Soit Ω un sous ensemble de Rn. Consid´erons l’´equation diff´erentielle autonome d´efinie par :
˙
x = X(x) (A.6)
On suppose que X : Ω ⊂ Rn−→Rn est continue et satisfait des conditions telles qu’une solution du syst`eme (A.6) existe en tout point, est unique et d´epend de mani`ere continue des conditions initiales. Les ´etats stationnaires ou points d’´equilibre du syst`eme (A.6) sont
les points x0 ∈ Ω satisfaisant X(x0) = 0. Pour chaque x∈ Ω, nous notons par Xt(x) la solution du syst`eme (A.6) satisfaisant X0(x) = x. Nous supposons que X satisfait des conditions telles que Xt(x) est continue en (t, x).
D´efinition A.1.10 (Trajectoire, orbite)
– On appelle trajectoire d’un point x de Ωl’application Xx :t7−→Xt(x);
– on appelle orbite d’un point x de Ω la partie γx = {Xt(x), t∈ R} de l’espace des phases ;
– l’orbite d’un point x de Ω est ditep´eriodique si x n’est pas un point d’´equilibre et s’il existeT ∈R+ tel que XT(x) = x. On dit alors queT est une p´eriode de l’orbite p´eriodique consid´er´ee.
D´efinition A.1.11 On appelle orbite positive γ+(x0) issue dex0 l’ensemble
{x(t, x0) ;t >0}
D´efinition A.1.12 (Ensembles limites)
Les hypoth`eses et les notations sont celles de la d´efinition pr´ec´edente, nous supposons que
Ω est un espace topologique s´epar´e. soit x un point de Ω; soit Ix = {Xt(x)est d´efinie};
– on suppose queIx est born´e `a droite.
On appelle ensemble ω - limite de xet on noteω(x)l’ensemble des valeurs d’adh´ e-rence de la trajectoire t 7−→Xt(x) de x , lorsque t tend vers +∞
– on suppose que Ix non born´e `a gauche. On appelle ensemble α-limite de x et on note α(x) l’ensemble des valeurs d’adh´erence de la trajectoire t 7−→ Xt(x) de x, lorsque t tend vers −∞
D´efinition A.1.13 (Bassin d’attraction d’un point d’´equilibre)
Soit x0 ∈Ω un point d’´equilibre du syst`eme (A.6).
– On appelle bassin d’attraction du point x0 ∈ Ω l’ensemble des ´el´ements x ∈ Ω
tels que pour tout t ∈R+ , Xt(x) soit d´efini et que
lim
t→+∞Xt(x) = x0
– On appelle bassin de r´epulsion du point x0 ∈Ω; l’ensemble des ´el´ements x ∈Ω
tels que pour tout t ∈R−, Xt(x) soit d´efini et que
lim
A.1. QUELQUES R ´ESULTATS EN SYST `EMES DYNAMIQUES
D´efinition A.1.14 (Orbite p´eriodique attractive, r´epulsive)
Supposons que Ωest un espace topologique s´epar´e. SoitO une orbite p´eriodique de p´eriode T >0. Supposons de plus que l’espace Ω est muni d’une distance d telle que sa topologie soit associ´ee `a cette distance.
– On dira que l’orbite p´eriodique O est attractive (resp. r´epulsive) s’il existe un voi-sinage W de O tel que, pour tout x ∈ W et pour tout t ∈ R v´erifiant t > 0 (resp. v´erifiant t 60) , Xt(x) soit d´efinie et
lim
t→+∞d(Xt(x),O) = 0 (resp. lim
t→−∞d(Xt(x),O) = 0)
– On appelle bassin d’attraction (resp. de r´epulsion) de l’orbite p´eriodique O l’en-semble de z ∈Ω dont l’ensembleω−limite, ω(z) (rep. l’ensemble α−limite, α(z)
est O
D´efinition A.1.15 (Ensemble absorbant)
Supposons que le syst`eme (A.6) est tel que X est de classe C1 et que Ω est un ouvert de
Rn. Supposons de plus que cette ´equation admet admet des solutions quel que soit t > 0. Un sous-ensemble D de Ω est dit absorbant suivant A.6 si tout sous-ensemble born´e K de Ω satisfait x(t, K) ⊂ D pour tout temps t suffisamment grand. De mˆeme, D est dit absorbant lorsque pour toute condition initiale x0, il existe t >0 tel que Xt(x0)∈D. D´efinition A.1.16 (Ensemble invariant)
Un sous-ensemble K de Ω est dit positivement (resp. n´egativement) invariant
relativement `a A.6 si x(t, K) ⊂ K pour tout t > 0 (resp t 6 0), K est dit invariant si x(t, K) =K pour tout t.
