Pour tester la cohérence du code sans champ magnétique, nous avons commencé par vérifier la propagation d’un choc dans un milieu homogène. Pour différentes valeurs de uk,1, on peut vérifier dans le tableau B.1 que les résultats numériques correspondent à ceux attendus avec les relations de Rankine-Hugoniot.
Ensuite, nous avons comparé les vitesses de croissance normalisées, Γn = Γ/(Dk), données par le modèle impulsionnel à travers l’équation (1.46), à celles obtenues en calcu- lant la pente des courbes a = f (t) du code pour différentes initialisations. Le tableauB.2
présente trois comparatifs sur une douzaine de cas testés.
Ainsi, dans l’ensemble, les résultats numériques et théoriques sont cohérents. En pré- sence de champ magnétique, ne connaissant pas de taux de croissance de l’instabilité compressible, nous avons simplement vérifié les relations de Rankine-Hugoniot magnéti- sées. L’accord entre les valeurs théoriques des variables en aval de l’onde de choc et celles données par le code LPC-MHD sont identiques à quelques pour mille près.
B.3 Quelques tests de base
Test 1 Test2 Test 3
uk,1 = 500 m.s−1 uk,1 = 104 m.s−1 uk,1= 105 m.s−1 γs= 1, 4 γs= 1, 667 γs= 1, 4
ρ0 = 1, 00 kg.m−3 ρ0 = 4, 00 kg.m−3 ρ0= 0, 20 kg.m−3 p0= 107 Pa p0 = 105 Pa p0 = 106 Pa
Code Théorie Code Théorie Code Théorie
D( m.s−1) 1, 52.103 1, 52.103 1, 33.104 1, 33.104 1, 20.107 1, 20.107 ρ1( kg.m3) 1, 49 1, 49 1, 60.101 1, 60.101 1, 20 1, 19 p1( Pa) 1, 76.106 1, 76.106 5, 34.108 5, 34.108 2, 40.109 2, 40.109
Table B.1 – Tableau des vérifications des relations de Rankine-Hugoniot.
Test 1 Test 2 Test 3
γs 1,10 3,00 3,00
uk,1 5, 05.102 3, 54.104 9, 50
p0 1, 00.106 1, 00.105 1, 00.105
ρg 1, 00 4, 00 1, 00
ρd 4, 00 5, 00.10−1 8, 00
Γn Code Théorie Code Théorie Code Théorie
1, 12.10−1 1, 13.10−1 −3, 20.10−1 −3, 30.10−1 6, 87.10−3 6, 86.10−3
Table B.2 – Tableau des vérifications des taux de croissance normalisés. Les résultats sont exprimés en unités SI.
C
PRÉCISIONS SUR L’UTILISATION DE
HADES
C.1
Résolution maximale dans les calculs
Dans nos calculs, les perturbations du front d’ablation sont initialisées avec des poly- nômes de Legendre Pl(x). Quelques précisions sur leur définition et leur utilisation s’im- posent avant d’aborder la résolution en amplitude et longueur d’onde qui leur est associée.
C.1.1 Les polynômes de Legendre et la géométrie
Figure C.1 – Angles en géo- métrie sphérique.
Le problème que nous voulons étudier est à géométrie sphérique et il consisterait, en trois dimensions, à trou- ver la forme de la surface d’ablation à différents instants. L’ensemble des harmoniques sphériques Ylm(θ, φ) consti- tuent une base de fonctions orthogonales des variables θ et φ (définies selon la figure C.1 par rapport aux directions cartésiennes x, y, z) et sont donc adaptées pour caracté- riser la surface déformée.
Notre étude est cependant en deux dimensions. Nous n’aurons donc accès qu’à un contour d’ablation et nous se- rons seulement en mesure de représenter les configurations en trois dimensions qui présentent une symétrie de révo- lution autour de l’axe z, donc indépendantes de l’angle φ (voir la figureC.1), ce qui se traduit par l’indice m = 0. La caractérisation de la « surface » d’ablation se fera alors par
C.1 Résolution maximale dans les calculs
sont en effet reliées aux fonctions de Legendre Plm par la relation suivante : Ylm(θ, φ) = s (l − m)! (l + m)! P m l (cos θ) eimφ
et pour m = 0, les fonctions de Legendre sont les polynômes de Legendre : Plm=0 = Pl. Ces polynômes ne sont définis que sur [−1, 1], d’où la dépendance en cos θ pour θ entre 0 et π. Chaque Pl(x) est un polynôme d’ordre l en x qui vérifie (i) Pl(1) = 1 et (ii)
R1
−1Pm(x)Pn(x) = 2n+12 δmn, où δmn est le symbol de Kronecker ; on a représenté certains
polynômes sur la figureC.2.
La base n’est pas orthonormée ; on a donc multiplié par (2n + 1)/2 chaque coefficient associé au polynôme de degré n, issu de l’intégration des PnRhs.
Enfin, nos simulations ne prenant en compte que le quart de plan rOz, notre résultat est issu de l’intégration sur la moitié seulement de l’intervalle de définition : [0, 1]. On ne donc prendre en compte que les modes pairs (n = 2k) en multipliant encore par deux le résultat : a2k= (4k + 1) Z 1 0 P2k(x) ˜Rhs(x) dx -1 -0.5 0 0.5 1 x -1 -0.5 0 0.5 1 Pl0 (x) l0 = 4 l0 = 20 l0 = 7 l0 = 35 l0 = 60
Figure C.2 – Quelques polynômes de Legendre.
C.1.2 « Longueur d’onde » et résolution
L’augmentation du numéro de mode l0 correspond évidemment à une augmentation du nombre d’extrémums du polynôme (voir la figureC.2). L’intervalle entre deux extrémums, que nous considérons comme une mesure de « longueur d’onde », diminue naturellement. Ainsi se pose le problème de la résolution de notre maillage vis-à-vis des « longueurs d’onde », de plus en plus faibles à mesure que l0 augmente, car il faut être capable de représenter correctement les différents polynômes pour pouvoir prétendre à une décom- position en modes de Legendre. Pour vérifier notre résolution nous avons tracé sur la
figure C.3 l’écart minimum entre des extrémums de même signe qu’il faut pouvoir ré- soudre. Pour un polynôme de degré l0 = 100, la longueur qu’il faut pouvoir résoudre est d’un peu plus de 3 µm, ce qui nous donne, avec notre résolution de 0, 1 µm, une valeur tout à fait raisonnable d’une vingtaine de mailles de largeur, au minimum (lorsque l’inclinaison est proche de 45˚).
C.1.3 Amplitude des perturbations
Une réflexion parallèle concerne l’amplitude des perturbations. Pour différents modes de Legendre, la figureC.2montre clairement les variations d’amplitude minimale et maxi- male. Nous avons déterminé ces deux amplitudes extrêmes amax et aminpour chaque mode
de Legendre. L’amplitude maximale d’un mode de Legendre est définie comme la moitié de 1 moins1 la valeur du polynôme en son dernier minimum. L’amplitude minimale est le demi écart entre le maximum et le minimum les plus proches de x = 0 (voir figureC.4).
Nous les avons tracé sur la figureC.5pour différents modes de Legendre. Les amplitudes minimales chutent à 0, 1 ce qui donne, avec a0 = 1 µm, des amplitudes crête-à-crête initiales d’au moins 0, 2a0 = 0, 2 µm. À t = 0, on ne pourra donc décrire les amplitudes des polynômes qu’avec quelques mailles au maximum. La résolution de l’amplitude crête- à-crête maximale est toutefois beaucoup plus acceptable avec une dizaine de mailles au minimum à l’initialisation.