Dans l’optique de simuler une marche hémiplégique, la posture sélectionnée doit être réaliste, prendre en compte la pathologie et respecter la tâche principale. Pour cela, la solution finale (∆Θf) s’exprime
∆Θf = ∆Θp+ (I − J+J)∆α. (3.19)
Afin d’assurer le respect des contraintes – les poulaines –, la recherche de la solution finale est effectuée dans le noyau des solutions de la tâche principaleN(J) (Fig. 3.7). Cette recherche est
réalisée grâce à l’opérateur de projection I − J+J noté aussi PN(J) et par le vecteur de recherche ∆α. Ce dernier vecteur modélise en fait le déplacement à appliquer pour tenir compte de la tâche secondaire. !"#$%%%%%%%%&#%"#$'#()%*#%+),-#$'.,/%*!/0%&#%/,1!(%2345 6)7$#%8%&9,+:)!'#()%*#%+),-#$'.,/%%%%%%%%%%%%%; <#''#%'7$=#%0#$,/*!.)#%#0'%*:'#)>./:#%+!)%�%?,/$'.,/0% *#%$,@'%8%>./.>.0#)%3!AB%!CB%!DB%!E5; !"#$%&'$()*%+,$*(& !"#$%&'-&"' ".,+)*./"'0123 F,&('.,/%?./!&#%*#%&!%$./:>!'.G(#%./"#)0#%H ∆Θf= ∆Θp+ (I − J+J)∆α ∆α ∆α3!A5 )∆α3!C5 )∆α 3!D5 )∆α 3!E5 )∆α (I − J+J)∆
Fig. 3.7 - Représentation de la solution finale sélectionnée dans le noyau des solutions (N(J))
de la tâche principale et influencée par la tâche secondaire (I − J+J)∆α avec ∆α le vecteur de
recherche déterminé grâce à la minimisation des fonctions de coût.
La tâche secondaire à ajouter comprend deux types de fonctions de coût à minimiser. Les premières visent à optimiser la posture choisie pour obtenir un mouvement de marche réaliste. Les secondes sont destinées à prendre en compte la pathologie du sujet.
3.3.3.1 Tâches secondaires liées au mouvement de marche
La première tâche secondaire consiste à minimiser l’énergie cinétique de rotation de chaque segment du corps. En effet, lors de la locomotion, le principe de minimisation de l’énergie semble être une caractéristique commune à un grand nombre d’espèces, y compris l’homme [McNeill Alexander2002, Alexander2004]. En outre, l’énergie cinétique de rotation s’avère être l’une des composantes prépondérantes de la dépense énergétique [Mansour1982, Williams1983, Beaupied2003]. La minimisation de l’énergie cinétique de rotation a en fait pour but de diminuer la quantité d’énergie perdue dans la gesticulation. La première tâche secondaire est donc définie par la fonction de coûtg1 telle que
g1(Θc, ∆Θp, ∆α) =!6 s=1 "1 2Rs· Is· RsT · + ωs(∆Θp, ∆α),# (3.20)
avec Θc la valeur courante de Θ, s l’indice du segment considéré parmi les cinq segments du système, Is la matrice d’inertie du segment s, Rs la matrice de transformation entre le repère local lié au segment s et le repère global et ωs la fonction qui calcule la vitesse angulaire du segments en fonction de ∆Θp et∆α le paramètre à optimiser.
La deuxième tâche secondaire ajoutée est liée aux butées articulaires. Les mouvements simulés doivent en effet respecter les butées articulaires liées à la mobilité du squelette humain. Cette approche consiste à définir les limites extrêmes du mouvement au-delà desquelles la posture calculée n’est plus possible sans dislocation articulaire.
Fig. 3.8 - Valeurs moyennes des butées articulaires des membres inférieurs de l’homme d’après les données de Kapandji [Kapandji1971] et l’illustration de Nicolas [Nicolas2007a].
