I. Groupes de Lie r´eels et groupes alg´ebriques sur C
S´eance du 8/11/07 . . . 1
1. Groupes de Lie . . . 1
1.1. Vari´et´es diff´erentiables . . . 1
1.2. «Rappels»de calcul diff´erentiel . . . 5
1.3. Espace tangent en un point `a une sous-vari´et´e deRN . . . 8
1.4. Sous-vari´et´es d´efinies par des ´equations de rang constant . . . 11
1.5. Composante connexe d’un groupe topologique . . . 14
I. Groupes de Lie r´eels (suite) S´eance du 9/11/07 . . . 17
1.6. D´erivations et champs de vecteurs . . . 17
1.7. Alg`ebre de Lie d’un groupe de Lie . . . 27
I. Groupes de Lie r´eels (suite) S´eance du 15/11/07 . . . 31
2. Groupes et alg`ebres de Lie . . . 31
2.1. Le cas de GLn . . . 31
2.2. Un «rappel»sur espaces tangents et diff´erentielles . . . 33
2.3. Sous-groupes de Lie ferm´es . . . 34
2.4. Repr´esentations . . . 38
2.5. Champs de vecteurs et flots . . . 42
2.6. Exponentielle d’un groupe de Lie . . . 44
2.7. G-vari´et´es et repr´esentations d’isotropie . . . 47
2.8. Action adjointe . . . 48
I. Groupes de Lie r´eels (suite) S´eance du 16/11/07 . . . 49
2.8. Action adjointe, suite . . . 49
2.9. Sous-groupes et sous-alg`ebres de Lie . . . 52
2.10. Sous-groupes ferm´es d’un groupe de Lie . . . 55
2.11. Le yoga des -zateurs . . . 58
I. Groupes de Lie r´eels (suite) S´eance du 22/11/07 . . . 63
2.12. Morphismes de groupes et d’alg`ebres de Lie . . . 63
2.13. Revˆetement universel d’un groupe de Lie semi-simple compact 68 I. Groupes de Lie r´eels (suite) S´eance du 23/11/07 . . . 71
3. Alg`ebres de Lie semi-simples compactes ou complexes . . . 71
3.1. Automorphismes et d´erivations . . . 71
3.2. R-alg`ebres de Lie semi-simples . . . 72
3.3. Groupes de Lie semi-simples 1-connexes . . . 73
3.4. Int´egration invariante et groupes de Lie compacts . . . 75
3.5. Groupes et alg`ebres de Lie semi-simples compacts . . . 78
3.6. Alg`ebres de Lie semi-simples compactes . . . 79
3.7. Extension et restriction des scalaires . . . 81
4. Formes r´eelles d´eploy´ees ou bien compactes . . . 83
4.1. Bases de Chevalley . . . 84
4.2. Formes d´eploy´ees . . . 87
4.3. Formes compactes . . . 89
4.4. Astuce unitaire de Weyl . . . 90
I. Groupes de Lie r´eels (suite) Semaine 4 : s´eances du 29 et 30/11/07 . . . 93
5. Involutions et d´ecompositions de Cartan . . . 93
5.1. Conjugaison par rapport `a une forme r´eelle . . . 93
5.2. Existence d’une d´ecomposition de Cartan . . . 95
5.3. Conjugaison des formes compactes et d´ecompositions de Cartan 97 5.4. Correspondance entre formes r´eelles et involutions deg . . . 98
5.5. R-alg`ebres de Lie absolument simples . . . 101
5.6. Aper¸cu de la classification . . . 103
II. Groupes alg´ebriques sur C Semaine 5 : s´eances du 7 et 10/12/07 . . . 107
6. Vari´et´es et groupes alg´ebriques affines . . . 107
6.1. Vari´et´es alg´ebriques affines : point de vue «concret» . . . 107
6.2. Groupes alg´ebriques affines . . . 112
6.3. Th´eor`eme des z´eros et premi`eres cons´equences . . . 112
TABLE DES MATI`ERES iii
6.4. Vari´et´es alg´ebriques affines : point de vue «abstrait» . . . 115
6.5. Morphismes : la bijectionφ7→φ] . . . 121
7. Groupes alg´ebriques affines et alg`ebres de Hopf . . . 122
7.1. Alg`ebres de Hopf . . . 122
7.2. Exemples du point de vue Hopf . . . 126
7.3. Cog`ebres et comodules . . . 126
7.4. Repr´esentations rationnelles des groupes alg´ebriques affines . . . 128
7.5. Lin´earit´e des groupes alg´ebriques affines . . . 132
7.6. G-vari´et´e affines . . . 133
8. Composantes irr´eductibles, dimension, morphismes de groupes alg´ebriques . . . 134
8.1. Espaces noeth´eriens et composantes irr´eductibles . . . 135
8.2. Dimension et th´eor`eme de Chevalley . . . 138
8.3. Composante neutre . . . 140
8.4. Morphismes de groupes alg´ebriques . . . 141
II. Groupes alg´ebriques sur C S´eances du 12 et 13/12/07 . . . 143
9. Vari´et´es alg´ebriques non n´ecessairement affines . . . 143
9.1. Motivation . . . 143
9.2. Vari´et´es alg´ebriques quasi-affines . . . 143
9.3. Vari´et´es alg´ebriques «abstraites» . . . 146
9.4. Compl´ements sur les vari´et´es alg´ebriques . . . 150
9.5. Corps des fonctions rationnelles et th´eor`eme de Chevalley . . . 152
10. Action sur une vari´et´e, vari´et´es homog`enes . . . 153
10.1. Action sur une vari´et´e, stabilisateurs et orbites . . . 153
10.2. Morphismes s´eparables et morphismes birationnels . . . 155
10.3. Vari´et´es homog`enes : d´efinition et premiers r´esultats . . . 157
10.4. Le th´eor`eme des semi-invariants de Chevalley . . . 159
10.5. Caract`eres, lemme de Dedekind . . . 161
10.6. Quotient par un sous-groupe ferm´e normal . . . 162
Bibliographie . . . iv
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