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Na literatura há inúmeros modelos para o ajuste dos pontos experimentais de uma curva de retenção. Dentre eles o mais conhecido, difundido e amplamente utilizado é o modelo de van Genuchten (1980). No entanto há, como outros exemplos, o de Brooks e Corey (1964) e o apresentado por Kosugi (1994, 1996), também conhecido como modelo log- normal.

O modelo de van Genuchten (1980) para interpolação dos dados experimentais é dado pela seguinte expressão:

θ = θ + (θ −θ )

[1 + (αh) ] (12)

na qual: s é a umidade de saturação da amostra investigada;

r é a umidade residual da amostra investigada;

h é o potencial de sucção aplicado em termos da carga hidráulica; α, n e m são parâmetros de ajustes da expressão.

Em geral a equação analítica proposta por van Genuchten (1980) se ajusta de maneira satisfatória aos pontos experimentais de uma CR, o que é percebido pelos bons valores do coeficiente de determinação (r ) proporcionados pelo ajuste através da utilização do modelo. Ele possui como característica principal a reprodução do comportamento típico observado para as CRs. São elas:

para h → 0 (pontos próximos à saturação); θ ≈ θ + (θ − θ ) = θ

para h → ∞ (pontos de tensões muito altas); para , m e n positivos; θ ≈ θ

3.6 CURVA DE DISTRIBUIÇÃO DE POROS (CDP) VIA FUNÇÃO CAPACIDADE DE ÁGUA (FCA)

A função capacidade de água ou capacidade específica de água no solo como proposta por Prevedello (1996), obtida pela primeira derivada da expressão da CR em relação a h (carga hidráulica) (d/dh), permite uma estimativa indireta da distribuição do tamanho de poros de uma amostra de solo. A expressão da FCA utilizando-se o modelo de van Genuchten para a interpolação dos dados da CR é expressa pela seguinte equação:

dθ

dh=

(θ −θ ). m. n. α. (α. h)

[1 + (α. h) ] (13)

A característica principal da FCA advinda do modelo de van Genuchten é a de apresentar apenas um pico de máximo, referente ao ponto onde ocorre a inflexão no comportamento da primeira derivada da CR (JURY; GARDNER; GARDNER, 1991;

PAGLIAI et al., 1998; LIBARDI, 2005). Um exemplo típico de FCA é apresentado na Figura 5 a seguir.

Figura 5: Função de Capacidade de Água.

Fonte: Adaptada de Libardi (2005).

Para solos pouco agregados, faz parte da estrutura porosa o conjunto de poros que se forma devido ao empacotamento das partículas que formam a amostra. A avaliação do tamanho, configuração e distribuição desses poros é essencialmente impossível devido à complexidade natural de um arranjo poroso, principalmente os naturais.

No entanto, fazendo-se certas suposições, a distribuição de certas categorias de poros (em geral os meso e macroporos do solo) pode ser medida com precisão aceitável (KLUTE, 1986).

As hipóteses que são feitas em relação a uma amostra porosa são: 1) considerá-la como um conjunto de capilares de diferentes tamanhos característicos e 2) a água de um poro desse conjunto, cuja dimensão característica é rp suportará uma tensão h dada por

(REICHARDT; TIMM, 2004; LIBARDI, 2005):

h = 2γ

ρá gr

(14)

na qual  é a tensão superficial da água; g é a aceleração gravitacional; água é a densidade da água;

Portanto, a medição do potencial mátrico da água na amostra permite o cálculo de rp,

o qual, usando a equação 14 chega-se a expressão 15 dada por:

r = 2γ

ρá gh

(15)

A FCA é expressa por f(h) = , e, portanto, sua integração entre os limites h1 e h2

fornece a variação (2 - 1) da umidade da amostra, ao se passar de uma tensão h1 para h2 (h2

> h1).

