8.1 définition
définition :On appellematriceun tableau de nombres.
Si la matrice anlignes etpcolonnes, on dit que satailleest(n, p).
Une matrice ànlignes et 1 colonne est unvecteur-colonne, une matrice à1ligne etn colonnes est unvecteur-ligne. Une matrice qui a le même nombre de lignes et de colonnes est une matricecarrée.
8.2 addition
On peut additionner coefficient par coefficient des matrices de même taille.
exemple :siA=
matrice nulle : on note 0 la matrice nulle, dont tous les coefficients sont nuls.
8.3 multiplication
On considère deux matricesAetB.
SiAa le même nombre de colonnes queBde lignes, on peut définir le produit deA parBen calculant chaque coefficient deABcomme un produit scalaire de la ligne deAet la colonne deBcorrespondants.
Le produitABa donc le même nombre de ligne queA, et le même nombre de colonnes queB.
remarque :siAetBsont deux matrices carrées de même taille, les deux produitsAB etBAexistent, mais en général,AB 6=BA.
et on ne peut calculerBA.
3. A=
matrice identité :on noteInla matrice carrée de taille(n, n)dont les coefficients sont des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs (on notera simplementIs’il n’y a pas d’ambiguïté surn).
propriété :pour toute matrice ayantncolonnes,AIn=A; pour toute matrice ayantn lignes,InA=A.
Et donc pour toute matrice carrée,AI=IA=A.
8.4 lien avec les systèmes linéaires
On peut associer à tout système linéaire denéquations àpinconnues une équation ma-tricielle (et réciproquement) : au système , si on noteAla matrice ,X le vecteur-colonne des inconnues etBle vecteur-colonne des seconds membres, le système s’écritAX=B.
Par exemple le système
x1 + 2x2 = 3
Quand le système se ramène à une équation à une inconnue, on sait déjà le résoudre facilement : sia 6= 0,x = b/aest l’unique solution. Dans le cas d’un système carré (le système a autant d’équations que d’inconnues, autrement dit la matriceAest une matrice carrée) on aimerait pouvoir procéder de même autrement dit pouvoir "diviser" parA la colonneB...
8.5 inverse d’une matrice
définition :une matrice carréeM est inversible s’il existe une matrice de même taille Ntelle queM N =I.
On note alorsN =M−1, et alors on a aussiM−1M =I.
L’ensemble des matrices inversibles de taillenest notéGLn(R).
proposition :siAet inversible et siY =AX, alorsX=A−1Y. Cette propriété est utilisable de deux manières différentes :
1. pour calculerA−1, en résolvant un système linéaire.
En particulier, A est inversible si et seulement si le système admet une solution unique,
2. pour calculerX connaissantY etA−1 (au lieu de résoudre le système) : il suffit d’effectuer une multiplication de la matriceA−1 par le vecteurY pour trouver la solutionX du système.
exemple :pour inverserA=
1 2
−1 3
, on peut résoudre
x1 + 2x2 = y1
−x1 + 3x2 = y2
Les coefficients dans l’expression de y1
seront les coefficients de A−1.
On résoud, par exemple par combinaisons linéaires :
x1 + 2x2 = y1
Le déterminant est une applicationMn(R) → Rvérifiant pour toutes matricesA,B det(AB) = det(A) det(B)etdet(I) = 1.
On le note parfois|A|en remplaçant les parenthèses ou crochets par des barres|. Le déterminant est défini par récurrence en développant selon une ligne ou une colonne.
Plus précisément, pour calculer le déterminant deAde taillenon peut : - choisir une lignei,
- calculer la sommePn
j=1(−1)i+jaijdet(Aij),Aijétant la matrice obtenue à partir de Aen enlevant la ligneiet la colonnej.
Ou de même avec les colonnes ; on admet que le résultat ne dépend pas de la ligne ou de la colonne choisie.
Ainsi, le calcul d’un déterminant de taillense ramène àncalcul de déterminants de taillen−1...
exemple 1 :le déterminant de a b
proposition :le déterminant d’une matrice est différent de 0 si et seulement si la matrice est inversible.
Avant de calculer un déterminant par développement, il est possible d’effectuer des opérations sur les lignes ou les colonnes, de manière à faire apparaître des zéros :
— Ajouter un multiple d’une ligne ou colonne à une autre (Li ← Li+kLj,Ci ← Ci+kCj) ne change pas la valeur du déterminant,
— Permuter deux lignes ou deux colonnes (Li ↔ Lj,Ci ↔ Cj) change le signe du déterminant,
— Multiplier une ligne par un scalairek(Li←kLi) multiplie le déterminant park.
exemple :reprendre l’exemple 2 pour calculer plus simplement le déterminant.
lien entre déterminants et solution d’un système linéaire :si on considère le système AX = Y,AetY étant connus, et s’il admet une solution unique (i.e si det(A) 6= 0), la coordonnéexi de X peut se calculer parxi = det(Ai)
det(A),Ai étant la matrice obtenue en remplaçant lai-ème colonne deApar le vecteurY.
