Nous presentons les deux tests retenus dans [69]. En complement on consultera [6] et plus parti- culierement [49]. Precisons d'abord les notions de croissance ou decroissance de abilite genera- lement utilisees. On dispose d'une suite de variables aleatoires Xi independantes, representant
les delais entre deux defaillances consecutives. Alors le processus ponctuel (Nt)t0, compteur de defaillances, exhibe une tendance monotone si la suite (Xi)i1 est stochastiquement croissante (ou decroissante) [6], i.e
8i1;j > i;8t >0 IPfXi tg<IPfXj tg (ou IPfXi tg>IPfXj tg):
Ce qui peut s'interpreter simplement en disant qu'un processus de defaillance exhibe une ten- dance monotone, s'il existe une tendance statistique pour lesXisuccessifs a decro^tre (ou cro^tre).
De nombreux modeles de la Section 3 (JM, SW, LV, etc.) reposent sur des distributions des Xi
satisfaisant cette de nition. Cependant dans le cas particulier, mais tres important en abilite du logiciel, ou le processus ponctuel est suppose ^etre un N.H.P.P., la notion de deterioration ou d'amelioration de la abilite peut ^etre directement de nie a l'aide de sa fonction valeur moyenne fM(t);t0g. Ceci est a la base du test dit de super-additivite de Hollander [61].
T1. Test de super-additivite semi-stricte
On a decroissance (resp. croissance) de abilite sur l'intervalle de temps ]0;t0], si la fonction
M(t) est super-additive (resp. sousadditive) semi-stricte, i.e
M(t1) +M(t2)
M(t
1+t2) pour t1;t2 tels que 0< t1+t2 t
ou l'inegalite est stricte pour au moins une paire de nombres (t1;t2).
Ceci peut ^etre interprete de la facon suivante : sur des intervalles de temps ];t1+ ] de m^eme longueur t1, le nombre d'occurrences de defaillances est d'autant plus important (moins impor- tant) que l'instant initial est eloigne (proche de) de 0.
Il s'agit d'un test de l'hypothese nulle \le processus de defaillance est un processus de Poisson homogene" contre l'alternative \les donnees exhibent une tendance monotone" equivalente ici a la fonction valeur moyenne est super-additive (ou sous-additive). Il est donc particulierement adapte a une situation ou la tendance n'est pas monotone pas a pas mais l'est a long terme (ou en moyenne). Cependant sa mise en oeuvre est relativement dicile et le choix des points (t1;t2) est essentiel pour identi er une tendance locale ou globale.
T2. Test de Laplace [33],[6],[48]
Il s'agit de tester l'hypothese nulle precedente contre l'alternative \presence d'une tendance". Sa formulation standard est la suivante. Supposons qu'un logiciel est observe jusqu'a une date
T xee a l'avance. On detecte n defaillances aux instants t1;t2;...;tn avec ti= P
ij=1xj, ou xj represente le delai entre les (j 1)eme etjemedefaillances. Sous l'hypothese nulle et sachant que l'on a observe n defaillances sur [0;T], les fti;i= 1;...;ng, sont des realisations, rangees dans l'ordre croissant, de variables aleatoires independantes et uniformement distribuees sur [0;T] (i.e (t1;t2;
;tn) est une realisation de la statistique d'ordre d'un n-echantillon statistique d'une distribution uniforme sur [0;T]). Alors en appliquant le theoreme central limite, on trouve que la loi de la statistique \coecient ou indicateur de Laplace"
U = 1 n n X i=1 Ti T2 s T2 12n
converge vers une loi normale centree reduite, quandncro^t. L'approximation est donnee comme signi cative a 5% pour n4 [15].
Le signe d'une valeur ude U correspond au signe de la di erence entre le centre statistique (1=n)P
ni=1tiet le milieu de l'intervalle d'observationT=2. Intuitivement, en cas de croissance de abilite, lestiauront tendance en moyenne, a avoir lieu avant le milieu de l'intervalle. Cette crois-
sance (resp. decroissance) est donc caracterisee par un u negatif (resp. positif). Si represente le niveau de signi cation du test, nous avons alors pour les di erentes hypotheses alternatives
1. H1 = \une croissance de abilite" : rejet de l'hypothese nulle au niveau siu < ; 2. H1 = \une decroissance de abilite" : rejet de l'hypothese nulle au niveau si u > ; 3. H1 = \existence d'une tendance" : rejet de l'hypothese nulle au niveau si
juj> . Nous nous interessons ici a la prediction des mesures de abilite. Nous sommes donc confron- tes au probleme d'evaluer dynamiquement la tendance des donnees, c'est a dire d'inclure dans le calcul deu, l'apport d'information due a chaque nouvelle observation d'une defaillance. Pour cela on construit une suite de coecients de Laplace u(k), de nis dans [69] par
u(k) = 1 k 1 k 1 X i=1 ti t2k s t2 k 12(k 1)
(l'intervalle d'observation est [0;tk]): (20)
Les uctuations locales de tendance peuvent ^etre mises en evidence avec l'etude du sens de variation des u(k). Nous savons que si u(k) est positif, il y a decroissance globale de abilite. Mais
si lesu(k) ont tendance a cro^tre, la decroissance s'accentue;
si lesu(k) ont tendance a decro^tre, la decroissance est attenuee par une croissance locale de abilite.
