étendre ces résultats et nous affranchir du caractère strict de ces hypothèses.
Quelques commentaires sur ces résultats s’imposent. La première condition n’est pas sur- prenante si on se rappelle du fameux critère du point d’inflection de Rayleigh [Ray79] pour les équations d’Euler linéarisées en incompressible : un profil instable possède nécessairement un point d’inflection.
On remarque aussi que la seconde condition est équivalente au critère de Fjortoft [Fjo50] :
M′′(y
S) = 0 et M′′(y)(M(y) − M(yS)) ≥ 0, ∀y , yS, (2.11)
qui est une condition suffisante de stabilité, dans le cas incompressible encore une fois. Plus précisément, un profil qui vérifie la deuxième condition de notre théorème, s’il est C2(] − 1, 1[)
vérifie nécessairement la condition de Fjortoft. Nous allons maintenant montrer une sorte de réciproque :
On suppose que M ∈ C2(] − 1, 1[) tel qu’il vérifie le critère de Fjortoft (2.11) : En
intégrant cette dernière égalité entre ySet z ≥ yS on obtient après un simple
calcul :
∀ z ≥ yS, M′(z) M(z) − M(yS)≥
Z z yS
M′(y)2 dy ≥ 0. (2.12)
En intégrant entre z ≤ ySet ySon obtient de la même manière :
∀ z ≤ yS, M′(z) M(z) − M(yS)≤ 0. (2.13) En réunissant (2.11), (2.12) et (2.13) on montre : ∀ z ≥ yS, M′(z)M′′(z) ≥ 0, ∀ z ≤ yS, M′(z)M′′(z) ≤ 0.
En intégrant la première inégalité entre z et z+avec 1 > z ≥ z+ ≥ ySon obtient :
M′(z)2≥ M′(z
+)2, (2.14)
ce qui montre que M′ est de signe constant sur ]y
S, 1[. En effet supposons par
contradiction qu’il existe yS < a < b < 1 tel que M′(a)M′(b) < 0. Puisque M′
est continue cela signifie qu’il existe c ∈]a, b[ tel que M′(c) = 0. On a alors par
(2.14) :
M′(c)2≥ M′(a)2 ⇔ M′(a) = 0,
ce qui constitue une contradiction. On montre de manière similaire que M′est
de signe constant sur ] − 1, yS[.
En conclusion, pour tout z ∈]yS, 1[, puisque M′ est de signe constant et que
M′(z)M′′(z) ≥ 0, alors M′′aussi est de signe constant, et qui plus est de même
signe que M′. Pour tout z ∈] − 1, yS[, puisque M′ est de signe constant et que
M′(z)M′′(z) ≤ 0, alors M′′aussi est de signe constant, et qui plus est de signe
opposé à celui de M′. Finalement, soit M est convexe (ou concave) sur ] − 1, 1[,
soit elle vérifie les hypothèses de la deuxième condition de notre théorème.
peut citer [RV08] (cf. l’annexe) et [SH01] (cf. pages 241-242) dans lesquels les auteurs dérivent un critère de type Rayleigh pour les équations d’Euler linéarisées. Dans [SH01] les auteurs font référence à des travaux de Lees et Lin [LL46] dans lesquels les auteurs dérivent un critère de type Rayleigh. Ils procèdent comme l’a fait Tollmien dans le cas incompressible, en recherchant les modes neutres et en faisant un développement asymptotique autour de ceux-ci pour trouver une instabilité. On peut également citer [Mac84] pour des résultats plus numériques.
Typiquement, le théorème 2.3 prouve la stabilité de profils tels que ceux présentés par la figure 2.11. On peut se demander si ce théorème couvre tous les cas de profils pour lesquels, en les approchant par des profils linéaires par morceaux, ces derniers vérifient les hypothèses du lemme 2.11.
Pour un profil monotone, croissant par exemple, il est clair que pour que la condition (2.9) soit satisfaite, il faut au plus un changement de convexité. En effet (2.10) implique que γj< 0, ∀ 0 <
j < P (resp. γj > 0, ∀ 0 < j < P ) si Mhconcave (resp. convexe) sur [Mj−1, Mj+1]. Puisque γ0 < 0
et γP> 0, pour vérifier (2.9), Mhdonc M est nécessairement soit convexe ou concave, soit concave
puis convexe.
