T-PROGS

Transition probability geostatistical software (T-PROGS version 2.1, 1999, copyright détenu par Steven F. Carle) a été développé en considérant que les données récoltées dans le champ de la géologie et de l’hydrogéologie sont rarement disponibles en quantité ou en qualité suffisantes pour mener une procédure classique de géostatistique (variogramme, krigeage). T-PROGS propose de fonder l’analyse spatiale non pas sur la covariance des catégories indicatrices (faciès géologique ou hydrofaciès), mais sur leur probabilité de transition. D’autres paramètres faciles à estimer tels la proportion en volume du faciès, ou encore sa taille moyenne dans chaque direction de l’espace, sont aussi mis à contribution.

T-PROGS consiste en une succession des procédures (langage FORTRAN) :

Figure 17 : Diagramme de fonctionnement du logiciel T-PROGS

(source : [26], modifiée et traduite)

Le logiciel emprunte largement à la librairie GSLIB (geostatistical software library) développée principalement par MM. Journel et Deutsch [94].

Les données sont intégrées à T-PROGS sous la forme de quadruplets (comprenant les coordon-nées x,y,z du point de donnée et la catégorie qui lui est attribuée , dans le cadre d’une classification géologique par exemple). Leur exploitation repose ensuite principalement sur deux outils : le tran-siogramme et l’approche markovienne.

GAMEAS (analyse spatiale 1D et transiogrammes)

L’expression mathématique du transiogramme se résume à :

 

( ) Pr ait lieu à | a lieu en

jk

t d  k u d j u {46}

Si le faciès j est observé à la position u, t est la probabilité que k soit observé à une distance d de u. Si j=k, l’équation définit un auto-transiogramme.

Cet outil approche d’une manière simple l’ensemble des relations de juxtaposition des données catégorielles, en permettant, à l’inverse des variogrammes (par définition symétriques), de repré-senter une organisation asymétrique. Ceci est particulièrement pertinent dans la représentation de la stratigraphie verticale des réservoirs géologiques, rarement symétriques.

GAMEAS Données catégorielles Transiogrammes et variogrammes expérimentaux 1D GRAFXX MCMOD Modèles de Markov 1D Modèle de Markov 3D TSIM CHUNK Simulations conditionnelles 3D Visualisation de graphiques Visualisation de modèles 3D

De plus, les transiogrammes comporte deux données cruciales quant à l’analyse spatiale des don-nées catégorielles : le plateau du transiogramme tend à la proportion globale de la catégorie, et l’intersection entre l’axe des abscisses et la tangente à l’origine de l’auto-transiogramme coïncide avec la taille moyenne de la catégorie dans la direction de recherche considérée.

Figure 18 : Exemple de transiogrammes théoriques

(à gauche : auto-transiogramme, à droite : transiogramme)

Cet exemple illustre le cas d’une catégorie dont la proportion globale s’élève à 28 % et d’une lon-gueur caractéristique de 3,2 m dans la direction de recherche.

La routine GAMEAS permet de définir des transiogrammes dans 3 directions d’un plan, à un pas de recherche fixe mais avec tous les paramètres de tolérance présentés en Figure 16. Il propose aussi de calculer les variogrammes expérimentaux.

MCMOD (modèles markoviens)

Les chaînes de Markov sont des modèles probabilistes (stochastiques) représentant une succession d’états ou d’évènements dont la probabilité d’occurrence dépend uniquement de la réalisation pré-cédente [95]. Cette approche apparaît donc très adaptée pour représenter des transitions brutales, que ce soit dans le temps (prévisions météorologiques par exemple) ou dans l’espace (transition entre deux faciès géologiques). En contrepartie, les processus indépendants de l’état précédent (ré-sultats d’une loterie d’un jour sur l’autre) ou dépendants de réalisations au-delà de la seule précé-dente (tirages au sein d’une même loterie) ne présentent pas les propriétés compatibles à l’approche markovienne.

