Chapitre 1 INTRODUCTION
1.4 Terminologie
Dans la suite de ce document, nous utiliserons quelques concepts clefs que nous d´efinissons ici. Principalement, il s’agit de d´ecortiquer la construction d’une solution optimale ´etape par ´
etape. Les mod`eles pr´esent´es au chapitre4ainsi que ceux pr´esent´es dans l’annexeDpage201
reposent tous sur cette d´ecomposition d’une solution optimale.
Reprenons notre exemple introductif de la page8dont la figure1.3repr´esente la construc- tion d’une solution optimale.
p = 0 p = 1 p = 2 p = 3
Cette solution optimale est construite en autant d’´etapes qu’il y a d’arˆetes plus une. Un indice p parcourra les ´etapes 0 `a m. Parce que le d´epˆot est une donn´ee a priori du probl`eme, une ´etape p = 0 permettra d’initialiser la solution, i.e. de faire partir la solution `a partir du d´epˆot donn´e.
1.4.1
Les chemins partiels
D´ecoupons et d´efinissons les diff´erentes parties de la construction d’une solution optimale. Tout d’abord arrˆetons-nous `a une ´etape p donn´ee, c’est-`a-dire juste apr`es qu’une arˆete soit nouvellement desservie. Appelons chemin partiel15 la partie de la tourn´ee jusqu’`a l’arˆete
nouvellement desservie.
D´efinition 4 Un chemin partiel est une partie de la tourn´ee du d´epˆot jusqu’`a et y compris une arˆete nouvellement desservie.
La figure 1.4 repr´esente un chemin partiel pour notre exemple introductif.
p = 2
Figure 1.4 Le chemin partiel de l’´etape p = 2 pour la solution optimale de la figure 1.2.
1.4.2
Les liaisons inter-clients
Nous appellerons les arˆetes parcourues entre deux arˆetes desservies l’une apr`es l’autre, des liaisons inter-clients.
D´efinition 5 Une liaison inter-clients entre deux arˆetes desservies successivement est la partie de la tourn´ee comprise entre ces deux arˆetes.
Le lemme 3 nous permet de d´eduire que dans toute solution optimale, une liaison inter- clients est constitu´ee d’un plus court chemin.
15. A ne pas confondre avec le concept de solution partielle qui sera introduit au chapitre 4 pour les mod`eles L4 et L8.
La figure 1.5 repr´esente la liaison inter-clients `a l’´etape p = 2 pour notre solution opti- male de l’exemple introductif.
p = 2
Figure 1.5 La liaison inter-clients de l’´etape p = 2 pour la solution optimale de la figure1.2.
1.4.3
Les diam`etres
Soit une liaison inter-clients. Si nous lui rajoutons l’arˆete nouvellement desservie, nous obtenons alors ce que nous appelons un diam`etre.
D´efinition 6 Un diam`etre d’un chemin partiel `a une ´etape p est la partie de la tourn´ee qui raccorde le dernier sommet du chemin partiel `a l’´etape p− 1 au dernier sommet du chemin partiel de l’´etape p.
La figure1.6 repr´esente le diam`etre du chemin partiel `a l’´etape p = 2 pour notre solution optimale de l’exemple introductif.
p = 2
Figure 1.6 Le diam`etre de l’´etape p = 2 pour la solution optimale de la figure 1.2.
La figure1.7repr´esente les trois concepts, chemin partiel, liaison inter-clients et diam`etre, ensemble ainsi que les liens entre eux.
arˆete desservie `a l’´etape k liaisons inter-clients `a l’´etape k
diam`etre `a l’´etape k chemin partiel `a l’´etape k
chemin partiel `a l’´etape k− 1
Figure 1.7 La terminologie des solutions. On peut voir une solution r´ealisable comme une alternance d’arˆetes desservies et de liaisons inter-clients. Dans cet exemple-ci, k = 4.
