Dans cette section, on rappelle les principaux r´esultats existants concernant les appli- cations homog`enes monotones. Cette classe a ´et´e ´etudi´ee depuis longtemps dans diff´erents
domaines s´epar´es (syst`emes dynamiques, th´eorie des jeux, syst`emes `a ´ev´enements dis- crets), on fera largement r´ef´erence aux travaux r´ecents de S. Gaubert et J. Gunawerdena [GK95, GG98a, GG99, GG04].
D´efinition 6. Une application f : Rn→ Rnest monotone si :∀x, y ∈ Rn, x≤ y ⇒ f(x) ≤ f (y), o`u∀x, y ∈ Rn, x≤ y signifie x
i≤ yi,∀1 ≤ i ≤ n.
La propri´et´e de monotonie, lorsqu’elle est combin´ee avec l’homog´en´eit´e devient tr`es forte. En effet comme le montre le th´eor`eme13 ci dessous, elle permet de garantir la non expansivit´e.
D´efinition 7. Une application f de Rn dans Rn est dite non expansive s’il existe une
normek · k sur Rn telle que : ∀x, y ∈ Rn,k f(x) − f(y) k≤k x − y k.
Th´eor`eme 13. [CT80] Une application homog`ene et monotone f : Rn → Rn est non expansive pour la norme sup., c’est `a dire :∀x, y ∈ Rn,k f(x) − f(y) k
∞≤k x − y k∞.
D´emonstration.
k f(x) − f(y) k∞ =k f(y + (x − y)) − f(y) k∞
≤k f(y+ k x − y k∞1)− f(y) k∞ car f est monotone,
=k x − y k∞ car f est homog`ene
On rappelle ci-dessous un r´esultat important [GG98a] sur l’existence de valeur propre pour une fonction monotone qui est l’analogue du th´eor`eme de Perron-Frobenius pour une matrice carr´ee `a ´el´ements positifs irr´eductible. l’existence d’une valeur propre pour cette matrice.
Pour cela on d´efinit d’abord le graphe associ´e `a une fonction homog`ene et monotone. D´efinition 8. [GG99] Le graphe G(f) associ´e `a une fonction homog`ene et monotone f : Rn→ Rn est d´efini par l’ensemble des nœuds{1, 2, · · · , n}, et l’ensemble des arcs tels qu’il existe un arc d’un nœud i vers un nœud j si limν→∞fi(νej) =∞, o`u ej est le j`eme
vecteur de la base canonique de Rn.
Exemple 10. Le graphe associ´e `a la fonction homog`ene monotone f : R3 → R3 d´efinie par :
f ( x1 x2 x3 ) = 1 + max(2 + x2, min(1 + x1, x3)) min(1 + x2, 2 + x3) 2 + x1 , est le graphe de la figure (3.3).
1
2 3
Fig. 3.3 – Graphe associ´e `a une fonction homog`ene monotone.
Th´eor`eme 14. [GG98a] Si f : Rn → Rn est une fonction homog`ene et monotone telle
Des r´esultats plus r´ecents [LMS01, Vir01] utilisent la transformation g = exp◦f ◦ log pour se ram`ener `a la th´eorie de Perron-Frobenius non lin´eaire [Nus88] d´evelopp´es sur les cˆones positifs. On v´erifie que g pr´eserve l’ordre dans int Rn
+, et qu’elle est positivement
multiplicativement homog`ene de degr´e 1, c’est `a dire : g(tx) = tg(x), ∀x ∈ int Rn
+, ∀t ≥ 0.
Dans ce qui suit, on fait le lien entre la valeur propre d’un syst`eme 1-homog`ene mo- notone et son taux d’accroissement, d´efinis dessous, lorsqu’ils existent.
On d´efinit les deux applications > et ⊥ de Rn dans R par :>(x) = maxixi et ⊥(x) =
minixi.