La figure suivante met en regard une représentation graphique d’une chaîne de Markov à trois états (A, B et C) et sa forme matricielle :

A B C A 0 0,1 0,8 B 0,3 0,5 0 C 0,7 0,4 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 2 4 6 8 10 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 2 4 6 8 10

A B

C

Dans cet exemple, B ne fait jamais suite à C, l’état A ne se répète jamais à lui-même, contrairement à B qui se réitère avec une probabilité de 50 %. Dans l’autre moitié des réalisations, il est suivi de l’état A ou C selon une probabilité de 10 et 40 % respectivement. Par définition, la somme de chaque colonne égale 1, épuisant la totalité des issues possibles à la suite d’un état donné.

Mathématiquement, un modèle markovien consiste en une combinaison linéaire de formulations exponentielles. MCMOD propose d’utiliser ces propriétés pour générer des modèles de transio-grammes sur la base des données catégorielles fournies. Plusieurs méthodes sont disponibles. La méthode data contraint le modèle par un point spécifique du transiogramme expérimental. La méthode transition contraint le modèle par la valeur de la pente du transiogramme à l’approche de l’origine.

La méthode intégrée (embedded) fait disparaître les notions de distance entre catégories et de pas de recherche spatial. Seules la direction de recherche et la succession des catégories entrent en jeu. Ainsi, sur un axe vertical ascendant, la probabilité de transition devient :

 

Pr soit au-dessus | est en-dessous

jk k j

  {47}

Appliqué à 3 faciès A, B et C, il vient :

5 1 0,833 0,167 ABCABACABCABABC 2 3 0, 4 0, 6 3 0 1, 0 0           _  __  _         

La première matrice renseigne le compte des enchaînements (A succède 5 fois à B), la seconde reporte des probabilités. La diagonale est vide car l’analyse est « intégrée » et ne considère donc pas d’auto-transition (deux couches d’un même faciès géologique sont assimilées à une seule couche). Le palier du transiogramme modélisé reste alors imposé par la proportion globale de la catégorie. Cette dernière méthode est très utilisée car elle ne fait plus intervenir directement de transiogramme expérimental, et se trouve donc très peu sensible à la parcimonie des données de terrain.

Le calage des modèles markoviens fait intervenir une analyse par espace propre (eigensystem) pour la conversion des formulations exponentielles discrètes en une formulation continue.

En outre, la construction du modèle de Markov 3D est finalisée par interpolation ellipsoïde des trois modèle 1D (correspondant aux trois directions de recherche définies précédemment dans GAMEAS).

L’effort de modélisation peut être soulagé en définissant, parmi les catégories considérées, une catégorie de remplissage (dite de fond, background category).

TSIM (simulations conditionnelles)

La génération de modèles catégoriels tridimensionnels suit une procédure en deux temps.

Le modèle est initialisé par un algorithme de simulation séquentielle d’indicatrices (SIS, sequential

indicator simulation) [94]. Consistant en une série de cokrigeages, cette étape respecte avec exactitude

les données conditionnelles (les données d’entrée).

Le modèle est ensuite optimisé par méthode de recuit (zero-temperature annealing quenching algorithm). Inspirée de la métallurgie et de la thermodynamique, cette technique permet d’approcher un opti-mum global tout en évitant les éventuels minima locaux avec des temps de calcul limités [96]. Ce-pendant, cette optimisation se fait aux dépens de l’estimation initiale exacte, puisqu’elle aspire non plus à représenter les données d’entrée, mais à faire coïncider le transiogramme 3D de MCMOD avec celui du modèle géologique 3D final.

En sortie, T-PROGS produit un modèle « boîte à chaussure » de la forme suivante :

Figure 20 : Exemple de modèle 3D T-PROGS à 4 catégories

(visualisation CHUNK [26], les données conditionnelles apparaissent en gris)

L’aspect interprétatif de la procédure T-PROGS, mise en avant par les développeurs, est utilisé dans le champ de la géologie et de l’hydrogéologie pour condenser dans un même modèle des données de nature et d’échelle diverses (sondages, mesures géophysiques, cartes géologiques) [97, 98]. Son utilisation est adaptée pour des modélisations à grande échelle (ou pour de l’upscaling [99]), et est particulièrement populaire dans les études de nappes alluviales ou s’intéressant aux interac-tions nappe-rivière [100, 101].