2.4 Bilan
3.1.2 Temps de trajet en 3D
3.1.2.1 Schémas locaux
Dans le cas de milieux 3D, [Vidale 1990] propose une méthode similaire à ce qu’on a décrit dans les paragraphes précédents. En effet il résout l’équation Eikonal3.14par une approximation des différences finies de premier ordre en se basant sur une grille cartésienne 3D avec des cellules cubiques de côté h, ∂T ∂x 2 +∂T ∂y 2 +∂T ∂z 2 = s (x, y, z)2, (3.14)
avec s (x, y, z) la lenteur de l’onde et (x, y, z) la position dans l’espace.
Vidale utilise 3 schémas locaux dans le cas de la propagation 3D pour estimer les temps de trajet. Chaque opérateur correspond à une situation particulière de la propagation que nous décrirons dans le paragraphe suivant. Dans ce qui suit nous détaillerons un par un les 3 opéra- teurs utilisés pour le calcul des temps de trajet.
Premier opérateur : Dans un cube donné, une fois les temps de propagation connus sur 7
des sommets, le huitième peut être déduit en appliquant les différences finies sur l’équation
3.14 pour obtenir : TC = TDSW B + 1 √ 2 q 6h2s2− (T DSB− TDW B)2− (TDW B− TDSW)2− · · · · · ·(TDSW − TDSB)2− (TB− TS)2− (TS− TW)2− (TW − TB)2, (3.15)
avec TDSW B, TDSB, TDSW, TDBW, TB, TS et TW les temps de propagation connus des points DSWB, DSB, DSW, DBW, B, S, W. Ils sont représentés sur la Figure3.14par des cercles gris. Le temps TC correspondant au point C est lui représenté par un carré noir.
Cet opérateur est le plus utilisé pour la propagation des temps de trajet. Notons aussi que l’expression 3.15 qui est donnée dans [Vidale 1990] est tronquée. En effet, tous les termes d’ordre supérieur à 2 ont été supprimés.
S
DSW
W
C
B
DSWB
DSB
DWB
Figure 3.14 – Premier opérateur local de Vidale en 3D
Deuxième opérateur : Dans ce cas le temps de trajet au point C est déduit de 5 points
appartenant à 2 cubes voisins comme le montre la Figure 3.15. TC est estimé en utilisant
l’équation suivante :
TC = TDW B +
q
2h2s2− 0.5 (T
DSW B − TDN W B)2− (TB− TW)2, (3.16) avec TDW B, TDSW B, TDN W B, TB et TW les temps de propagation sur les point DWB, DSWB, DNWB, B et W respectivement ([Vidale 1990]). La lenteur s dans l’équation3.16 est la moyenne des 12 lenteurs définies sur les sommets des deux cubes de la Figure 3.15.
W
C
DNWB
B
DSWB
DWB
Figure 3.15 – Deuxième opérateur local de Vidale en 3D
Troisième opérateur : Comme le montre la figure3.16, cet opérateur, comme le deuxième opérateur, utilise 5 points de grille pour estimer le temps de propagation TC au point C,
TC = TW + h s − 0.25 (TD − TD ) − (TD − TD ) , (3.17)
avec TDW T, TDW B, TDN W, TDSW et TW les temps de propagation sur les point DWT, DWB, DNW, DSW et W respectivement [Vidale 1990]. La lenteur s dans l’équation3.17 est la moyenne des 18 lenteurs définies sur les sommets des 4 cubes de la Figure 3.16.
C
DWB
W
DNW
DWT
DSW
Figure 3.16 – Troisième opérateur local de Vidale en 3D
Dans cette partie nous venons de développer les différents opérateurs utilisés pas Vidale pour estimer les temps de trajet de l’onde sismique dans un milieu hétérogène isotrope. Cette méth- ode se base essentiellement sur la discrétisation de l’équation Eikonal 3.1et3.14 en utilisant la méthode des différences finies. Vidale utilise deux opérateurs locaux pour les modèles en 2D et 3 pour les modèles 3D dont l’utilisation dépend du schéma de propagation des temps de trajet. Notons aussi que les lenteurs et les temps de propagation sont définis aux mêmes points sur une grille cartésienne carrée (cubique pour les modèles en 3D) de dimension fixe h.
Dans la partie suivante nous allons décrire le calcul global des temps de trajet 3D. C’est la façon avec laquelle ces temps sont propagés depuis la source jusqu’à couvrir toute la grille des temps en choisissant à chaque itération un ou plusieurs opérateurs locaux décrits plus haut.
3.1.2.2 Propagation des temps de trajet
Quand il s’agit des modèles 3D, Vidale utilise le même principe que la 2D. Il s’agit là aussi d’une propagation des temps de trajets de la source vers le reste du modèle. Dans ce cas il s’agit
de cubes centrés sur la position de la source et qui augmentent de côté au fur et à mesure que les temps sont propagés dans le milieu. Un cube est composé de 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets qui sont traités séparément. En premier lieu les temps sur les faces sont calculés puis les arêtes et enfin les 8 coins sont considérés avant de passer au cube de rang supérieur. L’ordre dans lequel les faces sont traitées est aléatoire puisqu’on suppose qu’elle sont indépendantes [Vidale 1990].
Considérons une des 6 faces d’un cube. Le calcul des temps de trajet se divise en 5 étapes comme suit :
1- Sur la face appartenant au cube inférieur on tri les points en fonction de leur temps de trajet par ordre croissant.
2- À partir du point de temps minimal on calcule le voisin direct sur la face considérée en utilisant l’équation3.17.
3- Le reste des points est calculé par l’équation 3.15 si les temps de trajet nécessaires sont connus. Dans le cas contraire l’équation 3.16est utilisée.
4- Une fois le calcul des temps de trajets effectué sur les 6 faces du cube, les 12 arêtes sont calculées un utilisant les schémas des Figures 3.14et3.15.
5- Enfin, les 8 points des sommets du cube sont calculés en utilisant l’équation3.15. Les calculs du cube étant terminés le cube suivant est considéré. Ces itérations sont répétées jusqu’à ce que le tout le modèle soit couvert.
Dans les parties 3.1.2.1 et3.1.2.2 nous avons décrit le schéma de propagation des temps de trajet pour les modèles en 2D et 3D. La méthode de Vidale pour le calcul des temps de premières arrivée dans les modèles 2D et 3D reste l’une des méthodes les plus utilisées. Néanmoins, elle recèle quelques désavantages.
Dans la section suivante nous allons discuter les inconvénients des schémas locaux utilisés par Vidale pour le calcul des temps de trajets ainsi que la méthode de propagation.