franz-Viktor Kuhlmann. Every place admits local uniformization in a finite extension

of the function field. Adv. Math., 221(2) :428–453, 2009.

[Kr] Wolfgang Krull. Allgemeine Bewertungstheorie. J. Reine Angew. Math., 167 :160–196, 1932. [L] Serge Lang. Algèbre. Sciences Sup. Dunod, 2004.

[LJ] Monique Lejeune-Jalabert. Sur l’équivalence des courbes algébroïdes planes. Coefficients de Newton.

Contribution à l’étude des singularités du point de vue du polygone de Newton. Université de Paris VII, Paris, 1973. Thèse présentée à l’Université Paris VII pour obtenir le grade de Docteur ès-Sciences Mathématiques, Partiellement en collaboration avec Bernard Teissier.

[Mah] Wael Mahboub. Key Polynomials. Journal of Pure and Applied Algebra, 217(6) :989–1006, 2013. [Mat1] Hideyuki Matsumura. Commutative Algebra. Benjamin/Cummings, Reading, Mass., 1980. [Mat2] Hideyuki Matsumura. Commutative ring theory, volume 8 of Cambridge Studies in Advanced

Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 1986.

[Mo] Tzuong Tsieng Moh. On a Newton polygon approach to the uniformization of singularities of characte-

ristic p. In Algebraic geometry and singularities (La Rábida, 1991), volume 134 of Progr. Math., pages 49–93. Birkhäuser, Basel, 1996.

[NS] Josnei Novacoski et Mark Spivakovsky. Reduction of Local Uniformization to the rank one case, 2012. preprint math.AC/arXiv :1204.4751v1.

[P] Bjorn Poonen. Maximally complete fields. Enseign. Math. (2), 39(1-2) :87–106, 1993.

[PP] Patrick Popescu-Pampu. Approximate roots. In Valuation theory and its applications, Vol. II (Saskatoon, SK, 1999), volume 33 of Fields Inst. Commun., pages 285–321. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2003.

[SS] Jean-Christophe San Saturnino. Théorème de Kaplansky effectif pour des valuations de rang 1 centrées

sur des anneaux locaux réguliers et complets. Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 63, 2013. À paraître. [S1] Mark Spivakovsky. Resolution of singularities I : local uniformization of an equicharacteristic quasi-

excellent local domain whose residue field k satisfies[k: kp] <∞.In preparation, 2013.

[S2] Mark Spivakovsky. A solution to Hironaka’s polyhedra game. In Arithmetic and geometry, Vol. II, volume 36 of Progr. Math., pages 419–432. Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1983.

Bibliographie

[S3] Mark Spivakovsky. Valuations in function fields of surfaces. Amer. J. Math, 112 (1) :107–156, 1990. [Tei1] Bernard Teissier. Valuations, deformations, and toric geometry. In Valuation theory and its applica- tions, Vol. II (Saskatoon, SK, 1999), volume 33 of Fields Inst. Commun., pages 361–459. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2003.

[Tei2] Bernard Teissier. Complex curve singularities : a biased introduction. In Singularities in geometry and topology, pages 825–887. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2007.

[Tem1] Michael Temkin. Desingularization of quasi-excellent schemes in characteristic zero. Adv. Math., 219(2) :488–522, 2008.

[Tem2] Michael Temkin. Functorial desingularization of quasi-excellent schemes in characteristic zero : the

nonembedded case. Duke Math. J., 161(11) :2207–2254, 2012.

[Tem3] Michael Temkin. Inseparable local uniformization. J. Algebra, 373 :65–119, 2013.

[Va1] Michel Vaquié. Valuations. In Resolution of singularities (Obergurgl, 1997), volume 181 of Progr. Math., pages 539–590. Birkhäuser, Basel, 2000.

[Va2] Michel Vaquié. Famille admise associée à une valuation de K[x]. In Singularités Franco-Japonaises, volume 10 of Sémin. Congr., pages 391–428. Soc. Math. France, Paris, 2005.

[Va3] Michel Vaquié. Algèbre graduée associée à une valuation de K[x]. In Singularities in geometry and topology 2004, volume 46 of Adv. Stud. Pure Math., pages 259–271. Math. Soc. Japan, Tokyo, 2007.

[Va4] Michel Vaquié. Extension d’une valuation. Trans. Amer. Math. Soc., 359(7) :3439–3481 (electronic), 2007.

[Va5] Michel Vaquié. Famille admissible de valuations et défaut d’une extension. J. Algebra, 311(2) :859– 876, 2007.

[Va6] Michel Vaquié. Extensions de valuation et polygone de Newton. Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 58(7) :2503–2541, 2008.

[Vi] Orlando Villamayor. Constructiveness of Hironaka’s resolution. Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), 22(1) :1–32, 1989.

[W] Jarosław Włodarczyk. Simple Hironaka resolution in characteristic zero. J. Amer. Math. Soc., 18(4) :779–822, 2005.

[Z1] Oscar Zariski. The reduction of the singularities of an algebraic surface. Ann. of Math. (2), 40 :639– 689, 1939.

[Z2] Oscar Zariski. Le problème des modules pour les branches planes. École Polytechnique, Paris, 1973. Cours donné au Centre de Mathématiques de l’École Polytechnique, Paris, Octobre-Novembre 1973. Rédigé par François Kmety et Michel Merle, avec un Appendice de Bernard Teissier. [ZS] Oscar Zariski et Pierre Samuel. Commutative Algebra II. Graduate Texts in Mathematics. Sprin-