Taille des morceaux de fibres

Remarquons qu’à priori,ϕn’admet pas de relevé à_Rd. Le sous groupe ∆_µ est appelé

image résiduelledu cocycle σ. On a de plus ∆_µĎE_µcocompact ([5], proposition 15.8). On énonce maintenant le théorème local limite sous les hypothèse où E_µ “ _R^d et il existe une fonction continue ϕ_r0 : suppν₀ Ñ _R^d telle que pour tout g P supp µ,

xPsupp ν₀ on a

σpg, xq mod ∆_µ“ϕ_r0pxq ´ϕ_r0pgxq mod ∆_µ

La première hypothèse garantit que la matrice de covariance Φ_µ:“cov_µbν0pσ₀q PM_dp_Rq

est symétrique définie positive, et induit donc un produit scalaire sur _Rd. C’est en particulier un produit scalaire sur la composante neutre ∆_µ,0 de ∆_µ (qui est un sous-espace vectoriel de _R^d). On note π_µ la mesure de Haar sur ∆_µ qui donne le poids 1 aux cubes unités de Φ_µ|∆µ,0. Dans le cas où ∆_µ est discret, il s’agit de la mesure de comptage. La mesure intervenant dans le théorème local limite est une moyenne de translatés deπµ, définie pourC Ď_R^d mesurable, par :

Π_µpCq:_“

ż

X

πµpC`ϕ0r pxqqdν0pxq

On peut enfin énoncer un théorème local limite avec déviations modérées. Une dé-monstration se trouve dans [5] (theorem 16.1).

Théorème 7.1. Fixons une partie convexe bornée C _ĎRd et une constante R _ą0. On se donne un point x P supp ν₀, une suite de vecteurs pv_nq P p_R^dqN telle que ||v_n||Φµ ď

R^?nlogn pour tout ně1. Alors on a la convergence :

p2πnq^d2e2¹n||vn||²_Φ

µµ‹n

pg PΓ, σpg, xq ´nσ_µP C`v<sub>n</sub>q ´Π<sub>µ</sub>pC`v_n`nσ_µ´ϕ_r0pxqq Ñ

nÑ`80

De plus, cette convergence est uniforme en le point x _P suppν₀ et en la suite pv_nq satisfaisant l’hypothèse de domination (avec R fixé au préalable.)

7.2 Taille des morceaux de fibres

On revient au cadre de la marche sur _T^dˆ_R. On se donne µ P PpSL_dp_Zqq une probabilité à support fini engendrant un sous semi-groupe ΓĎSLdp_Zqdont l’adhérence de Zariski G :_“ ΓsZ

Ď SLdp_Rq est semi-simple, et χ : Γ _{Ñ R} un morphisme de semi-groupes tel que la probabilité image χ_‹µ _P P_pRq est centrée. Pour prouver la dérive exponentielle, on pourra toujours se ramener au cas où µ_pe_{q ą} 0 (qui implique que µ

est apériodique dansF :_“G_{G_c) etχ_ı0. On fera donc ces hypothèses, qui simplifient les énoncés et les preuves dans la suite.

On reprend les notations de la section 4. Nous allons appliquer les rappels précédents à la variété drapeauP :“G{P_cmunie de l’action de Γ par translation, les morphismes

s : Γ _Ñ F, f : P Ñ F désignant les projections canoniques dans F. L’application f

est bien continue Γ-équivariante.

L’action de Γ sur P est µ-contractante au dessus de F (cf. [5], 13.2), on note

ν_P P PpPq l’unique probabilité µ-stationnaire sur P. Soit aF :“ tx P a, F.x “ xu

le sous espace vectoriel de a fixé par F, σ : GˆP Ñ a le cocycle d’Iwasawa, σ_F :“

1

|F|Σ_fPFf.σ :GˆP ÑaF son projeté sur aF. On introduit

σ_F,χ: ΓˆP Ña^F ˆ_R, pg, xq ÞÑ pσ_Fpg, xq, χpgqq

Alorsσ_F,χ est un cocycle continu dont les fonctionspσ_F,χqsup etpσ_F,χqlip sontµ-presque sûrement bornées (car c’est le cas pour σ, cf [5], 13.1). De plus, comme le vecteur de Lyapunovσ_µ :“µbν_Ppσq Pa^F estF-invariant et comme la probabilitéχ_‹µest centrée, la moyenne pσ_F,χqµ:“µbν_Ppσ_F,χq deσ_F,χ est donnée par pσ_F,χqµ“ pσ_µ,0q.

