test prenant en compte les terme de pluie et d’infiltration

Enfin pour finir nous avons appliqu´e le code sur des donn´ees plus r´ealistes. En effet ces donn´ees sont issues d’une exp´erience qui a ´et´e men´ee au Niger en Afrique. Apr´es la construction d’une parcelle inclin´ee, cette exp´erience a consist´e `a mesurer le d´ebit d’eau `a l’exutoire de la parcelle apr`es un r´eel ´ev`enement pluivieux. Les di- mensions de la parcelle sont de 15m en longueur sur 5m en largeur (voir fig.26 ). La parcelle est bord´ee d’un mur de ciment de 150mm de large obligeant ainsi tout l’eau `a s’´ecouler sur cette derni`ere.

D’autres auteurs ont appliqu´e leur modele `a cette exp´erience. C’est le cas de M.Esteves ([3]) qui a eu la gentillesse de nous transmettres les donn´ees portant sur la parcelle ( dimensions, topographie, param`etres d’infiltrations, ...), les donn´ees d’un ´ev`enement pluvieux et les r´esultats de d´ebit mesur´es correspondant `a cet ´evenement.

Ks(m/s) ψ (m) ∆θ 6E-8 1.3795 0.296

Tab. 4 – Param`etres d’infiltration de la parcelle.

0 20 40 60 80 100 120 140 0 500 1000 1500 2000 2500 taux de pluie (mm/s) t(s) pluie du 25/08/1994

Fig. 25 – Ev`enement pluvieux qui a eu lieu le 25/08/1994.

L’ensemble des ces donn´ees nous permettent de faire la simulation d’une telle exp´erience et de calculer le d´ebit `a l’exutoire puis de comparer ce dernier avec le d´ebit mesur´e. On voit sur la fig.27 la superposition des graphes des deux d´ebits. On observe que la courbe du d´ebit simul´e admet plusieurs pics qu’on ne retrouve pas sur la courbe du d´ebit mesur´e. On observe egalement un d´ecalage entre les deux courbes. Ceci peut s’expliquer par le fait que nous n´egligeons ici les termes de frottements.

Fig. 26 – Parcelle .

flux HLL Vol. pluie (m3_{) Vol. infiltr´e (m}3_{) Vol. ruissel´e (m}3 _{V.ruiss+ V.inf(m}3₎

Rusanov 1.8898682 0.748152025 1.0336818248 1.7818338498

HLL 1.8898682 0.748448309 1.09641451 1.844862819

Tab. 5 – Bilan sur l’eau `a la fin de la simulation faite avec les flux de Rusanov et HLL.

N´egliger les frottements implique des vitesses plus elev´ees et donc une sur´evaluation des d´ebits. On retrouve ici encore la diffusion num´erique du flux de Rusanov.

En hydrologie il existe un crit`ere permettant de mesurer l’´ecart entre les valeurs simul´ees `a l’aide du mod`ele et les valeurs mesur´ees. Il s’agit du crit`ere de Nash qui est le coefficient d´efini par la formule suivante :

Nash = 1 − P_T t=1(Qst − Qmt ) P_T t=1(Qmt − Q m ) o`u Qs

t est le d´ebit simul´e `a l’instant t, Qmt est le d´ebit mesur´e `a l’instant t et Q

m est la moyenne des d´ebits mesur´es.

Le crit`ere de Nash prend ses valeurs entre -∞ et 1. Un crit`ere de 1 signifie un ajustement parfait entre donn´ees mesur´ees et les donn´ees de simulation. Un crit`ere n´egatif indique que le mod`ele donne de moins bons r´esultats que l’utilisation de la moyenne de l’´echantillon. On consid`ere g´en´eralement qu’un mod`ele hydrologique donne des r´esultats acceptables si la valeur du crit`ere de Nash est sup´erieure `a 0.8. Nous avons calcul´e ce coefficient `a la fin de la simulation et obtenons une valeurs de 0.81, ce qui signifie que malgr´e l’absence des termes de frottements nous obtenons

-20 0 20 40 60 80 100 120 140 0 500 1000 1500 2000 2500 debit(mm/h) t(s) simule observe pluie

Fig. 27 – R´esultats de la simulation et comparaison avec les r´esultats mesur´es .

