Théorème d’ergodicité quantique

Théorème 4.1.1 (Le théorème d’ergodicité quantique de Schnirelman) Pour une dy- namique ergodique, presque toutes les mesures semi-classiques invariantes sont équidistri- buées.

Remarque 4.1.1 La mesure semi-classique invariante est la mesure semi-classique des états stationnaires et donc Minv:semi class peut être égale à la mesure de Lebesgue comme elle peut

être égale à la mesure de Dirac sur une orbite périodique (ou une autre mesure singulière),et le théorème d’ergodicité quantique précédent nous a¢ rme que dans la limite des petites lon- gueurs,presque toutes les ondes stationnaires deviennent équidistribuées sur l’espace de phase c’est à dire que la mesure semi-classique de ces ondes stationnaires est la mesure de lebesgue

4.1 Mesures semi-classiques invariantes 26

mais il faut faire attention au terme presque toutes qui signi…e qu’il peut exister des états sta- tionnaires ayant une mesure semi-classique di¤érente de la mesure de Lebesgue : 6= Lebesgue

e¤ectivement il existe une suite d’états stationnaires dont la distribution de Husimi se concen- trerait sur une orbite périodique dans la limite semi-classique. Ces états ont été appelés des états cicatrisés ,scars par E. Heller suite à des observations numériques dans des billardds).

Intuitivement, l’existence d’une telle mesure localisée est inattendue car le principe d’incer- titude 4q4p h, implique que à h …xé, une distribution de Husimi ne peut pas être pas une distribution de Dirac sur l’espace de phase

CONCLUSION

Le but de ce travaille était de présenter les problématiques générales du chaos quan- tique, en s’appuyant sur un modèle particulier :une application linéaire hyperbolique sur le tore.Quelques résultats présentés ici se généralisent pour d’autres dynamiques chaotiques plus complexes (comme le théorème d’ergodicité quantique).

Cependant, il faut reconnaitre que beaucoup de phénomènes observés en chaos quantique restent incompris. Pour les temps courts jtj tE plus court que le temps d’Ehrenfest où il

n’y a pas d’interférences, l’analyse semi-classique permet de bien décrire la densité spectrale et l’évolution des ondes. Mais cet intervalle de temps est extrèmement court et pour t tE

il n’y a encore que des conjectures.

En…n, nous pouvons dire que les mathématiques sont partout : elles sont au cœur de la science contemporaine, mais aussi à la base d’ innombrables réalisations technologiques et processus industriels, elles fournissent des outils de modélisation et de prévision qui jouent un rôle croissant dans la conduite des a¤aires du monde. Pourtant, cette discipline reste méconnue.

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Résumé

La mécanique quantique est une théorie physique qui décrit les particules élémentaires comme des ondes leur évolution est gouvernée par l’equation de schrodinger au cours du temps,il arrive que le comportement des ondes dans la limite semi classique (qui permet le passage de la mécanique quantique à la mécanique classsique) soit chaotique c’est à cause de la forte sensibilité aux conditions initiales on parle de chaos quantique ou bien on peut dire chaos ondulatoire car l’étude ne concerne pas juste les ondes quantiques

Exemple : En physique, ces études peuvent concerner :

– Une onde sismique piégée dans une vallée sédimentaire de montagne, entourée de massifs montagneux. L 10km, l 100m_{, ~~0; 01.}

– Une onde de vibration (ultra-son) d’un cristal. L ' 10cm, l ' 3mm, ~ ' 0; 03.

– Une onde quantique d’un électron piégé dans un atome (par les forces électrostatiques), ou l’onde d’un atome dans une molécule. L ' 10 10m_{, l ' 10} 11m_{, ~ ' 0; 1.}

– Une onde de surface dans un bassin d’eau.

– Une onde électromagnétique dans un guide d’onde. l ’1 m (lumière) ou l ’1cm (microondes) En mathématique l’objet d’étude est l’equation d’onde sur des variétés riemannienne à courbure négative qui est résponsable de la divergence des trajectoires et l’hyperbolicité du ‡ot

Dans ce travaille on va donner une introduction au chaos quantique à travers des exemples physique et des modèles mathématique trés simples qui sont les applications sur le tore plus exactement on va présenté l’application du chat d’Arnold qui est un automorphisme linéaire hyperbolique du tore et on présentera sa version quanti…ée,on introduira un temps caractéristique important en chaos quantique le temps d’Erhenfest et on étudiera l’évolution temporelle du paquet d’onde.

Un résultat important en chaos quantique est le théorème d’ergodicité quantique de Schnirelman qui précise que pour une dynamique ergodique,dans la limite des petites lon- gueur,presque toute les fonctions propres sont équidistribuées on verra ce théoreme dans la dernière partie.