On va prouver un théorème local limite pourσF,χ. La première étape sera de démon-trer le lemme suivant :

Lemme 7.2. Pour le cocycle σ_F,χ:G_ˆP ÑaF

ˆ_R, nous avons : • E_µ“aF

ˆR.

• Si χĘpΓq “ _R, alors ∆_µ “aF ˆ_R.

• Si χpΓq Ď _R est discret, alors ∆_µ“aF ˆkχpΓq pour un certain k ě1.

Notons l :“dim_Ra^F, fixons une fois pour toute Π_µP MRad

pa^F ˆ_Rq une mesure de Haar sura^FˆχĘpΓ_q, ainsi qu’une norme sura,. Nous déduirons du lemme précédent que quitte à normaliser Π_µ, on a un théorème local limite avec déviations modérées pour le cocycleσ_F,χ :

Théorème 7.3(TLL pour_Td

ˆR). Fixons des parties convexes bornéesU _ĎaF,I _ĎR et une constanteR ą0. On se donne un point xPsuppν_P, et des suites pu_nq P paFqN,

pt_nq P_RN telles que ||a_n||,|t_n| ďR^?nlogn pour toutn ě1. Alors on a la convergence :

p2πnq^l`2¹e2¹n||pun,tnq||²_Φµ

µ‹n

pg PΓ, σ_Fpg, xq´nσ_µP U`u<sub>n</sub>, χpgq PI`t_nq´Π_µpUˆI`t_nq Ñ

nÑ`80

De plus, cette convergence est uniforme en le point x P suppν_P et en les suites

Preuve du lemme 7.2

On montre d’abord que l’hypothèseµpeq ą0 simplifie la caractérisation de ∆_µ. C’est un phénomène général, on reprend donc momentanément les notations de 7.1.

Lemme 7.4 (“v “0, g PΓ”). Supposons que supp µ engendre Γ comme semi-groupe, et µpeq ą 0. Alors ∆_µ est le plus petit sous-groupe fermé ∆ _{Ď R}d tel qu’il existe une application continue ϕ:supp ν_{0 ÑR}d

{∆ vérifiant pour tout g _PΓ, x_Psupp ν₀ : σ_pg, x_q mod ∆_“ϕ_px_{q ´}ϕ_pgx_q

Démonstration. Il est clair qu’un tel sous groupe ∆ vérifie la propriété pour laquelle ∆_µ est un minorant global (définie dans le rappel). On a donc ∆ Ě ∆_µ. Par ailleurs, ∆_µ lui même vérifie la propriété du lemme. En effet, par définition, il existe une fonction continue ϕ : supp ν₀ Ñ _R^d{∆_µ et une constante v P _R^d{∆_µ pour lesquels, pour tout

g Psupp µ, xPsupp ν₀ on a

σpg, xq mod ∆_µ“v`ϕpxq ´ϕpgxq

Appliqué eng “e Psupp µ, on obtient que v “0. On en déduit alors par la propriété de cocycle et le fait que supp ν0 est Γ-invariant que σpg, xq mod ∆ _“ ϕpxq ´ϕpgxq

pour toutg _PΓ, x_Psupp ν₀

On revient au cadre de la section 7.2. En particulier,σ désigne le cocycle d’Iwasawa. Lemme 7.5 (Apériodicité d’un projeté du cocycle d’Iwasawa). Soit b Ď a un sous-espace vectoriel etp:aÑb un projecteur surb. Alors pour le cocyclep˝σ:GˆP Ñb, nous avons

∆_µpp˝σq “E_µpp˝σq “b C’est en particulier le cas pour le cocycle projeté σ_F.