Une application homog`ene et monotone f : R→ R admet toujours un taux de crois- sance, car dans ce cas, f s’´ecrit forc´ement f (x) = x + a. Donc χ(f ) = a. Un r´esultat de [GK95] montre que toute application homog`ene et monotone f : R2→ R2admet un temps
de cycle. Un autre r´esultat de [GK95] construit une infinit´e d’applications homog`enes et monotones f : R3 → R3 qui n’ont pas de taux de croissance.
Th´eor`eme 15. [GK95] Une application f : Rn → Rn est homog`ene et monotone si, et
seulement si : >(f(x) − f(y)) ≤ >(x − y).
D´emonstration. • Soit f une application monotone homog`ene. On a : >(f(x) − f(y)) = >(f(y + (y − x)) − f(y))
≤ >(f(y + >(x − y)) − f(y)) car f est monotone =>(x − y) car f est homog`ene. • Soit f telle que >(f(x) − f(y)) ≤ >(x − y).
– f est monotone car
x≤ y ⇒ >(x − y) ≤ 0 ⇒ >(f(x) − f(y)) ≤ 0 ⇒ f(x) ≤ f(y) . – f est homog`ene car
>(f(x + a) − f(x)) ≤ >(a) = a et ⊥(f(x + a) − f(x)) = −>(f(x) − f(x + a)) ≥ a. C’est `a dire f (x + a)− f(x) = a
Proposition 1. [GG98a] Soit f : Rn → Rn une application monotone homog`ene. La
suite (>(fk(0)))k∈N (resp. (⊥(fk(0)))k∈N) est sous-additive. C’est `a dire : >(fk+l(0)) ≤
>(fk(0)) +>(fl(0)). D´emonstration. >(fk+l(0)) =>(fl(fk(0))) , ≤ >(fl(>(fk(0)))), par monotonie , =>(>(fk(0)) + fl(0)), par homog´en´eit´e , =>(fk(0)) +>(fl(0))
Th´eor`eme 16. [GK95] Soient f : Rn → Rn une fonction homog`ene et monotone et x∈ Rn. Les suites (>(fk(x)/k))
k∈N et (⊥(fk(x)/k))k∈N convergent, et leurs limites sont
D´emonstration. Soient x, y ∈ Rn. On a :
f (x)≤ f(y) + >(x − y), par monotonie et homog´en´eit´e , fk(x)≤ fk(y) +>(x − y), par monotonie et homog´en´eit´e ,
>(fk(x)/k)≤ >(fk(y)/k) +>(x − y)/k, par les propri´et´es de > .
En substituant x et y, on a :>(fk(y)/k)≤ >(fk(x)/k) +>(y − x)/k, ce qui donne : >(y − x)/k ≤ >(fk(x)/k)− >(fk(y)/k)≤ >(x − y)/k,
qui veut que la limite limk→∞>(fk(x)/k) est ind´ependante de x lorsqu’elle existe.
Prenant x = 0, on obtient que : – la suite{>(fk(0))}
k∈N est sous additive, – la suite
{⊥(fk(0))}
k∈N est sur-additve, – ∀k ∈ N, ⊥(fk(0))≤ >(fk(0)).
On d´eduit du th´eor`eme ergodique sous-additif [Kin73] que les suites{⊥(fk(0)/k)} k∈N
et {>(fk(0)/k)}k∈N convergent
D´efinition 9. Le taux d’accroissement et les taux d’accroissement sup. et inf. d’une application f : Rn→ Rn, lorsqu’ils existent, sont d´efinis respectivement par :
χ(f ) = lim k→∞f k(x)/k, χ(f ) = lim k→∞>(f k(x)/k) et χ(f ) = lim k→∞⊥(f k(x)/k.
Corollaire 4. Si f : Rn→ Rn est une application homog`ene et monotone et si elle admet une valeur propre λ : f (x) = λ + x, alors : χ(f )1= χ(f )1= χ(f ) = λ1.