exemple :à partir de
trouve directementI1=
On peut calculer le dénominateur en enlevant la première ligne aux deux suivantes, puis en additionnant les deux dernières colonnes à la première :
Pour le numérateur, on peut commencer par enlever la première ligne aux deux suivantes :
, puis développer par rapport à la troisième colonne : R3(−R(E3−E1)) +R(RE1−R2(E2−E1)).
lien entre déterminants et inverse d’une matrice :l’inverse de la matriceAest ob-tenu en calculant le coefficient de la ligneiet de la colonnejcomme(−1)i+jdet Γj,i
detA ,Γj,i
étant la matrice obtenue en enlevant la colonneiet la lignejde la matriceA.
remarque 1 :ne pas essayer de calculer un déterminant de grande taille ainsi...
remarque 2 :mais on peut cependant calculer le déterminant d’une matrice carrée de taille2:
Ceux-ci peuvent, dans les cas les plus simples, être déterminés par des raisonnements géométriques. C’est en particulier le cas des éléments de surface d’un disque, d’un cylindre, d’une sphère, ou des éléments de volume d’un cylindre plein ou d’une boule.
Mais il existe des outils généraux, basés sur des calculs de dérivées partielles et de déterminant (pour un élément de surface dans le plan ou un élément de volume dans l’espace) ou de produit vectoriel (pour un élément de surface dans l’espace).
Nous détaillons cela dans les deux paragraphes qui suivent, mais seuls les résultats dans le cas des coordonnées polaires, cylindriques et sphériques sont à retenir.
9.0.1 formule de changement de variables (hors-programme)
En dimension 2, si on remplace les coordonnées(x, y)par des coordonnées(u, v), l’élément de surface dS=dxdypeut s’exprimer en fonction dedudvavec un calcul de déterminant :
pour un changement de variableΦ : (u, v)∈∆→(x, y)∈D,
est lejacobiendeΦ,
l’élément de surfacedS=dxdypeut s’exprimer pardS=|J(Φ)|dudv, et donc ZZ
De même en dimension 3, si on remplace les coordonnées(x, y, z)par des coordonnées(u, v, w), on exprime l’élément de volumedV =dxdydzen fonction
dedudvdw:
est lejacobiendeΦ,
l’élément de volumedV=dxdydzpeut s’exprimer pardV=|J(Φ)|dudvdw, et donc ZZ Z
exemple 3 :vérifier de même qu’en coordonnées sphériques, avec le changement de variables(r, θ, ϕ)7→(rcosϕsinθ, rsinϕsinθ, rcosθ)on trouve dV=r2 sinθ drdθdϕ.
9.0.2 calculs des éléments de surfaces dans l’espace (hors-programme)
On considère une surface(S)définie par un paramétrage : on fixe une partieDdu plan et une application(u, v) ∈ D 7→ M(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)); alors(S)est l’ensemble de tous les points de coordonnéesM(u, v), pour(u, v)dansD.
Alors
sont des vecteurs tangents à la surface enM, et
∂M~
∂u duet
∂M~
∂v
dvreprésentent les petits déplacements sur la surface dans les directions déterminées par des petits déplacementsduetdvdeuetv.
Leur produit vectoriel(
∂M~
)dudvest donc le vecteur élément de surfacedS~ normal à la surface et dont la norme représente l’aire du parallélogramme dont les côtés sont les déplacement élémentaires
∂M~
∂uduet
∂M~
∂vdv.
Ainsi, l’aire d’un petit élément de surface autour du pointM(u, v)estdS=||dS||~ =
l’aire de la surface(S)définie par un paramétrage (u, v)∈D7→M(u, v)est
exemple 1 :la demi-sphère supérieure de centreOet de rayonRd’équationx2 +y2 +z2 =R2peut être paramétrée parM(x, y, q
R2−x2−y2, expression délicate à calculer directement. On peut cependant y arriver à l’aide d’un passage en coordonnées polaires : l’intégrale vaut alors
Z2π
Mais il est bien plus simple d’utiliser directement les coordonnées sphériques :
exemple 2 :on peut en effet aussi représenter la sphère par l’ensemble des points de coordonnées(R cosϕ sinθ, R sinϕ sinθ, R cosθ)pourRfixé, 0≤θ≤πet0≤ϕ≤2π.
L’élément de surface exprimé en coordonnées sphériques est dS = R2 sinθdθdϕ : la surface de la sphère est donc
Z Z
On retiendra quelques éléments de surfaces remarquables :
en coordonnées cylindriques :
sur une surface contenue dans un plan horizontal (zfixé),dS=r drdθ, sur une surface contenue dans un plan contenant l’axe (θfixé),dS=drdz
et surtout :
sur un cylindre de rayonR(r=Rfixé),dS=Rdθdz, en coordonnées sphériques :
sur une sphère de rayonR,dS=R2 sinθ dθdϕ.