Une solution∆Θfcomprenant par exemple une extension de genou θxggimportante serait com-plètement irréaliste. Les butées articulaires à respecter peuvent donc être définies grâce aux valeurs moyennes publiées dans l’ouvrage de référence en physiologie articulaire [Kapandji1971] (Fig. 3.8). Ces butées articulaires sont intégrées dans le problème de cinématique inverse par une fonction de coûtg2continue et dérivable. La fonctiong2est en fait constituée d’une combi-naison linéaire de deux fonctions exponentielles. Ainsi, la fonction de coût croît très rapidement au-delà des limites articulaires ; elle s’écrit
g2(Θc, ∆Θp, ∆α) =!11
a=1
+
expζ&θca+(∆Θpa+PN(J)∆α)−Bsupa'
+ expζ&Binfa−(θca+∆Θpa+PN(J)∆α)' ,
(3.21)
où a indique l’angle articulaire considéré parmi les onze degrés de liberté de la chaîne, Bsupa
et Binfa sont les butées articulaires supérieures et inférieures du degré de liberté a désigné par
θa, etζ est une constante qui assure une augmentation rapide du coût de la fonction lorsque
les angles sont au-delà des butées articulaires. Si au contraire ils les respectent, la fonction de coût est proche de zéro (Fig. 3.9).
Fig. 3.9 - Illustration d’une fonction de coût associée au respect des butées articulaires. Le coût de la fonction augmente rapidement lorsque l’angle articulaire est au-delà de ses limites physiologiques.
La troisième tâche secondaire minimise la distance entre la solution et la posture initiale de repos. L’hypothèse émise est qu’il existerait un lien entre la posture de repos et le mouvement de marche [Nicolas2007b]. Pour assurer cette contrainte, la fonction de coût g3 s’exprime par la relation g3(Θc, ∆Θp, ∆α) =!11 a=1 " ρa + Pa& Θc+ ∆Θp+ PN(J)∆α'− Θa r ,2# (3.22)
où ρa correspond à une pondération égale à un pour les degrés de liberté du pelvis et nulle pour tous les autres degrés de liberté notamment pour la flexion – extension des hanches et des genoux.Pa est un opérateur de projection qui retourne l’élémenta de l’expression Θc+ ∆Θp+
PN(J)∆α, et Θa
r est la valeur de repos du degré de libertéa. Cette tâche secondaire a pour effet
de ne pas trop s’éloigner de la posture de repos. Contrairement aux autres angles articulaires, la pondération des mouvements de flexion – extension est nulle et la recherche des valeurs est donc laissée complètement libre.
À partir de ces trois premières tâches secondaires, le mouvement de marche normale peut être considéré modélisé. La solution∆Θf doit non seulement respecter les poulaines, mais également des postures réalistes au sens de la biomécanique. L’étape suivante consiste à modéliser la pathologie afin d’en tenir compte dans le mouvement généré. La deuxième et la troisième tâches secondaires s’avèrent pour cela particulières puisqu’elles interviennent également dans la modélisation de la marche pathologique.
3.3.3.2 Tâches secondaires liées à la pathologie
Pour modéliser la pathologie, l’hypothèse émise consiste à se baser sur trois tâches secondaires. Sur ces trois contraintes, une seule est véritablement ajoutée par rapport à la marche normale.
Les tâches secondaires représentées par les fonctions de coût g2bis et g3bis s’inscrivent en fait dans le prolongement direct de la deuxième et de la troisième tâches secondaires présentées dans la sous-section précédente.
Ainsi, la tâche secondaire deux bis est définie par la fonction de coûtg2bis similaire à la fonction
g2(Éq. 3.21). En effet, la survenue d’une pathologie comme l’hémiplégie limite très souvent les amplitudes articulaires lors de la marche (cf. paragraphe 1.3.3.2). Pour modéliser le handicap engendré, les amplitudes articulaires sont mesurées directement sur la marche réelle puis repor-tées dans la fonction de coûtg2bis. L’impact de la pathologie s’avère donc partiellement intégré dans la fonction de coût liée aux butées articulaires.