F. 2.11 – Exemples de profils stables, convexe (à gauche), croissant concave puis convexe (à droite). En revanche, en ce qui concerne les profils non monotones, le théorème 2.3 n’est pas du tout exhaustif comme le montre la figure 2.12 qui donne l’exemple d’un profil stable qui n’entre pas dans les conditions du théorème 2.3 mais bien dans celles du lemme 2.11. En effet, dans ce cas P = 1,
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 λ F( λ )
F. 2.12 – Exemple d’un profil périodique stable (à gauche) et la fonction F correspondante (à droite). ce qui est une condition suffisante pour remplir les conditions du lemme 2.11. On a l’intuition que dès qu’un profil sera le périodisé d’un profil stable, alors il sera lui même stable. C’est ce que dit la proposition suivante qui permet elle aussi d’élargir la classe des profils stables :
c’est-à-dire : My + i2 n =M(y), ∀ 0 ≤ i < n et y ∈−1, −1 +n2 .
Si de plus le profil périodisé, défini pour y ∈] − 1, 1[ par N(y) = M y +1
n −1
! ,
est stable (resp. instable), alors M est stable (resp. instable) (au sens de la définition 2.1).
En particulier, si N vérifie les hypothèses du théorème 2.3 (s’il est par exemple continu et convexe ou concave) alors M est stable.
D´. Pour montrer cette proposition, compte tenu du corollaire (2.2), il suffit de montrer que :
FM(λ) = FN(λ),
où FM(resp. FN) est la fonction F définie par (2.5) associée à M (resp. N). Par définition nous avons :
FM(λ) = 12 Z 1 −1 dy λ− M(y)2 , λ∈ D = C \ Im M,
qui compte tenu de la périodicité de M vaut :
n 2 Z −1+2 n −1 dy λ− M(y)2 ,
qui après le changement de variable y = y′+1
n − 1 devient : 1 2 Z 1 −1 dy′ λ− N(y′)2,
qui n’est autre que FN.
2.5 C ’´ ´
Nous allons dans cette partie, à l’image de la précédente, trouver des conditions générales sur le profil qui assurent son caractère instable au sens de la définition 2.1. Pour cela, il suffit d’assurer l’existence d’une solution non réelle à l’équation F(λ) = 1 (cf. corollaire 2.2). Malheureusement, l’analyse du cas général s’avère plus complexe. C’est pourquoi nous nous restreignons dans cette partie au cas particulier des profils antisymétriques (non nécessairement continus), i.e. un profil
Mtel que M(−y) = −M(y) pour tout y ∈ [−1, 1].
Nous allons prouver que dans ce cas la fonction λ 7−→ F(λ) correspondante est réelle sur l’axe imaginaire. Par conséquent, nous pourrons appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à la fonction ν 7−→ F(iν). Cela va nous permettre d’obtenir des conditions suffisantes sur le profil de Mach M(y) entraînant l’existence d’une solution non rélle à l’équation F(λ) = 1, synonyme d’instabilité.
Remarque 2.11 – En remarquant qu’ajouter une constante m au profil (M(y) → M(y) + m) a pour
conséquence une translation du spectre (λ → λ + m), tous les résultats de cette section peuvent faci-
lement être étendus aux profils qui sont antisymétriques à une constante près : M(−y) + M(y) = 2m
pour tout y ∈ [−1, 1]. Pourtant, il existe une différence de taille entre le cas m = 0 et m , 0 : en effet, pour m =0, les instabilités qui sont étudiées dans cette section sont "absolues" (comme défini dans
[HM85]) alors qu’elles sont "convectives" si m ,0.
– Grâce à la remarque 2.8, qui dit que l’ensemble des profils instables est ouvert, si un profil antisy- métrique M(y) est instable, tous les profils suffisamment proche au sens de la norme L∞(] − 1, 1[) de
M(y) sont aussi instables.
– On rappelle également que grâce aux propriétés 2.1 et 2.2 on peut étendre ces résultats à une plus grande classe de profil. La proposition 2.6, que l’on vient de montrer, est elle aussi un outil pour l’extension des résultats.
2.5.1 Une première condition d’instabilité
Nous montrons tout d’abord :
Lemme 2.12 Si M est antisymétrique, alors : 1. ∀ λ < R(M), F(λ) = F(−λ), 2. ∀ ν ∈ R∗, F(iν) ∈ R . D´. En se rappelant que F(λ) = 1 2 Z 1 −1 dy λ− M(y)2 , λ∈ D = C \ Im M,
le changement de variable y → −y nous donne alors la première égalité. Alors en utilisant la relation triviale, F(λ) = F(λ), on obtient pour ν ∈ R∗:
F(iν) = F(−iν) = F(iν) = F(iν), ce qui prouve que F prend des valeurs réelles sur l’axe imaginaire.
Une conséquence de ce lemme est le corollaire suivant, qui sera le principal outil dans la suite de cette section.