Démonstration. Remarquons que p˝σ est bien un cocycle continu dont les fonctions

pp ˝σqlip et pp ˝σqsup sont µ-presque sûrement bornées. Les notations ∆µpp˝σq et

Eµpp˝σq ont donc bien un sens. Le reste est une conséquence de l’apériodicité du cocycle d’Iwasawa (voir [4], proposition 17.1). En effet, soit ∆ _Ď b un sous groupe fermé et ϕ : supp ν_{P Ñ} b_{∆ une fonction continue telle que pour tout g _P supp Γ,

x_Psupp ν_P on a

p˝σpg, xq mod ∆“ϕpxq ´ϕpgxq

Alors, pour tout g Psupp Γ, xPsupp ν_P on a

σpg, xq mod Ker p`∆“ϕpxq ´ϕpgxq

où on voitϕcomme une fonction à valeurs dansa{pKer p`∆q ”b{∆. On en déduit que Kerp`∆Ě∆pσq “ apuis que ∆ “b.

Lemme 7.6. On a l’inclusion : aF

ˆ t0_{u Ď} ∆_µ

Démonstration. L’idée est de restreindre σ_F,χ en un cocycle pour lequel χ “ 0 puis d’utiliser l’apériodicité d’un projeté du cocycle d’Iwasawa. La difficulté est que Γ n’est pas un groupe à priori mais seulement un semi-groupe, si bien que l’ensemble d’an-nulation _tχ _“ 0_u pourrait être trivial, et ce même en sachant que Γ est Zariski-dense dans G semi-simple (considérer par exemple : G _“ SL_2pRq, Γ _Ď SL_2pRq semi-groupe Zariski-dense, librement engendré par deux élémentsa₀, a₁et définirχtel queχ_pa_{0q “} 1,

χ_pa_{1q “ ´}^?2).

Pour contourner cette difficulté, on note tg₁, . . . , g_su :“ supp µ, on introduit L :“ xa₁, . . . , a_sy le groupe libre à s générateurs a₁, . . . , a_s, on pose µ_L PPpLqla probabilité surLdonnée par µ_Lpa_iq “µpg_iq et on fait agir L sur la variété drapeau P via le mor-phisme de groupesLÑG, a_i ÞÑg_i. Comme les marches sur P données par pL, µ_Lq et

pΓ, µq coïncident, on a en particulier que ∆_µL “∆_µ. Dans la suite, on notera abusive-ment ΓĎL le sous semi-groupe de L engendré para₁, . . . , a_s, xΓy “L et χ:xΓy Ñ_R

le morphisme défini parχpa_iq “ χpg_iq.

D’après le lemme 7.4, il existe une application continueϕ: supp ν_P Ñ pa^Fˆ_Rq{∆µ

vérifiant pour tout g PΓ, xPsupp ν_P :

pσ_Fpg, x_q, χ_pg_qq mod ∆_µ“ϕ_px_{q ´}ϕ_pgx_q (_˚) En remplaçant x par g´1x, on obtient

p´σ_Fpg´1, xq, χpgqq mod ∆_µ“ϕpg´1xq ´ϕpxq

puis, ∆_µ étant stable par passage à l’opposé :

pσ_Fpg´1, x_q, χ_pg´1

qq mod ∆_{µ “}ϕ_px_{q ´}ϕ_pg´1x_q

Ainsi la relation p˚q est également satisfaite pour g´1, puis finalement pour tout

g P xΓy, x P supp ν_P. Considérons le sous groupe Γ₀ :“ tχ “ 0u Ď xΓy. Il contient le sous groupe dérivé rxΓy,xΓys. Sa réalisation dans G (via le morphisme L Ñ G) a donc pour adhérence de Zariski un sous groupe G₀ qui contient rG, Gs, et est en particulier d’indice fini dansG(qui est semi-simple). On se donne une probabilité µ₀ P