Les ensembles α−limite etω−limite sont des exemples d’ensembles absorbants
Th´eor`eme A.1.7 Soit le syst`eme d´efini sur Rn par
˙
x = A(x)x (A.7)
Si pour tout x ∈ Rn, A(x) est une matrice de Metzler, alors le syst`eme (A.7) laisse positivement invariant l’orthant positif Rn
+. Preuve :
aij(x)>0 pour touti , j tel quei6=j) ; soit iun indice quelconque tel que 16i6n; soit l’ensemble Hi = {x∈Rn;xi = 0} ∩Rn+ Sur Hi, on a ˙ x = n X j=1 aij(x)xj = n X j=1,j6=i aij(x)xj >0
Autrement dit, sur les ensembles Hi qui sont en fait les diverses faces de la fronti`ere deRn+, la restriction du syst`eme (A.7) a un champ de vecteurs qui pointe vers l’ext´erieur deRn
+. Donc par continuit´e du flot, aucune trajectoire de ce syst`eme qui commence dans
Rn+ n’en ressort. Ce qui d´emontre l’invariance positivit´e de l’orthant positif. Ce qui ach`eve la preuve du th´eor`eme.
D´efinition A.1.17 ( Stabilit´e d’un point d’´equilibre)
Soit x0 ∈Ω un point d’´equilibre du syst`eme (A.6).
On dit que x0 est un point d’´equilibre stable pour (A.6) ou que le syst`eme (A.6) est stable en x0 si pour tout positif, il existe un nombre r´eel positif δ tel que pour tout x∈Ω
avec kx(0) − x0k < δ , la solution Xt(x(0)) = x(t)
Si de plus il existe δ0 tel que 0 < δ0 < δ et
kx(0) − x0k < δ0 ⇒ lim
t→+∞x(t) = x0 x0 est dit asymptotiquement stable.
Le syst`eme est dit instable en x0 s’il n’est pas stable en x0. D´efinition A.1.18 (Point d’´equilibre attractif )
– Le point d’´equilibre x0 est ditattractif(on dira aussi que le syst`emeA.6est attractif en x0) s’il existe un voisinage D ⊂ Ω de x0 tel que pour toute condition initiale x commen¸cant dans D, la solution correspondante Xt(x)du syst`eme (A.6) est d´efinie pour tout t>0 et tend vers x0 lorsque t tend vers l’infini. En d’autres termes,
lim
t→∞Xt(x) = x0 pour toute condition initiale x∈D;
A.1. QUELQUES R ´ESULTATS EN SYST `EMES DYNAMIQUES
– le point x0 est dit globalement attractif si limt→∞Xt(x) = x0 pour toute condi-tion initiale x∈Ω
D´efinition A.1.19 x0 est un point asymptotiquement stable pour le syst`eme (A.6) s’il est stable et attractif.
D´efinition A.1.20 Soit un ensemble M auquel on associe l’ensemble Aω(M) = {x∈Ω?|γ+(x)∩M 6= ∅}
o`u γ+(x) est l’orbite positif de x.
L’ensemble Aω(M) est appel´e r´egion d’attraction faible de M. D´efinition A.1.21 (Point d’´equilibre relativement stable)
Soit K un ensemble positivement invariant de Ω dont l’int´erieur est non vide et connexe. Soit x0 ∈K un point d’´equlibre du syst`eme (A.6).
Le syst`eme (A.6) est dit relativement stable en x0 par rapport `a K si pour tout >0, il existe un nombre r´eel positif δ tel que pour tout x(0) ∈ K avec kx(0) − x0k < δ, la solution x(t) = Xt(x(0)) est d´efinie pour tout t>0.
Si de plus le point d’´equilibre x0 est attractif, c’est `a dire limt→∞Xt(x(0)) = x0 pour toute condition initiale x(0) ∈K, on dira alors que x0 est relativement asymptotiquement stable par rapport `a K
Les fonctions de Lyapunov jouent un grand rˆole dans la stabilisation des syst`emes dynamiques. Dans la section qui suit, nous donnerons quelques r´esultats li´es aux fonctions de Lyapunov.