f~,, TA tip ~< c'llTIIIsuppoax)

ff]c+2/n

(I)

Ce qui p r o u v e que T e s t de masse finie au voisinage de f~c.

Remarque. (2) L a finitude de la masse suffit p o u r dire que T se prolonge en un c o u r a n t positif sur f~.

(2) L'in6galit6 (I) m o n t r e si T e s t d6fini dans [2 et support de T e s t c o m p a c t alors T=0. Cette propri6t6 d6coule aussi de la formule du type L e l o n g - J e n s e n d6montr6 r 6 c e m m e n t p a r H e n r i S k o d a [28].

(3) Si on r e m p l a c e ~ c par un c o m p a c t K q u e l c o n q u e de ff~ alors T n ' e s t pas en g6n6ral de masse finie c o m m e le m o n t r e l ' e x e m p l e simple suivant.

Dans C 2 consid6rons K={(z~,z2)EC2; z2=0 et Izd=0 ou

Iz,l=l/n,

n 6 N + } . P o s o n s T , = l e c o u r a n t d'int6gration sur l ' e n s e m b l e analytique de C 2 \ K d6fini par {(Zl, z2) E C 2, z2=0 et 1/(n+ 1)<lzll<l/n }. L e c o u r a n t T=Enn2T, est positif ferm6 dans C 2 \ K de masse non b o r n 6 e au voisinage de K.

THI~ORI~ME IV.2. Soit A un ensemble ferm~ pluripolaire complet dans un ouvert strictement pseudo convexe f~ de C" et K un compact inclus dans A. Soit T u n courant positif ferm~ dans ~ \ K tel que 2qa\/r Alors T se prolonge en un courant positif ferm~ dans Q.

D~monstration. I re ~tape. M o n t r o n s que T e s t de masse finie au voisinage de K.

Soit u' une f o n c t i o n p l u r i s o u s h a r m o n i q u e dans f2 telle que A = { z E f ~ ; u ' ( z ) = - ~ } . Quitte ~ se r e s t r e i n d r e h u n o u v e r t Q ' c c f ~ strictement p s e u d o c o n v e x e c o n t e n a n t K on peut s u p p o s e r qu'il existe une fonction u plurisousharmonique dans f2' v6rifiant

(1) A f l ~ ' = { z E Q ' ; u ( z ) = - ~ }

(2) e - " est continue' dans ~ ' et u~<0 dans f ] ' . P o u r la c o n s t r u c t i o n de u (cf. Proposition II.2).

Soit q~ une f o n c t i o n strictement p l u r i s o u s h a r m o n i q u e continue et exhaustive dans f~' et c u n n o m b r e r~el v6rifiant c = s u p {q~(z), z E K}.

Consid6rons

u n sup( c o)

Puisque cp est exhaustive il en r6sulte qu'il existe s tel que u , = q ~ - c - 1 / n sur f 2 ' \ f ~ " pour tout n. Consid6rons K , = {z E f~';u,(z)=0}. D'apr6s la d6monstration de la proposition I V . l , il existe une constante C ind6pendante de n telle que

IITll~,\~n<C.

Ce qui montre que IlTll~'\An~ze ~.,~<z)<-c~ est fini. Or on a IITIIA\K=O. En d6finitive on a

IITII~,\K

est fini.

2 e ~tape. Construction du prolongement. Soit T ' = ~ Q \ A . D'apr6s la premi6re 6tape T' est de masse localement finie au voisinage de chaque point de A. D'apr%s le th6or6me II. I l'extension triviale /~', de T' par z6ro au dessus de A est un courant positif ferm6 dans f2. Puisque / 1 A \ K = 0 il en r6sulte que /~' coincide avec l'extension triviale T (qui existe d'apr6s le premi6re 6tape) de T par z6ro au-dessus de A, donc 7" est un courant positif ferm6 dans Q qui coincide avec T sur Q \ K .

COROLLAIRE IV.3. Soit K un compact pluripolaire complet dans un ouvert f2 de C". Soit T u n courant positif f e r m ( dans f ~ \ K .

Alors T se prolonge en un courant positif ferm~ dans Q.

D~monstration. E n vertu du th6or6me IV.2 ci-dessus il suffit de montrer qu'il existe un ouvert f2' strictement pseudo-convexe tel q u ' o n ait : K c c ~ 2 ' c c Q . Soit u une fonction plurisousharmonique dans f2 teUe q u ' o n ait :

K = {z E [2; u(z) = -oo }.

Soit if2" un ouvert relativement compact dans {z E f2; u(z)<0} tel que Kcf2". Pour tout ~E af2" (bord de Q") il existe un entier n tel que ( I / n ) u ( ~ ) > - l . Pour e assez petit ((1/n)u)~a,=ue est une fonction continue et v6rifie u e < - 2 sur K alors que u g > - I dans un voisinage Vg de ~, Puisque as est compact il existe donc un entier N tel que

q9 = SUp{U~/; i = 1 . . . N} + 1

est plurisousharmonique dans [2", positive au voisinage de Of 2" et r pour tout z 6 K . Pour a > 0 assez petit, {z 6 f2"; ~o(z)+allzll2< - 1/2} est un ouvert pseudo-convexe contenant K.

