7.3 Tapis roulant et comptage
Considérons le processus de maturation/survie (Xt) introduit précédemment, avec vitesse de maturation ρ et fonction d’élimination κ : R × [0,1] → R+. La maturation a lieu pendant une durée déterministe τ. Une particule qui débute sa maturation au tempsT peut soit mourir avec probabilité1−p(T)soit survivre avec probabilité p(T) et finir sa maturation au temps T +τ. Maintenant, considérons des particules indépendantes qui débutent leur maturation aux tempsT0, T1, . . . Ces particules survivent avec probabilités p(T0), p(T1), . . ., et achèvent leur maturation aux temps M0 = T0 +τ, M1 = T1 +τ, . . . à condition que les probabilités p(Ti) soient non nulles. Les durées de survie après maturation sont des variables aléatoires indépendantes de taux commun µ:R+ →R+ oùµ(t) :=κ(t,1). Supposons que les temps initiaux T0, T1, . . . sont aléatoires et distribuées selon un processus ponctuel de Poisson indépendant sur R d’intensité λ : R → R+. Pour tout t > 0, soit Nt le nombre de particules matures encore en vie à l’instantt. Le résultat suivant est un corollaire des résultats précédents.
Théorème 7.3.1. Pour tout 06s6t et tout m∈N,
L(Nt|Ns=m) = B(m, α(s, t))∗ P(β(s, t)), où
α(s, t) := exp
− Z t
s
µ(w)dw
et
β(s, t) :=
Z t−τ s−τ
λ(u) exp
− Z τ
0
g(u+w, ρw)dw
α(u+τ, t)du.
En particulier, pour tout 06s6t et tout m∈N,
E(Nt|Ns=m) = mα(s, t) +β(s, t). (7.2) Le processus(Nt)t>0 n’est rien d’autre qu’une file d’attente M/M/∞inhomogène en temps. Lorsqueg ≡0 etµ est constant, on a p≡1, et (Nt)t>0 devient alors une file d’attente M/M/∞d’intensités constantesλetµ. Lorsque de plusλest constant, la loi de PoissonP(λ/µ)est invariante et symétrique (et donc réversible).
Le rôle joué par la file M/M/∞dans ce modèle est du au fait que les particules sont indépendantes. L’adjonction d’une interaction entre particules, avant, pendant, ou après maturation conduirait à un processus de comptage différent, dont les taux ne sont pas affine.
Remarque 7.3.2 (Valeurs négatives de κ et amplification). L’expression de β donnée ci-dessus fait encore sens lorsqueκprend des valeurs négatives sur l’intervalle[0,1).
Dans ce cas, la quantité p(u) = exp −Rτ
0 g(u+w, ρw)dw
peut dépasser 1 et ne peut donc plus être interprétée comme une probabilité de survie. De telles valeurs négatives de κ peuvent être vues comme une sorte d’amplification de l’intensité d’arrivée, par opposition à l’élimination, et peuvent être par conséquent incorporées àλ.
Cas sans élimination après maturation
Supposons queµ≡0(pas d’élimination après maturation). Dans ce cas,α(s, t) = 0pour tout 06s 6t, et la formule exprimant β(s, t) devient
β(s, t) = Z t−τ
s−τ
λ(u) exp
− Z τ
0
g(u+w, ρw)dw
du.
Dans ce cas,t ∈R+7→β(s, t) est croissante puisque la fonction intégrée ne dépend pas det. Cela n’est pas surprenant car les particules ne sont pas tuées après matu-ration. Ainsi, sur l’événement {Ns = 0}, le processus t ∈ R+ 7→ Mt est croissant, et en particulier sa valeur moyenne β(s, t) est croissante également. Lorsque λ est constant etg ≡0, on retrouve le processus de Poisson simple de comptage des tops, d’intensitéλ.
Cas sans élimination pendant maturation
Supposons que g ≡ 0 (pas d’élimination pendant maturation). Dans ce cas, la formule exprimant β(s, t) pour06s6t devient
β(s, t) = Z t−τ
s−τ
λ(u)α(u+τ, t)du.
Lorsque de plusλ etµsont constants, on retrouve la file d’attente M/M/∞ homo-gène en temps d’intensitésλ et µ, pour laquelle
α(s, t) =e−(t−s)µ and β(s, t) = 1−e−(t−s)µλ
µ. (7.3)
La loi P(λ/µ) est invariante et symétrique (et donc réversible) pour(Nt)t>0.
Élimination partielle pendant maturation et constante après maturation Considérons à présent le cas particulier où λest constant et oùκest de la forme k(t, x) = g(t)I[0,δ)(x) +µI{1}(x), (7.4) où δ ∈ [0,1], µ ∈ R+, et où g : R+ → R+ est une fonction lisse. Il correspond à une élimination qui dépend du temps avant le stade de maturation δ, et à une élimination constante après maturation. Il n’y a pas d’élimination pour les stades de maturation après δ. La formule pour β(s, t) lorsque 06s6t devient
β(s, t) =λ Z t−τ
s−τ
exp
−µ(t−τ −u)− Z δτ
0
g(u+w)dw
du. (7.5)
Lorsqueg ≡0, on retrouve la file d’attente M/M/∞homogène en temps. Supposons a contrario que g ne s’annule qu’à l’infini. Dans ce cas, les deux formules (7.5) et (7.3) pour β se confondent lorsque t tends vers ∞. En particulier, la loi de Poisson P(λ/µ) est une loi stationnaire de (Nt)t>0.
7.3. TAPIS ROULANT ET COMPTAGE 109 Identifiabilité et invariance par certaines transformations
La dynamique de N := (Nt)t>0 est complètement décrite par le quadruple (τ, µ, g, λ), oùτ := 1/ρ. Il est naturel de s’intéresser à l’injectivité de la fonctionnelle
(τ, µ, g, λ)7→ L(N|N0).
En vertu du théorème 7.3.1, la loi L(N|N0) est complètement déterminée par le triplet(τ, µ, λg), où λg :R→R+ est définie par
λg(t) :=λ(t)p(t) = λ(t) exp
− Z τ
0
g(t+w, ρw)dw
.
Par conséquent, le couple (λ, g) ne peut pas être identifié, car il agit sur la loi du processus à travers l’alliage λg. L’action de g peut être compensée par λ et vice versa. Supposons par exemple que g s’écrit g =g1+g2, où g1 et g2 sont positives.
Alors les modèles correspondants respectivement à(τ, µ, g, λ)et à(τ, µ, g2, λg1)sont indistinguables. Le cas extrême correspond à(τ, µ,0, λg), pour lequel l’intégralité de la fonction d’éliminationg est intégrée dans l’intensité d’arrivée λ.
Analysons quelques cas particuliers. Pour tout θ >1, considérons la transforma-tion qui remplace (λ, g)par (λθ, gθ) défini par
λθ :=θλ et gθ :=g+ρ log(θ).
La fonction µ et le paramètre ρ sont inchangés, et on peut vérifier que λθgθ = λg. Par conséquent, la dynamique est invariante par cette transformation, et les deux modèles correspondant à(τ, µ, g, λ)et(τ, µ, gθ, λθ) sont indistinguables, malgré leur interprétation différente. Une perturbation multiplicative de l’intensité d’arrivée λ correspond à une perturbation additive de la fonction d’élimination pendant ma-turation g. Cela suggère de normaliser la paramétrisation en prenant par exemple λ≡1.
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