PpΓ0q à support fini engendrant un sous groupe Zariski dense dans G0, et apériodique dans F0 :_“ G0{Gc. La marche _pΓ0, µ0q est ainsi contractante sur P0 :_“ G0{Pc au dessus deF₀, d’unique probabilité stationnaire notée ν_{P0 P} P_pP0q. On note ∆_{µ0 Ď}aF

l’image résiduelle du cocycle _pσ_{F,χq|Γ0ˆP0}. Comme supp ν_{P Ď} P est _xΓ_y-invariant, il est en particulier Γ₀-invariant, donc supp ν_{P0 Ď}supp ν_P. La relation _p˚qentraine alors l’inclusion : ∆_{µ0 Ď}∆_µ.

Il suffit donc de vérifier que ∆_µ0 “ aF ˆ t0u pour terminer la preuve. Comme Impσ_F,χq|Γ0ˆP0 Ď aF ˆ t0u, on a par minimalité que ∆_µ0 Ď aF ˆ t0u, si bien que ∆_µ0 “ ∆ˆ t0u où ∆ Ď aF est un sous groupe fermé de aF. Mais ∆ contient l’image essentielle de pσ_Fq|Γ0ˆP0 pour la µ₀-marche, donc ∆“aF d’après le lemme 7.5, ce qui conclut.

Corollaire 7.7. E_{µ “}aF

ˆR. Démonstration. Rappelons que

E_µ:“Vect_Rtpσ_Fpg, xq ´σ_µ, χpgqq, g Psuppµ, x Psuppν_Pu

C’est un sous espace vectoriel de aF ˆ_R qui contient ∆_µ donc aF ˆ t0u. Par ailleurs, commeχ est non trivial par hypothèse,E_µ n’est pas inclus dans a^F ˆ t0u. Finalement

E_µ“a^F ˆ_R.

Corollaire 7.8.

Si χĘ_pΓ_{q “R}, alors ∆_µ“aF

ˆ_R. Si χ_pΓ_{q ĎR} est discret, alors ∆_{µ “}aF

ˆkχ_pΓ_q pour un certain k _ě1. Démonstration. ∆_µ est un sous groupe fermé cocompact de E_{µ “} aF

ˆR et contient

aFˆ t0u. Il est donc de la forme ∆_µ“aFˆ_Rou ∆_µ“aFˆc_Zpour un cą0. Comme ∆_µ ĎaFˆĘχpΓqpar minimalité, on obtient directement l’expression de ∆_µ lorsqueχpΓq

est discret. On traite maintenant le cas où χpΓq est dense dans _R en supposant par l’absurde que ∆_µ“a^F ˆc_Z pour uncą0.

Par définition de ∆_µ, il existe une fonction continue ϕ: supp ν_P Ñ_R{c_Z telle que pour toutg PΓ, xPsupp ν_P

χpgq mod c_Z“ϕpxq ´ϕpgxq

On enrichit cette égalité en reprenant le groupe L introduit dans la preuve du lemme 7.6. Comme montré alors, la relation précédente est valable pour tout g _P L,

x _P supp ν_P. On obtient en particulier pour tout g _{P r}L, L_s, x _P supp ν_P, l’égalité

ϕpxq “ϕpgxq.

On en déduit queϕest constante sur chaque composante connexe deP. Considérons le sous groupe Γ1

c:“ xΓXG_cydeG_cgénéré par ΓXG_cet son groupe dérivérΓ1

c,Γ1

cs ĎΓ1

c. Le paragraphe précédent implique que ϕ est invariante sous l’action de rΓ1

c,Γ1

cs. On se ramène ainsi à vérifier que rΓ1

c,Γ1

cs agit minimalement sur chaque composante f X

supp ν_P oùf PF. Notons Pc:“G_c{P_c et Λ_Γ1

c ĎPc l’ensemble limite associé au sous groupe Zariski-dense Γ1

c Ď Gc. On trouve dans [4] la description suivante : supp ν_P “ >fPFΛ_Γ1

cf. Par ailleurs _rΓ1

c,Γ1

cs est aussi Zariski-dense dans Gc (en se rappelant que G

est semi-simple), et a même ensemble limite que Γ1

c (étant distingué dans Γ1

c). Il agit donc minimalement sur les composantesf _Xsupp ν_{P “}Λ_Γ1

cf ce qui prouve le résultat annoncé.