Ou seja:

f(h)dh = dθ = θ(h ) − θ(h ) (16)

Para se entender o significado desta operação, imaginemos que para h1 todos os

poros de raios maiores do que r1 (fornecido pela equação 4) estejam vazios. Ao se passar para

a tensão h2 ocorre um esvaziamento extra, de poros de tamanhos característicos r menores que

r2 (r2<r<r1). Portanto, a variação da umidade entre esses dois potenciais (2 - 1) é

proporcional ao volume dos poros de raios característicos entre r2 e r1, que são esvaziados

pela alteração da tensão de h1 para h2. De acordo com esse raciocínio, conclui-se que, quanto

maior for a diferença (2 - 1), para uma mesma variação h2 - h1, maior é a quantidade de

poros do solo entre os limites r2 e r1, e vice-versa (LIBARDI, 2005).

Uma das principais desvantagens da FCA obtida através do modelo de vG, seria o fato da mesma apresentar apenas um pico, o qual ocorre no ponto de inflexão da CR, implicando num menor detalhamento da faixa de poros no interior das amostras investigadas.

3.7 MODELO DE YANG PARA A OBTENÇÃO DA CDP

Diversos tipos e formas de análise dos espaços porosos são encontrados na literatura. Tais análises visam inferir sobre propriedades físicas de materiais ou amostras analisadas. Ultimamente, com o aprimoramento dos equipamentos tomográficos, a análise, em resoluções de até poucos micrometros, de seções ou do espaço poroso reconstruído tridimensionalmente vem sendo, em algumas poucas aplicações, utilizada para esta finalidade.

Nesse sentido, Yang et al. (2009) desenvolveram um programa computacional para a simulação da técnica de porosimetria por intrusão de mercúrio, em espaços porosos reconstruídos tridimensionalmente, a partir de imagens tomográficas com resoluções micrométricas.

A Figura 6 exemplifica como ocorre o processo de intrusão de mercúrio no interior de um poro com determinado estrangulamento.

Figura 6: Exemplificação do processo de intrusão de mercúrio no interior de um poro com estrangulamento.

Fonte: Adaptado de Yang et. al. (2009).

De acordo com a equação de Yang-Laplace (equação 17), quanto maior o raio do poro, menor é a pressão que deve ser aplicada para a invasão do espaço poroso pelo mercúrio e vice versa.

R =2σ

P (17)

na qual: R é o raio do poro; σ é a tensão superficial do mercúrio no vácuo; P é a pressão aplicada.

Desta forma, à medida que se aumenta a pressão usada na intrusão, poros de raios cada vez menores são invadidos e o processo se dá, como no exemplo da Figura 6, com o mercúrio invadindo porções cada vez maiores do estrangulamento, ou seja, ocupando inicialmente a porção com raio R1, depois R1<R<R3 e finalmente a porção do poro com raio R3 (R1>R2>R3), o menor deles.

Com o programa de Yang et al. (2009), além de se poder simular esse processo, é possível contabilizar o volume, no caso da análise tridimensional, correspondente a cada raio invadido no processo simulado de intrusão.

I- Ao encontrar o poro de raio inicial R1, exemplificado na Figura 6, o programa o preenche, seção a seção da imagem tridimensional, com uma semiesfera de raio R1, até que o início do estrangulamento ocorra. O programa atribui aos voxels pertencentes a essa porção do poro o valor R1;

II- Ao encontrar o estrangulamento, o raio da semiesfera muda, e o programa identifica a mudança, atribuindo aos pixels dessa nova porção o valor R2, o raio da nova semiesfera; III- Ao longo do estrangulamento, a cada seção ultrapassada, o raio da semiesfera passa a ser algo entre R3 e R1 (R3<R<R1);

IV- E finalmente o raio da semiesfera passa a ser R3;

Contabilizando-se os voxels (elementos unitários de volume da imagem tomográfica) identificados com valores R1 obtém-se o volume do poro cujo raio de curvatura é R1, os voxels identificados com o valor R3 compõem o volume do poro com raio de curvatura R3 e os voxels restantes são correspondentes aos poros com raios de curvaturas entre R1 e R3.

A soma de todos os voxels identificados corresponde ao volume total Vt do poro

analisado. Para saber-se a distribuição dos poros faz-se um gráfico dos Rs identificados contra V(R)/Vt(R) (R3<R<R1), o que representa finalmente a curva de distribuição de poros.

3.8 MODELOS GEOMÉTRICOS PARA A DETERMINAÇÃO DO RAIO DE UM PORO