1.4.4
Coˆuts relatifs et cumulatifs
Soit une tourn´ee passant par toutes les arˆetes et traitant celles-ci dans
l’ordre a1,a2, . . . ,ai−1,ai,ai+1, . . . ,an. Comme le d´ecrit la figure 1.8, le temps de fin de ser-
vice de l’arˆete ai est ´egal au temps de fin de service de l’arˆete ai−1 plus la dur´ee pour aller
de ai−1 `a ai plus encore le temps de service de l’arˆete ai. Pour la premi`ere arˆete il s’agit de
son coˆut initial. Ce temps de fin de service d’une arˆete est ce que nous appellerons le coˆut cumulatif d’une arˆete. Nous utiliserons aussi deux autres synonymes pour le coˆut cumula- tif : coˆut r´eel et coˆut effectif. En anglais, on parle de « latency »de l’arˆete, terme que nous reprenons par « latence »en fran¸cais.
Temps de fin de service de ai−1 temps de service
temps de fin de service de ai
temps pour aller de de ai ai−1 `a ai
Figure 1.8 Temps de fin de service d’une arˆete. Temps de fin de service de l’arˆete ai =
temps de fin de service de l’arˆete ai−1 + dur´ee pour aller de ai−1 `a ai + service de ai.
Le coˆut cumulatif d’une arˆete devient dynamique dans le sens o`u il d´epend du chemin suivi pour atteindre l’arˆete. Deux chemins diff´erents aboutissant `a la mˆeme arˆete donneront sans doute des coˆuts cumulatifs diff´erents pour cette arˆete. En fait, le coˆut cumulatif ou latence d’une arˆete n’est rien d’autre que le coˆut d’un chemin partiel d´efini par cette arˆete, c’est-`a-dire le coˆut du plus court chemin pour atteindre cette arˆete auquel nous additionnons le coˆut de l’arˆete.
Le coˆut relatif d’une arˆete quant `a lui est simplement la diff´erence entre le coˆut cumulatif de cette arˆete et le coˆut cumulatif de l’arˆete desservie pr´ec´edemment. Pour la premi`ere arˆete
desservie le coˆut relatif se confond avec son coˆut. L’id´ee du coˆut relatif est de comptabiliser ce que la nouvelle arˆete coˆute vraiment relativement `a l’arˆete desservie pr´ec´edemment. Si nous utilisons notre terminologie, le coˆut relatif d’une arˆete n’est rien d’autre que le coˆut du diam`etre correspondant.
La figure1.9r´esume les diff´erents coˆuts pour l’exemple introductif de la section1.3page8.
Coûts Coûts cumulatifs Coûts relatifs 1 50 1 3 53 1 2 50 1
Figure 1.9 Les diff´erents coˆuts pour l’exemple introductif. Les coˆuts cumulatifs ou latence des arˆetes correspondent aux temps de service depuis le d´ebut de la tourn´ee alors que les coˆuts relatifs des arˆetes correspondent aux coˆuts des diam`etres.
1.4.5
Une fonction objectif cumulative ?
Pourquoi parle-t-on de coˆut cumulatif et du probl`eme du postier chinois cumulatif ? Dans le probl`eme qui nous pr´eoccupe, nous additionnons tous les temps de fin de service et nous essayons de minimiser cette somme. L’addition des fins de temps de service introduit un caract`ere cumulatif dans la fonction objectif. En effet, le coˆut des arˆetes est additionn´e plusieurs fois comme le montre la figure 1.10. Le coˆut cumulatif d’une arˆete r´esulte de l’addition r´ep´et´ee des coˆuts des arˆetes desservies pr´ec´edemment.
1.4.6
Une solution mod`ele
Rappelons que les deux lemmes2et3nous permettent de ne consid´erer que des solutions qui soient telles que
1. une arˆete est desservie avant d’ˆetre parcourue et
2. chaque liaison inter-clients est constitu´ee d’un plus court chemin entre les arˆetes des- servies entre deux ´etapes cons´ecutives et ces plus courts chemins eux-mˆemes sont constitu´es uniquement par des arˆetes d´ej`a desservies.
service de a2 service de a3 fin de service de a3 service de a1 deplacement de fin de service de a2 deplacement de deplacement de service de a1 fin de temps service de a4 a1 `a a2 a2 `a a3 de a3 `a a4
Figure 1.10 Le caract`ere cumulatif du probl`eme. L’aspect cumulatif provient de l’accumu- lation des coˆuts. Par exemple le coˆut associ´e au service de la premi`ere arˆete se retrouve compt´e m fois dans la valeur de la fonction objectif.
Nous appelons de telles solutions des solutions mod`eles. La plupart du temps, les mod`eles pr´esent´es au chapitre 4 ne consid`erent que ce type de solutions.