Finalement, on conclut que χ est à valeurs dans un nombre fini de translatés dec_Z

Preuve du théorème 7.3

L’enjeu de la preuve est de montrer qu’on peut choisir la fonction ϕ_r0 qui apparait dans le théorème local limite à valeurs dans a^F ˆχĘpΓq et de sorte que la mesure Π_µ qu’elle induit est une mesure de Haar sura^FˆχĘpΓ_q. On conclut alors par une application directe du théorème 7.1, avecC :_“U_ˆI et v_n:_“u_n`t_n.

Supposons χ_pΓ_q dense dans _R. D’après le lemme 7.2, on peut choisir la fonction ϕ_r0

identiquement nulle, et la mesure Π_µ induite coïncide alors avec π_µ, i.e. est la mesure de Haar sur aF ˆ_R qui donne masse 1 aux cubes unités de ∆_µ,0.

Supposons χpΓq discret dans _R. On peut supposer χpΓq “ _Z. On commence par construire une bonne fonction ϕ_r0. Le lemme 7.2, combiné au lemme 7.4, donne l’exis-tence d’une fonction continue ϕ : supp ν_P Ñ _R{k_Z telle que pour g P supp Γ,

xPsupp ν_P on a χpgq modk_Z“ϕpxq ´ϕpgxq.

En raisonnant comme dans la preuve du corollaire 7.8, on constate queϕest constante sur chaque composante f Xsupp ν_P où f P F. On peut donc relever ϕ en une fonc-tion ϕ_r : P Ñ _R localement constante telle que pour tout g P Γ, x P P, on ait χpgq

modk_{Z “} ϕ_rpx_{q ´}ϕ_rpgx_q mod k_Z. Quitte à imposer ϕ_{r|Pc “} 0, on peut supposer ϕ_r à valeurs dans χ_pΓ_{q “Z}. On pose ϕ_r0 : P ÑaF

ˆ_R, x_{ÞÑ p}0,ϕ_rpx_qq, fonction localement constante telle que pour toutg _P G,x_PP,

σ_F,χpg, xq mod ∆_µ“ϕ_r0pxq ´ϕ_r0pgxq mod ∆_µ

Notons leb_aF la mesure de Lebesgue sur aF donnant masse 1 aux cubes unités de Φ_µ|aFˆt0u. On a par définitionπ_µ:“leb_aFb^ř_jPkZδ_j, puis Π_µ “leb_aFb_|F¹_|^ř_fPF^ř_jPkZδ_j´ϕrpfq.

De plus, pour g PΓ, on a Π_µt.´ p0, χpgqqu “leb_aF b 1 |F| ÿ fPF ÿ jPk_Z δj´ϕrpfq`χpgq “leb_aF b 1 |F| ÿ fPF ÿ jPk_Z δj´ϕrpgfq “Π_µ

La mesure Π_µ est donc χpΓ_q-invariante, i.e. de la forme Π_{µ “}cleb_aF b^ř_jPZδj pour un

cą0.

