1.3.1
Intoduction
Un système linéaire positif peut être considéré comme un système linéaire où les variables d’état sont positives dans le temps. En outre, les systèmes positifs à temps continu et à temps discret sont très pertinents dans certains problèmes de la vie courante qui ne peuvent pas être décrits par des signaux négatifs, comme, par exemple, les évolutions dynamiques des popula- tions, des problèmes biologiques, etc. Ces systèmes apparaissent dans de nombreux problèmes pratiques lorsque les états représentent des quantités physiques qui ont un signe intrinsèquement constant (températures absolues, concentrations, etc) ([33]) ; voir, par exemple, [34], [35], [36], [37], [38], [39], [40] et [41], et les références qui s’y trouvent. En outre, une variété de modèles ayant un comportement de systèmes linéaires positifs peut être trouvée dans l’ingénierie, les sciences de gestion, l’économie, les sciences sociales, la biologie, la médecine, etc.
1.3.2
Définition de positivité
Les systèmes positifs sont, par définition, les systèmes dont leurs variables d’état ne prennent que des valeurs positives ou nulles. Cette définition générale de la positivité est présentée par la définition suivante.
Définition 1.10 Un système linéaire est dit positif si et seulement si x(k) ∈ n+, y(k) ∈ r+ pour toute condition initiale x(0) ∈ n
+et pour toute entrée u(k) ∈ m+, k 0
1.3.3
Conditions de positivité
Les conditions de positivité des systèmes linéaires à temps continu et à temps discret ne sont pas les mêmes. En effet, ces conditions sont présentées par les deux définitions suivantes. Définition 1.11 [33] Un système linéaire à temps continu
(
˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t) + Du(t),
est positif si et seulement si A est une matrice de Metzler, B ∈ n×m
+ , C ∈ r×n+ et D ∈ r×m+ .
Définition 1.12 [33] Un système linéaire à temps discret (
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), y(k) = Cx(k) + Du(k), est positif si et seulement si A ∈ n×n
+ , B ∈ n×m + , C ∈ r×n + et D ∈ r×m + .
Pour mieux comprendre les conditions de positivité de ces systèmes, nous rappelons dans ce qui suit les définitions des matrices positives et des matrices de Metzler.
Définition 1.13 Une matrice réelle M est dite matrice de Metzler si tous ses éléments hors diagonale sont positifs ou nuls : Mi j 0, i , j.
1.3. Systèmes périodiques positifs
Définition 1.14 Une matrice réelle M est dite matrice positive si tous ses éléments sont positifs ou nuls : Mi j 0.
Une question peut se poser, à ce niveau : est ce que les conditions de positivité présentées ci- dessus restent valable pour les systèmes linéaires périodiques ? En effet, pour répondre à cette question, une étude de plusieurs exemples des systèmes périodiques a été faite. Nous avons remarqué que la condition de positivité des systèmes linéaires périodiques n’est pas la même que pour les systèmes LTI. Un exemple nous a été suggéré par un examinateur anonyme de l’un de nos papiers. En effet, soit le système linéaire p−périodique autonome suivant :
x(k + 1) = A(k)x(k), (1.30) et considérons les deux cas suivants :
1. A(2n) = " 0 0 0 0 # et A(2n + 1) = " −1 −1 −1 −1 #
, pour tout n ∈ . Notre période p est fixée à 2. En effet, pour toute condition initiale x(0) 0, l’état du système périodique (1.30) x(k) 0, pour tout k 0, parce que, à l’instant k = 1, l’état x(1) =
" 0 0 #
.
2. Nous choisissons une période p = 3. La condition initiale est x(0) = "
a b #
0. En plus, les matrices d’état sont :
A(0) = " 1 0 0 0 # , A(1) = " 0 0 0 −1 # , A(2) = " −1 2 0 −1 # .
De même, l’état du système périodique (1.30) x(k) 0, pour tout k 0, parce que, à l’instant k = 2, l’état x(2) = " 0 0 # .
Après une vérification des cas, nous avons constaté que ces exemples correspondent aux cas où l’état s’annule sur la première période. Par conséquent, nous avons pensé à limiter nos études aux systèmes où l’état ne s’annule pas sur la première période. Cependant, après une étude approfondie, nous avons trouvé des exemples où même si l’état ne s’annule pas sur la première période, un système p−périodique donné par (1.30) est positif sans que toutes ses matrices d’état A(k), k = 0, 1, . . . , p − 1, soient positives. A titre d’exemple, nous prenons le système (1.30) avec une période p fixée à 2 et des matrices d’état,
A(0) = " 1 1 1 1 # , et A(1) = " −1 1 0 1 # .
Enfin, la condition de positivité des systèmes linéaires périodique à temps discret est résu- mée dans le lemme suivante. C’est une condition suffisante mais pas nécessaire.
Lemme 1.3 Si dans(1.30) les matrices d’état A(k) sont positives pour tout k = 0, 1, . . . , p − 1 alors le système p−périodique(1.30) est positif.
1.3.4
Commandabilité des systèmes linéaires périodiques positifs
La propriété de commandabilité est étudiée dans la plupart des livres traitant de la com- mande des systèmes linéaires, voir, à titre d’exemple, [42]. Plusieurs travaux ont été effectués pour les systèmes linéaires discrets positifs invariants dans le temps, voir, par exemple, [43] et [44]. Ces travaux mettent l’accent sur les différences significatives entre les propriétés structu- relles des systèmes LTI sans contrainte et les systèmes linéaires positifs. Dans [30], les auteurs ont étendu les résultats développés aux systèmes linéaires périodiques positifs tout en se basant sur l’équivalence entre le système périodique (1.16) et le système LTI (1.19).
A ce niveau, il est évident de constater que si le système (1.16) est périodique positif, alors, le système LTI associé (1.19) est aussi positif. Par rapport aux conditions développées pour les système LTI et les systèmes périodiques, nous devons ajouter des restrictions sur l’état et la commande pour le cas des systèmes périodiques positifs. Ces restrictions se résument sur le faite que x0 0, xf 0 et u(k) 0, pour tout k 0.
Définition 1.15 Le système linéaire périodique positif (1.16) est dit commandable si pour tous x0 0 et xf ≻ 0, il existe une entrée u(k) 0, pour tout k 0, tel que x(k) = xf à un instant
arbitraire kf.
Proposition 1.6 [30] Le système linéaire périodique positif (1.16) est commandable à un ins- tant s si et seulement si le système LTI positif, correspondant au même instant s, (1.19) est commandable pour tout s =0, 1, . . . , p − 1.
Dans ce sens, nous considérons les concepts de commandabilité et d’atteignabilité des sys- tèmes périodiques positifs. Les propriétés (1) à (4) du théorème 1.1 , avec les restrictions x0 0,
xf ≻≻0 et u(k) 0 seront notées par 1P, 2P, 3P et 4P.
Dans [30], une étude de ces propriétés est proposée. Les résultats se résument comme suit : (1) 1P → 2P → 4P mais 1P 8 2P 8 4P.
(2) 3P ↔ 2P.