Maintenant siu(k) est negatif, il y a croissance globale de abilite. Mais si lesu(k) ont tendance a decro^tre, la croissance s'accentue;
si lesu(k) ont tendance a cro^tre la croissance est attenuee par une decroissance locale de abilite.
Ces changements locaux de tendances correspondent a des regions d'in exion de la courbe don- nant le nombre cumule de defaillances en fonction du temps. Ce qui est illustre par la gure suivante : Croissance Croissance de abilite de abilite 0 C D B A de abilite Decroissance
Changements locaux de tendance
k uk
Les points d'in exion sont de deux types:
type 1 : transition de A vers B, ce qui est espere durant la phase de test et de validation; type 2 : transition de C vers D qui correspond a une deterioration de la abilite, i.e
croissance du nombre de fautes detectees par unite de temps.
L'occurrence de tels points est provoquee par diverses situations dont voici quelques exemples : 1) elimination de fautes dependantes : certaines fautes non encore detectees emp^echent l'ac-
2) les donnees sont des temps d'isolation de fautes et non de detection. Dans ce cas on inclut dans l'evaluation, les delais entre la detection et la correction des fautes qui sont variables selon le type de faute a identi er [119].
3) des variations du mode d'utilisation, comme par exemple des variations de l'e ort porte au debogage.
4) des changements mineurs des speci cations.
Finalement l'obtention des points d'in exion permet de realiser une partition des donnees en sous ensembles nommes paliers dans [69]. Chaque classe est encadree par des points d'in exion de type 2. Il est clair que le probleme de changement local de tendance doit ^etre plus particulierement examine dans les cas ou on a connaissance de modi cations des conditions de developpement ou operationnelles.
Remarques.
(R1) Dans la pratique, on considere que la abilite est approximativement stabilisee pourjuj<2 [69].
(R2) Une transition de D vers A est synonyme de decroissance de abilite, ce qui n'est pas pris en compte par les modeles classiques. On a alors le choix entre
- ne pas tenir compte de ces donnees, auquel cas le nombre global de donnees doit ^etre susant pour evaluer la s^urete de fonctionnement du logiciel.
- garder ces donnees, auquel cas la qualite des estimations en p^atira.
(R3) Initialement, le test de Laplace a ete concu pour des variables de type inter-defaillance. Son extension pour la variable aleatoire \nombre cumule de defaillances" est donnee dans [69]. L'expression du coecient de Laplaceu(k) devient :
u(k) = 1 Nk k X i=1 (i 1)ni k 2 1 s k2 1 12Nk ;k= 2;...;p;
oupdesigne le nombre total \d'unite de temps",nile nombre de defaillances durant laiemeunite de temps etNk le nombre cumule de defaillances a lakeme \unite de temps" (i.eN
k=P
ki=1ni). Son utilisation est alors identique a celle de la forme (20).
Commentaires.
1. La representation d'une situation de abilite stabilisee (ou absence de tendance) par un processus de defaillance Poisson homogene (H.P.P), est une hypothese assez forte. On consultera [86],[95] pour des justi cations de son utilisation.
2. L'etude de la puissance du test de Laplace et de ses proprietes d'optimalite [48] relativement a de nombreux modeles classiques (GO, MO) justi e pleinement son emploi comme test de tendance. Mais il est generalement impossible de calculer sa puissance sur une alternative autre que le H.P.P. En n, aucune conclusion n'a pu ^etre tiree pour le modele LV connu pour ses bonnes qualites predictives.
3. En n prealablement a l'etape d'analyse de tendance, une recherche de donnees douteuses est preconisee dans [73],[69]. Il s'agit essentiellement d'en tester l'homogeneite. Pour cela, il faudrait ^etre capable de veri er que ces donnees ont ete recueillies dans des conditions representatives du pro l d'utilisation et qu'il n'y a pas eu erreur de mesure pour certaines d'entre elles. En pratique ceci est rarement realisable, ce qui necessite de recourir a des criteres statistiques. On trouvera dans [73],[69] une procedure issue de [4], comparant la moyenne des observations avec chaque donnee. Elle permet d'identi er progressivement les donnees suspectes parmi celles de valeur extremale. Mais ce test n'etant rigoureux que pour une population gaussienne, l'elimination d'une donnee reste sujette a un examen plus approfondi de ses conditions d'apparition. Il est alors conseille d'abandonner cette valeur si elle perturbe veritablement l'analyse de la validite predictive d'un modele.
4. Une analyse de tendance avec le test de Laplace apporte en fait beaucoup plus qu'une aide a l'evaluation de la s^urete de fonctionnement d'un programme [75]. Elle peut constituer un guide ecace pour la gestion du developpement et de la validation d'un produit logiciel. En e et, en utilisant le facteur de Laplace simplement comme un indicateur de tendance (plut^ot que strictement comme un test statistique avec intervalle de con ance), son evo- lution permet de suivre la progression des activites notamment de test et d'en decider la poursuite ou l'arr^et. On consultera [75] pour diverses illustrations.