8 Loi des angles et contrôle de la dérive

Reprenons le schéma de preuve de la dérive exponentielle expliqué à la fin de la section 4. On dispose de points c _{“ p}b, z, O, x_q, c_{p “ p}b, z, O, x<sub>`</sub>u<sub>pq P</sub>B` où u_{p P R}d, est très petit, et agit sur la coordonnée en_Td. C’est le terme de dérive. Pourn_ě0, nous avons vu dans la section précédente que lesn-fibres passant parcetc_p sont paramétrées par Γn. Etant donné a P Γn, les points des n-fibres correspondants diffèrent seulement d’un nouveau terme de dérive, donné par : D_n,c,cppaq “ a₁. . . a_nb´1

n . . . b´1

1 u_p P _R^d. L’objectif de cette section est de contrôler la norme et la direction de la dérive pour n

grand, lorsqu’on ne voit les fibres qu’à travers une fenêtreW ĎB` de mesure finie. On montrera notamment que la norme croît exponentiellement avecn, justifiant le nom de dérive exponentielle.

La section (8.1) introduit une notion de points de densité et explique comment ils conditionnent la croissance de la norme et la contraction des directions dans une représentation.

La section (8.2) décrit la loi asymptotique de ces points de densité. La section (8.3) est un préliminaire technique à la section (8.4).

La section (8.4) décrit la loi asymptotique des points de densité le long des morceaux de fibres : c’est la loi des angles.

La section (8.5) décrit la divergence de la projection de Cartan le long des morceaux de fibres.

La section (8.6) conclut en démontrant les théorèmes de contrôle annoncés.

A partir de la sectionp8.4q, les énoncés deviendront plus complexes. Pour les alléger, on utilisera la notation “Soit c P B` β`-typique” pour signifier que les propriétés qui suivent sont valables pour β`-presque tout point cPB`.

8.1 Points de densité

Soit G un sous groupe algébrique réel semi-simple (implicitement linéaire, on spéci-fiera plus tard G “Γs^Z ĎSLdp_Rq). On se donne pour G des objets K, a, A, Σ, Π, P,

P “G{Pc, etc. comme dans les rappels algébriques de la section 4. On réaliseGvia un plongement GãÑSL_pV_0q, où V₀ est un _R-espace vectoriel de dimension finie. On peut munir V₀ d’un produit scalaire _x., ._y tel que K _Ď O_pV_0q, A _Ď Sym_pV_0q ([5], 8.9). En considérant la décomposition de Cartan, on constate que le groupe G est alors stable par transposition : G_“ tG.

Rappelons que la décomposition de Cartan introduite dans la section 4 est donnée par l’égalité G “ Kexppa`qK<sub>c</sub>. Cependant, nous aurions très bien pu considérer la décomposition dualeG“K<sub>c</sub>exppa`qK. Cette dernière fournit une notion de projection de Cartan κ1 liée à κ via l’action de F : si g P G, κ1pgq “ f_g.κpgq où G Ñ F, f ÞÑ f_g

est la projection canonique. Nous allons définir des points de densité pour ces deux décompositions et voir comment ils sont liés par l’action deF.

Soit g _PG. La décomposition de Cartan permet d’écrire g sous la forme

g “k_g^cm_gexppx_gql_g^c

oùkc g, lc

g PK_c, m_g P M “KXP,x_g Pa`.

On a alors automatiquement une décomposition duale de g et des décompositions detg via les égalités :

g “k^c_gexppf_g.x_gqm_gl_g^c

t

g “ pl_g^cq^´1m^´_g¹exppfg.xgqpk^c_gq^´1

tg _{“ p}l_g^c_q´1exp_px_gqm´1

g pk_g^c_q´1

On choisit alors pour tout g _P G, une décomposition g _“kc

gm_gexp_px_gqlc

g comme ci dessus de sorte que la fonctiong _{ÞÑ p}kc

g, m_g, x_g, lc

gq soit mesurable et compatible avec la transposition :pk^ctg, mtg, xtg, l^ctgq “ pl_g^cq^´1, m´1

g , f_g.x_g,pk_g^cq^´1q. On définit alors les points de densité annoncés en notantξ₀ :“Pc{PcP P le drapeau standard et en posant :