Fig. 29 – Repr´esentation de la hauteur d’eau et du champs de vitesse `a t = 1612s.

avec notre mod`ele des r´esultats acceptables qui devraient s’am´eliorer avec la prise en compte des frottements.

6

Conclusion et Perspectives

L’objectif de ce stage ´etait de d´evelopper un code de calcul de ruissellement des flux avec prise en compte du processus d’infiltration. Cette objectif a ´et´e atteint car l’ensemble des r´esultats obtenus ici montre le bon comportement de ce code. Nous avons utilis´e tout au long de ce travail les deux flux num´eriques de Rusanov et HLL. Ceci nous a montr´e que le flux num´erique de Rusanov diffuse num´eriquement plus que le flux HLL. A l’avenir il sera donc pr´ef´erable d’utiliser le flux HLL ou d’impl´ementer un autre flux comme le flux de Roe qui donne des r´esultats encore plus pr´ecis ( voir[14]). Pour simuler des cas plus r´ealistes , la prise en consid´eration des termes de frottements est importante et il faudrait dans un avenir proche les in- clure dans le code, refaire l’exp´erience du paragraphe 5.2.3 et comparer les r´esultats avec les r´esultats mesur´es. Le coeficient de Nash sera normalement am´elior´e. Il sera aussi `a l’avenir int´eressant de modifier le code de tel sorte `a utiliser un maillage adaptatif ou un maillage non-structur´e permettant de mieux g´erer des geom´etries du domaine plus complexes.

Ce stage de six mois a ´et´e pour moi une premi`ere exp´erience professionnelle enrichis- sante. Il m’a permis de d´ecouvrir le monde de l’entreprise et son fonctionnement. Il m’a permis de participer `a un projet et de cˆotoyer des personnes de divers profils professionnels. J’ai d´ecouvert au travers de ce stage l’application du calcul scientique `a l’hydrologie et me suis familiaris´e avec cette dicipline.

R´ef´erences

[1] F. Bouchut, Nonlinear stability of finite volume methods for hyperbolic conser- vation laws, and well-balanced schemes for sources, Frontiers in Mathematics, Birkhauser (2004).

[2] E. Audusse, Mod´elisation hyperbolique et analyse num´erique pour les ´ecoulements en eaux peu profondes, Th`ese, Universit´e Paris VI (2004).

[3] M. Esteves et al., Overland flow and infiltration modelling for small plots during unsteady rain : numerical results versus observed values, J. Hydrol. 228, (2000), 265-282.

[4] C. Gandolfi et F. Savi, A mathematical Model for the coupled simulation of surface runoff and infiltration J. agric., (1999), 49-55.

[5] Mein, R. G. and C. L. Larson, 1973. Modeling Infiltration During a Steady Rain. Water Resour. Res. 9(2) :384-394

[6] Chu,S.T 1978 Inflitration during an unsteady rainfall Water Resources Re- search. 14(3) :461-466.

[7] Jean-claude Chossat, La mesure de la conductivit´e hydraulique dans les sols, choix des m´ethodes, Lavoisier, (2005).

[8] W. Zhang et T.W. Cundy, Modeling of two-dimensional overland flow, Water Resour. Res. 25, (1989), 2019-2035.

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[10] J.M. Hervouet, Hydrodynamique des ´ecoulements `a surface libre, mod´elisation num´erique avec la m´ethode des ´el´ements finis, Presses des Ponts et Chauss´ees, (2003).

[11] James A.Tindall et James R.Kunkel, Unsaturated Zone Hydrology for Scientists and Engineers, PRENTICE HALL, (1999), p.346-367

[12] Carrier GF, Greenspan HP. Water waves of finite amplitude on a sloping beach. J. Fluid Mech.1958 ; 4 :97-109.

[13] A. Valiani, V. Caleffi, A. Zanni,Finite volume scheme for 2d shallow-water equations,63-94

[14] F.Marche Theoretical and Numerical Study of Shallow Water Models. Applica- tions to Nearshore Hydrodynamics, Th`ese,Math´ematiques Appliqu´ees de Bor- deaux.