3.3.1 Le probl`eme de valeur propre et la programmation lin´eaire
Dans ce qui suit on rappelle les notions de sur-valeur propre et de l’ensemble des sur-vecteurs propres associ´e, et un r´esultat qui fait le lien entre une valeur propre d’une fonction homog`ene et monotone, lorsqu’elle existe, et l’ensemble de ses sur-valeurs propres. D´efinition 10. On dira que le r´eel λ est une sur-valeur propre d’une fonction f , associ´ee au sur-vecteur propre x si λ + x≤ f(x).
On note par Sλ(f ) l’ensemble :
Sλ(f ) ={x ∈ Rn| λ + x ≤ f(x)}.
On voit alors que siSλ(f )6= ∅ alors que λ est une sur-valeur propre de f et que que Sλ(f )
est l’ensemble des sur-vecteurs propres associ´e. L’ensemble des sur-valeurs propres de f est not´e par Λ(f ) et est d´efini par :
Λ(f ) ={λ ∈ R | Sλ(f )6= ∅}.
Proposition 2. [GG99] Si f : Rn → Rn est une fonction homog`ene et monotone, alors
Λ(f ) a l’une des formes : ]− ∞, a[ ou ] − ∞, a], avec χ(f) ≥ a.
Proposition 3. [GG99] Si f : Rn→ Rn est une fonction homog`ene et monotone, alors :
sup Λ(f ) = supx∈Rn⊥(f(x) − x) = χ(f).
Corollaire 5. Si f : Rn → Rn est une fonction homog`ene et monotone, et si elle admet
On d´eduit de ce corollaire que si f est une fonction homog`ene et monotone, et si elle admet une valeur propre λ, alors le probl`eme d’optimisation suivant :
max{µ | µ + x ≤ f(x)} , (3.13)
admet comme solution (λ, x) o`u x est un vecteur propre associ´e `a λ. On a alors : λ + x = f (x), c’est `a dire que les contraintes du probl`emes (3.13) sont toutes satur´ees.
Exemple 11. Si f : Rn → Rn est une fonction homog`ene, monotone, affine, admettant
une valeur propre λ, alors le probl`eme (3.13) est un probl`eme lin´eaire qui admet comme solution (λ, x) o`u x est un vecteur propre associ´e `a λ, et cette solution sature toutes les contraintes du programme lin´eaire. Ce cas correspond aux fonctions f de la forme f (x) = M x + c, o`u M est une matrice stochastique irr´eductible, et o`u c est un vecteur de Rn
Exemple 12. Soit f : Rn→ Rn une fonction homog`ene, monotone, de la forme :
fi(x) = min
1≤j≤pgij(x), ∀i = 1, · · · , n,
o`u les fonctions gij sont affines.
Supposons que f admet une valeur propre λ. Dans ce cas le programme lin´eaire max{µ | µ + xi≤ gij(x), ∀j = 1, · · · , p, ∀i = 1 · · · n },
admet la solution λ qui satisfait λ + x = f (x) et le probl`eme lin´eaire de compl´ementarit´e [MY97, CPS92, SM97] suivant : max{max | µ + xi ≤ gij(x), p Y j=1 (µ + xi− gij(x)) = 0, ∀i = 1, · · · , n, j = 1, · · · , p} , (3.14) admet la solution λ.
Ce cas correspond aux fonctions f de la programmation dynamique d’un probl`eme de contrˆole optimal stochastique. La valeur propre est alors le coˆut moyen optimal
3.3.2 Syst`emes homog`enes monotones affines par morceaux
On rappelle ici un r´esultat important sur le probl`eme de valeur propre g´en´eralis´e d’applications affines par morceaux (que l’on a appel´e aussi poly´edrales) non expansives. Une application f : Rn→ Rn est dite affine par morceaux s’il existe une partition de Rn
en ensembles poly´edraux ferm´es telle que f soit affine sur chacun de ces ensembles. Th´eor`eme 17. [Koh80] Si une application f : Rn → Rn est affine par morceaux et non
expansive, alors il existe un unique vecteur α∈ Rn et un vecteur β ∈ Rn tels que :
∀t ≥ 0, f(β + tα) = β + f(t + 1)α .