ξ` g :<sub>“</sub>k<sub>g</sub><sup>c</sup>m<sub>g</sub>ξ<sub>0</sub>, ξ´ g :<sub>“ p</sub>m<sub>g</sub>l<sub>g</sub><sup>c</sup><sub>q</sub>´1ξ<sub>0</sub>, η` g :_“k_g^cξ₀, η´ g :_{“ p}l^c_gq´1ξ₀ On a ξ` g , ξ´ g P P, η` g , η´ g P Pc “G_c{P_c et les relations ξ` g “η` g f_g, ξ´ g “ η´ g f´1 g . De plus, la compatibilité des décompositions choisies entraine queξ`

tg “ξ´

g ,η`

tg “η´

g. Soit _pV, ρ_q une représentation algébrique irréductible de G_c, r :_“ dim_proxρ_pG_cq sa dimension proximale, ω _P a‹ son plus haut poids. On note _pW, ρ_q :_“ Ind^G_G

cpV, ρ_q sa représentation induite (voir _p4.1_q). On munit W d’un “bon” produit scalaire i.e. choisi tel que ρ_pK_{q Ď} O_pW_q, ρ_pA_{q Ď} Sym_pW_q et les sous espaces _pVf

qfPF décomposant W

sont deux à eux orthogonaux. On se donne g P G, v P V et on veut estimer la norme et la direction ρpgqv PV. Cela est possible lorsque v est suffisament éloigné d’un sous-espace vectoriel V´

g Ď V. Plus précisément, on note VU :“ tv P V, ρpUqv “ vu (sous espace propre du plus haut poids ω de ρ, de dimension r), et on pose :

W`

g :“ρpk^c_gm_gqV^U P_GrpWq, V´

g :“ ppl^c_gq^´1V^Uq^KXV P_Gn´rpVq

On peut les appeler respectivementespace attracteur etespace répulsif deρpgqdans

W. Ils sont liés au points de densités ξ`

g et η´

g : en notant ξ ÞÑ Vξ le morphisme

G-équivariant de P dans _GrpW_q vérifiant V_{ξ0 “} VU (voir 4.1), on a W`

g “ V_ξ`

g ,

V´

g “VK

η^´g XV. On remarquera que les intersections avecV dans les définitions de V´

g

sont là pour garantir que V´

g ne rencontre aucun autre sous-espace V^f Ď W que V, autrement dit on considère l’orthogonal au sein deV et non de W.

Lemme 8.1(Croissance et contraction). Supposons la représentaitonρ_pG_cqnon bornée dans SL_pV_q (ou de manière équivalente r _ă dimV). Alors pour, g _P G, v _P V _{´ t}0_u, on a : • eωpκpgqq||v||dp_Rv, V´ g q ď ||ρpgqv|| ďeωpκpgqq||v|| • d_pρ_pg_qRv, W` g q ď _dp ¹ Rv,Vg^´qmax_αPΠe´αpκpgqq

Remarque 8.2. 1q Le terme eωpκpgqq n’est autre que ||ρpgq|V|| (cf. lemme 4.5). Le pre-mier point compare donc ||ρpgqv|| et ||ρpgq|V|| ||v||.

2qOn pourrait formuler un lemme similaire contrôlantρpgqwpourwP Vfg^´1, à l’aide de V_η`

g , V_ξ´

g .

3q La distance sur l’espace projectif _PpWq est donnée par dp_Rw,_Rw1q:“ _||^||_w^w_||||^{^w}_w¹1^||||, et siE ĎW est un sous-espace vectoriel, on définit dp_Rw, Eq:“inf_Rw1ĎEdp_Rw,_Rw1q.

4qLe lemme 8.1 reste vrai lorsqu’on remplace V etW par une même représentation fortement irréductible V de G, munie d’un produit scalaire K-invariant tel que les éléments de A sont auto-adjoints. Les espaces attractif et répulsif de g PG sont définis de même par V` g :“V<sub>ξ</sub>` gp“ V_η` gq, V´ g :“VK η^´gp“ VK

ξg^´q. La version fortement irréductible se déduit du lemme précédent en utilisant l’application Ψ du lemme 4.4.