Ce corollaire et le th6or6me sont d ' a u t a n t plus importants q u ' o n sait aujourd'hui construire plusieurs exemples d'ensembles pluripolaires complets et compacts. En exploitant une id6e de A. Sadullaev [cf. 23] on va construire un ensemble A pluripolaire complet compact dans C 2 tel que sa mesure de H a u s d o r f f de dimension 2 est infinie. En effet soit K un c o m p a c t polynomialement convexe contenu dans le disque A de centre 0

4 2 H. EL MIR

et de rayon I de C. Soit Ko une suite de compacts polynornialement convexes contenus dans A tel q u e / ~ , ~ K o + l et

K=t'l,,Ko

et pour tout n i l existe un polyn6me Po d'une variable tel que

et

IPo(z)l ~<

e -2 pour z E Kn

]Po(z)l/>e

2 pour

zt~Ko_l.

Soit co une suite d'entiers qui cro~t rapidement vers + w dans un sens qui va 6tre pr6cis6 dans la suite. Posons

f(z) = 2 e,, (z)

C n et A t={(z,to)EC2;

z E K

et t o = f (z)}.

Pour un choix convenable de la suite (col le compact A1 sera pluripolaire complet. En effet posons ct--l, et par r6currence supposons qu'on ait choisi ct ... co, consid6rons alors :

fn(z, t o ) = ~ P~' et ctn= sup{logtf,(z)-tol; (z, t o ) E A •

i=l

On choisit cn+z un entier tel que

Cn+l>,.--2n+lsup(ct ... Co, an).

La suite c~ 6tant ainsi d6termin6e, posons :

Q~(z, t o ) = s u p ~ ' ~ (log I f , ( z ) - t o l - a , ) , - I } .

[ 2 a .

Les fonctions Qo sont plurisousharmoniques n~gatives dans A• Si

(z, to)EAl

on a

Ifn(z)-tol=lf~(z)-f(z)l<-.E~>n e -2q.

Puisque C k + l ~ 2 k + l c k e t c~+ll>2"+la~, il en r6sulte que

IL(z)-tol ~< e-2~

donc Qo(z, t o ) = - 1 pour tout n. Ainsi la fonction

O(z,

to)=Eo~ 0,(z, to) vaut -or sur A1.

Si

zCiK

et toEA alors il existe N E N tel que

zCiKo-~

pour

n>-N

on a donc

IX(z. to)l >I IP.(z)l%-iL-,(z)-tol >1 e2n%-t-e~n-'>~ 1

d'ofl

po(z, to)>.-.-'-1/2 nce

qui implique que Q(z, t o ) > - ~ .

Si z E K et co*f(z) et en remarquant q u e f n converge vers f u n i f o r m 6 m e n t sur K on en d6duit qu'il existe e,>O et N E N tels q u ' o n ait Ifn(z)-col>e pour n > N et donc

~(z, co)>-

^{~ .}

E n d6finitive Q(z, co) est plurisousharmonique et v6rifie A1 = {(Z, co) E AXA; O(z, co) = -oo}.

Remarques. (1) A1 6tant pluripolaire complet et compact dans A • il en r6sulte que AI est pluripolaire complet dans tout ouvert le contenant.

(2) Si le disque A(1/2) de centre l'origine et de rayon 1/2 est contenu dans K a l o r s f est holomorphe sur A(1/2) et par cons6quent A~N A(1/2)x A est une vari6t6 analytique complexe.

(3) Dans les conditions de (2) ci-dessus A1 ne peut pas ~tre contenu dans une r6union d6nombrable de sous-ensembles analytiques Xn de A x A. En effet si pour un sous-ensemble B de C n et ~,>0 on pose Hx(B) la mesure de H a u s d o r f f 2-dimensionnel de B (cf. 16); on aurait d'apr6s la 2 e remarque H 2 ( A I ) > 0 . Si A c t J n X n il existe un indice no tel que HE(A AXn0)>0 et donc ~ = - oo sur Xn0 d'ofJ Xn0 est compact dans A x A, il est donc de codimension 2 ce qui contredit H2(A fiX,0)>0.

(4) Soit A1 c o m m e la deuxi6me remarque et v u n vecteur de C 2 (transverse A~flA(t/2)• tel que [vl<dis(K, Cc2AXA). Alors modulo la proposition IV.4 ci- dessous A=A~ U~=~ {A I +v/n} est compact pluripolaire complet v6rifiant HE(A)= oo.

PROPOSIITON IV.4. Soit An une suite de sous-ensembles ferm~s pluripolaire complets dans un ouvert f2 telle que A=UnAn est ferm~ dans f2. Quitte ~ se restreindre ~ un ouvert ff2' c c f ~ alors A est pluripolaire complet dans if2'.

DEmonstration. D'apr6s la d6monstration de la proposition II.2 pour tout n i l existe une fonction vn plurisousharmonique n6gative dans f2' telle q u ' o n ait

(1) e v~ est continue dans f2' (2) Anflf2={zEf2';vn(z)=-oo}.

Soit Kn une suite de compacts Knc/~n+l et f 2 \ A = t J ~ A ~ . Soit an=sup{[vn(z)l;

z E Kn}. Posons

v = v ~ ( z ) .

L a fonction v est plurisousharmonique dans Q' continue dans f ~ ' \ A et on a if2' NA={zEff2'; v(z)=-oo}.

44 H. EL MIR

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Refu le 18 mars 1983

Dans le document v(x, I) Sur le prolongement des courants positifs ferm6s (Page 40-45)