De manière identique, la tâche secondaire trois bis ou g3bis est similaire à la fonction de coût
g3. En effet, l’hémiplégie a des répercussions non seulement sur les amplitudes articulaires lors de la marche, mais elle peut également influencer la position de repos. Dans ce cas, la fonction de coûtg3bis va intégrer l’impact de la pathologie en se référant à la posture de repos. Si, par exemple, un pied bot ou une limitation articulaire du genou sont présents en position de repos, la solution obtenue sera finalement influencée par l’intégration de cette tâche secondaire.
Une dernière tâche secondaire vient compléter la modélisation de la marche hémiplégique. Il s’agit cette fois d’une fonction de coût spécifique qui ne serait pas utilisée dans le cadre de la marche normale. La quatrième tâche secondaire est en fait liée à la spasticité engendrée par l’hémiplégie (cf. sous-section 1.3.2). Rappelons que la spasticité est l’un des facteurs responsables de la perturbation de la marche. Elle peut être considérée comme l’une des causes majeures de la diminution des amplitudes articulaires lors de la marche et des postures anormales adoptées en position de repos. Ceci signifie qu’une partie des effets liés à la spasticité est d’ores et déjà intégrée aux tâches secondaires g2bis et g3bis. En plus de cela, la spasticité est par définition vitesse dépendante. Ce dernier paramètre est donc pris en compte par une fonction de coûtg4. Cette fonction limite la vitesse angulaire au niveau de la flexion du genou du côté hémiplégique puisque la spasticité du quadriceps serait en grande partie responsable de la limitation de la vitesse de flexion du genou pendant la phase d’oscillation [Burke1970, Bérard2005].
La fonction de coût g4 est donc de la forme
g4(θxghc, ∆θgh
p , ∆α) = expζ&ωgh−ωsup'
+ expζ&ωinf−ωgh'
(3.23) avec θxghcla valeur courante de θxgh l’angle représentant la flexion du genou du côté hémiplé-gique.ωghest la vitesse angulaire courante du genou du côté hémiplégique ; il s’agit de la dérivée de l’expression θxghc+ ∆Θpgh+ PN(J)∆α. ωsup etωinf sont les bornes supérieures et inférieures de la vitesse angulaire du genou. Ces dernières sont mesurées lors de la capture de la marche hémiplégique réelle et donc directement liée à la spécificité de la pathologie du sujet donné. Les bornes de vitesse angulaire sont ici multipliées par un facteur égal à 1,2 pour offrir à ce niveau une liberté de 20% dans la solution recherchée. Enfin, ζ est encore une fois une constante
qui assure une augmentation rapide du coût de la fonction lorsque les vitesses angulaires sont au-delà des bornes fixées.
• • • • • • •
Toutes les contraintes qui viennent d’être décrites sont au bout du compte intégrées à une fonction de coût global à minimiser. Cette fonction est une combinaison linéaire de toutes les tâches secondaires. Dans le cas de la marche hémiplégique, elle s’écrit
f = g1+ g2bis+ g3bis+ g4. (3.24)
Le vecteur∆α minimisant la fonction de coût global est ensuite recherché grâce à une méthode de recherche multidirectionnelle ou MDS de l’anglais Multi-Directionnal Search [Torczon1989]. La méthode MDS a été préférée aux méthodes de descente de gradient en raison des dériva-tions qu’elles impliquent et parce qu’elles sont sujettes à des minima locaux plus nombreux. La méthode MDS a en plus l’avantage, comme son nom l’indique, d’être effectuée dans toutes les directions contrairement aux méthodes de descente de gradient ou encore des simplexes. La solution de départ est ainsi comparée à toutes ses voisines dans la limite du pas déterminé au préalable. L’optimisation est donc théoriquement plus rapide et moins sensible aux minima locaux et permet de résoudre des fonctions complexes comme celles utilisées dans ce travail.
Finalement, nous venons de voir au travers de ce chapitre les solutions choisies pour modéliser les membres inférieurs et le mouvement. La simulation de la marche hémiplégique peut donc désormais être entreprise.