Démonstration. En remarquant quek_gm_g n’intervient pas dans les inégalités et quitte à remplacerv par _plc

gq^´1v, on pourra supposer queg _“a_Pexp_pa`

q. Par abus de notation, on écriraVK ξ0 pour désignerVK ξ0 XV. On décomposera v _PV env _“v_0`vK 0 oùv_{0 P}V_ξ0, vK 0 PVK ξ0.

Le premier point demande de vérifier que ||ρpaqv|| ě eωpκpaqq||v||dp_Rv, VK

ξ0q. On a

dp_Rv, VK

ξ0q “ ^||_||^v_v^0||_||. Par ailleurs, en remarquant que ρpaq stabilise V_ξ0 etVK

ξ0, on obtient

||ρpaqv|| ě ||ρpaqv₀|| “ eωpκpaqq||v₀|| “ eωpκpaqq||v||dp_Rv, VK

ξ0q. Cela prouve le premier point.

Le deuxième point demande de vérifier quedpρpaq_Rv, V_ξ0q ď _dpRv,V¹ K

ξ₀qmax_αPΠe´αpκpaqq. On a d_pRv, VK

ξ0q “ ^||_||^v_v^0||_|| De même, comme ρ_pa_q stabilise V_ξ0 et VK

ξ0, on peut écrire

dpρpaq_Rv, V_ξ0q “ ^||ρpaqv

K

0||

||ρpaqv|| . On veut donc montrer que

||ρpaqvK 0|| ||ρ_pa_qv_|| ||v₀|| ||v_|| ^ďmaxαPΠ e´αpκpaqq Mais ||ρpaqv|| ě ||ρpaqv₀|| “e^ωpκpaqq ||v₀|| donc ^||v0|| ||ρpaqv|| ď e´ωpκpaqq. Notons ω_i P a‹, i P I

les poids de la représentation pV, ρ_|Gcqautres que ω. Comme ρpG_cq n’est pas borné, on ar:“dim_proxρpG_cq ă dimV donc I ‰ H. Par définition du plus haut poids, on a pour

tout i _P I, l’écriture ω_´ω_{i “} ř

αPΠk_α,iα où k_{α,i P N}. Décomposons vK

0 en vecteurs propres vK

0 “ ^ř_iPIvK

0,i avec ρ_pa_qvK

0,i “ eωipκpaqqvK

0,i et les v_0,i deux à deux orthogonaux (quitte à en choisir certains nuls pour qu’il n’y en ait qu’un par valeur propre). Alors

||e´ωpκpaqqρpaqvK 0||² “^ÿ iPI e´2pω´ωiqpκpaqq ||vK 0,i||² ďmax αPΠ e´2αpκpaqq^ÿ iPI ||vK 0,i||² car I _{‰ H} et κ_pa_{q P} a`. Comme ř iPI||vK

0,i||² ď ||v_||2, on obtient finalement que

||ρpaqvK

0|| ||ρpaqv||

||v0||

||v|| ďmax_αPΠe´αpκpaqq, prouvant le point 2.

Dans la suite on revient au cadre de la marche sur _T^dˆ_R correspondant àV_{0 “R}d,

G :_“ sΓZ

Ď SL_pV_0q, groupe semi-simple, non borné, fortement irréductible sur V₀. Le dernier lemme montre que la dérive a₁. . . a_nb´1

n . . . b´1

1 u_{p P} V₀ est contrôlée par la position de l’espace répulsif_pV_0q´

a1...an par rapport àb´1

n . . . b´1

1 u_p, et par les évaluations

αpκpa₁. . . a_nqq P _R`. La section est essentiellement consacrée à décrire la distribution des espaces répulsifspV<sub>0</sub>q<sup>´</sup><sub>a1...an</sub>. Cet objectif sera atteint à travers la loi des angles. On montrera aussi que les αpκpa<sub>1</sub>. . . a<sub>n</sub>qq tendent vers `8, puis les théorèmes de contrôle annoncés.

Dans le document Mesures de Radon stationnaires pour une marche aléatoire sur T^d times R (Page 42-51)